Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) Fonksiyonları

Zaman serileri analizinde serinin durağanlaştırılması için gereğinden fazla fark alınması (aşırı fark alma), varyansı artırabildiği gibi hata terimlerinde yapay bir bağımlılık yapısı da oluşturabilir.

Bir ekonometrist, düzey değerlerinde birinci mertebeden entegre (I(1)I(1)) olan ve birinci farkı alındığında saf rassal (beyaz gürültü) sürece dönüşen bir makroekonomik zaman serisine, durağanlığı sağlamak amacıyla yanlışlıkla ikinci mertebeden (iki kez art arda) fark alma işlemi uygulamıştır.

Buna göre, elde edilen aşırı farkı alınmış serinin teorik Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının davranışıyla ilgili aşağıdakilerden hangisinin gözlenmesi beklenir?

  1. ACF grafiğinde sadece birinci gecikmede negatif yönde anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşanırken, PACF grafiğindeki katsayılar yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlenir.Cevap
  2. B
    ACF grafiğindeki katsayılar yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlenirken, PACF grafiğinde sadece birinci gecikmede anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşanır.
  3. C
    Her iki grafikte de gecikme katsayılarının tamamı istatistiksel olarak anlamsız çıkar ve sıfır etrafında rastgele dağılarak güven şeridi içinde kalır.
  4. D
    ACF grafiğinde birinci gecikmede pozitif yönde anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşanırken, PACF grafiğindeki katsayılar sinüs dalgası şeklinde sönümlenir.
  5. E
    ACF ve PACF grafiklerinin her ikisinde de katsayılar yavaş yavaş ve üstel olarak sıfıra yaklaşarak sönümlenme eğilimi gösterir.

Cevap

Doğru seçenek, ACF grafiğinde sadece birinci gecikmede negatif yönde anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşandığı, PACF grafiğindeki katsayıların ise yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlendiği seçenektir.
Verilen senaryoda, birinci farkı alındığında hata terimi ete_t'ye eşit olan serinin hatalı şekilde bir kez daha farkı alınarak et−et−1e_t - e_{t-1} serisi elde edilmiştir. Bu matematiksel yapı doğrudan bir MA(1)MA(1) modelini işaret etmektedir. Teorik olarak tüm MA(q)MA(q) süreçlerinin ACF grafikleri qq. gecikmeden sonra aniden istatistiksel olarak anlamsızlaşır (kesilme). PACF grafikleri ise geometrik veya asimptotik olarak sönümlenme eğilimi gösterir. Bu serinin formülasyonu gereği birinci gecikmedeki otokorelasyon katsayısı kesin olarak negatif (−0.5-0.5) olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin düzey değerlerindeki yapısını matematiksel olarak ifade et.
Seri I(1)I(1) (rassal yürüyüş) olduğu için veri üretim süreci Yt=Yt−1+etY_t = Y_{t-1} + e_t şeklindedir.
Uygulanan işlemlerin seriyi nasıl değiştirdiğini görmek için başlangıç modelini tanımlamak gerekir.
2
Seriye uygulanan birinci fark işleminin sonucunu belirle.
Birinci fark alındığında ΔYt=Yt−Yt−1=et\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1} = e_t elde edilir. Bu durum seriyi durağan beyaz gürültü sürecine dönüştürür.
İkinci fark işlemine geçmeden önce birinci farkın etkisini görmek şarttır.
3
Seriye uygulanan hatalı ikinci fark işleminin matematiksel sonucunu bul.
İkinci fark alındığında Δ2Yt=ΔYt−ΔYt−1=et−et−1\Delta^2 Y_t = \Delta Y_t - \Delta Y_{t-1} = e_t - e_{t-1} süreci elde edilir.
Analiz edilecek son serinin (aşırı farkı alınmış seri) yapısını ortaya çıkarmak.
4
Elde edilen et−et−1e_t - e_{t-1} sürecini Box-Jenkins yaklaşımları çerçevesinde sınıflandır.
Bu süreç, hareketli ortalama parametresi θ=1\theta = 1 olan teorik bir birinci dereceden hareketli ortalama, yani MA(1)MA(1) sürecidir.
Hangi model tipinin otokorelogram özelliklerinin aranacağını belirlemek için sınıflandırma zorunludur.
5
MA(1)MA(1) sürecinin teorik ACF ve PACF davranışını hatırla ve gecikme işaretini tespit et.
Saf MA(1)MA(1) sürecinde ACF 1. gecikmede kesilirken (cutting off), PACF yavaş yavaş sönümlenir (tailing off). İlgili sürecin 1. gecikme otokovaryansı beklenti değeri E[(et−et−1)(et−1−et−2)]=−σ2E[(e_t-e_{t-1})(e_{t-1}-e_{t-2})] = -\sigma^2 olduğundan ACF değeri negatif (−0.5-0.5) olur.
Seçenekler arasından doğru yorumlamayı tespit etmek için ACF/PACF teorik sınırlarını kullanmak.

Anahtar Kavram

Aşırı fark almanın (over-differencing) veri üretim süreci üzerindeki etkisi ve saf MA(1) sürecinin teorik correlogram özellikleri

Alternatif Yöntem

Matematiksel beklenti (E) operatörü kullanılarak birinci gecikmeli otokovaryans γ1\gamma_1 şu şekilde hesaplanabilir: E[(Δ2Yt)(Δ2Yt−1)]=E[(et−et−1)(et−1−et−2)]=−σ2E[(\Delta^2 Y_t)(\Delta^2 Y_{t-1})] = E[(e_t - e_{t-1})(e_{t-1} - e_{t-2})] = -\sigma^2. Otokorelasyon formülünden ρ1=γ1γ0=−σ22σ2=−0.5\rho_1 = \frac{\gamma_1}{\gamma_0} = \frac{-\sigma^2}{2\sigma^2} = -0.5 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) Fonksiyonları

Bu konudan daha fazla soru