Bir hava trafik kontrol merkezine giren uçakların sayısı, saatte ortalama \lambda = 4 uçak… — KPSS İstatistik

Bir hava trafik kontrol merkezine giren uçakların sayısı, saatte ortalama $\lambda = 4$ uçak oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Sürecin durağan ve bağımsız artışlara (independent and stationary increments) sahip olduğu varsayımı altında;
I. İlk saatte tam olarak 5 uçak girdiği bilindiğinde, ikinci ve üçüncü saatler arasındaki 2 saatlik zaman diliminde (yani $t=1$ ile $t=3$ saatleri arasında) merkeze tam olarak 6 uçak girme olasılığı ( $P$ ),
II. Art arda gelen iki uçağın merkeze girişi arasında geçen sürenin beklenen değeri ( $E[T]$ , dakika cinsinden)

aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

$P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}$ ve $E[T] = 15$ Cevap
B
$P = \frac{4^6 e^{-4}}{6!}$ ve $E[T] = 15$
C
$P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}$ ve $E[T] = 4$
D
$P = \frac{4^6 e^{-4}}{6!}$ ve $E[T] = 0,25$
E
$P = \frac{12^6 e^{-12}}{6!}$ ve $E[T] = 15$

Cevap

İki saatlik dilim için 6 uçak gelme olasılığı

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

ve gelişler arası beklenen süre

E[T] = 15

dakikadır.

Soru, Poisson sürecinin bağımsız ve durağan artışlar özellikleri ile Üstel dağılımla olan ilişkisini sınamaktadır. Bağımsız artışlar özelliği gereği, ilk saatteki uçak sayısı (5), sonraki zaman dilimlerini etkilemez. Durağan artışlar kuralına göre,

t=1

ile

t=3

saatleri arasındaki 2 saatlik periyotta gerçekleşen uçak giriş sayısı

N(3) - N(1)

\lambda \cdot t = 4 \cdot 2 = 8

parametreli Poisson dağılımına sahiptir. Dolayısıyla tam olarak 6 uçak girme olasılığı

P = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

olur. Ek olarak, Poisson sürecinde ardışık iki geliş arasındaki süre Üstel dağılıma uyar ve beklenen değeri

E[T] = 1/\lambda

saattir.

1/4

saat, 15 dakikaya eşittir. Olasılığı ölçeklenmiş parametreyle hesaplayan ve beklenen süreyi 15 dakika olarak veren seçenek doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

Bağımsız ve durağan artışlar özelliğini kullanarak incelenecek zaman aralığını ve yeni oran parametresini belirle.

N(3) - N(1)

rassal değişkeni, ilk saatteki gelişlerden tamamen bağımsızdır. Aradaki süre

t = 3 - 1 = 2

saattir. Yeni oran parametresi

\lambda \cdot t = 4 \cdot 2 = 8

olur.

Poisson sürecinde kesişmeyen zaman aralıklarındaki olay sayıları birbirinden bağımsızdır (bağımsız artışlar) ve sadece aralığın uzunluğuna bağlıdır (durağan artışlar).

Belirlenen parametre ile Poisson olasılık fonksiyonunu hesapla.

P(N(3) - N(1) = 6) = \frac{8^6 e^{-8}}{6!}

elde edilir.

Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}

formülüyle hesaplanır.

Ardışık iki olay arasındaki sürenin beklenen değerini hesapla ve dakika cinsine çevir.

Gelişler arası süre Üstel dağılıma sahiptir.

E[T] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{4}

saat. Dakikaya çevrildiğinde

\frac{1}{4} \cdot 60 = 15

dakika bulunur.

Poisson sürecinde ardışık olaylar arası geçen süre

\lambda

parametreli Üstel dağılıma uyar ve beklenen değeri

1/\lambda

'dır.

Anahtar Kavram

Poisson Süreci, Bağımsız ve Durağan Artışlar, Üstel Dağılım İlişkisi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru