Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMartingaleler

Bir veri merkezindeki sunucu ağının kümülatif işlem yükü sapması, {Fn}n≥0\{\mathcal{F}_n\}_{n \ge 0} filtrasyonuna göre M0=0M_0 = 0 başlangıç değeriyle Mn=∑i=1nΔiM_n = \sum_{i=1}^n \Delta_i stokastik süreci olarak modellenmiştir. Bu süreçteki Δi\Delta_i adım değişimlerinin, her n≥1n \ge 1 için

E[Δn∣Fn−1]=0veE[Δn2∣Fn−1]=σ2(σ2>0)E[\Delta_n | \mathcal{F}_{n-1}] = 0 \quad \text{ve} \quad E[\Delta_n^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = \sigma^2 \quad (\sigma^2 > 0)

şartlarını sağladığı bilinmektedir.

Sistem yöneticisi, soğutma sisteminin enerji maliyeti projeksiyonunu yapabilmek amacıyla karesel sapmayı temsil eden Cn=Mn2C_n = M_n^2 sürecini ve bu maliyetin kompanze edilmiş hali olan Nn=Cn−nσ2N_n = C_n - n\sigma^2 sürecini tanımlamıştır.

Buna göre, CnC_n sürecinin martingal teorisine göre sınıflandırması ve Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem) şartlarını sağlayan sonlu bir TT durdurma zamanı için E[NT]E[N_T] beklenen değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. CnC_n alt martingaldir ve E[NT]=0E[N_T] = 0Cevap
  2. B
    CnC_n martingaldir ve E[NT]=0E[N_T] = 0
  3. C
    CnC_n alt martingaldir ve E[NT]=E[T]σ2E[N_T] = E[T]\sigma^2
  4. D
    CnC_n üst martingaldir ve E[NT]=σ2E[N_T] = \sigma^2
  5. E
    CnC_n üst martingaldir ve E[NT]=−E[T]σ2E[N_T] = -E[T]\sigma^2

Cevap

Süreç CnC_n bir alt martingaldir ve Opsiyonel Durdurma Teoremi gereği kompanze edilmiş sürecin beklenen değeri E[NT]=0E[N_T] = 0 olur.
Doğru sınıflandırma ve beklenti değeri şöyledir: CnC_n sürecinin koşullu beklenen değeri, karesel artışın getirdiği σ2\sigma^2 terimi nedeniyle daima mevcut değerinden fazladır. E[Cn∣Fn−1]=Cn−1+σ2≥Cn−1E[C_n | \mathcal{F}_{n-1}] = C_{n-1} + \sigma^2 \ge C_{n-1} eşitsizliği CnC_n'in alt martingal olduğunu kanıtlar. Nn=Cn−nσ2N_n = C_n - n\sigma^2 süreci ise bu σ2\sigma^2 artışını her adımda kompanze ettiği için tam bir martingal olur. Opsiyonel Durdurma Teoremi uygulandığında, bir martingalin durdurma anındaki beklenen değeri baştaki değere (N0=0N_0 = 0) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
CnC_n sürecinin koşullu beklenen değerini hesapla.
E[Cn∣Fn−1]=E[Mn2∣Fn−1]=E[(Mn−1+Δn)2∣Fn−1]E[C_n | \mathcal{F}_{n-1}] = E[M_n^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = E[(M_{n-1} + \Delta_n)^2 | \mathcal{F}_{n-1}] formülü yazılır.
Sürecin martingal sınıflandırmasını yapabilmek için bir sonraki adımın mevcut bilgiye göre beklenen durumuna bakmak gerekir.
2
Parantez içini açarak terimleri ayrıştır ve koşullu beklenen değer özelliklerini uygula.
E[Mn−12+2Mn−1Δn+Δn2∣Fn−1]=Mn−12+2Mn−1E[Δn∣Fn−1]+E[Δn2∣Fn−1]E[M_{n-1}^2 + 2M_{n-1}\Delta_n + \Delta_n^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = M_{n-1}^2 + 2M_{n-1}E[\Delta_n|\mathcal{F}_{n-1}] + E[\Delta_n^2|\mathcal{F}_{n-1}] elde edilir.
Mn−1M_{n-1} değeri Fn−1\mathcal{F}_{n-1} bilindiğinde bir sabit gibi dışarı çıkar.
3
Verilen şartları yerine koyarak sınıflandırmayı tamamla.
Mn−12+2Mn−1(0)+σ2=Cn−1+σ2M_{n-1}^2 + 2M_{n-1}(0) + \sigma^2 = C_{n-1} + \sigma^2. σ2>0\sigma^2 > 0 olduğundan E[Cn∣Fn−1]≥Cn−1E[C_n | \mathcal{F}_{n-1}] \ge C_{n-1} bulunur. Bu nedenle CnC_n alt martingaldir.
Bir sürecin koşullu beklentisi kendisinden büyükse bu süreç alt martingal (submartingale) olarak adlandırılır.
4
NnN_n sürecinin martingal özelliğini test et.
E[Nn∣Fn−1]=E[Cn−nσ2∣Fn−1]=Cn−1+σ2−nσ2=Cn−1−(n−1)σ2=Nn−1E[N_n | \mathcal{F}_{n-1}] = E[C_n - n\sigma^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = C_{n-1} + \sigma^2 - n\sigma^2 = C_{n-1} - (n-1)\sigma^2 = N_{n-1}. Süreç martingaldir.
CnC_n sürecinden sistematik artış terimi olan kompanzatör (Doob ayrışımı) çıkarıldığında geriye saf bir martingal kalır.
5
Opsiyonel Durdurma Teoremini uygula.
E[NT]=E[N0]=E[M02−0]=E[0]=0E[N_T] = E[N_0] = E[M_0^2 - 0] = E[0] = 0 bulunur.
Uygun şartları sağlayan bir durdurma zamanı TT için martingal sürecinin beklenen değeri ilk andaki değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Martingal Süreçlerin Sınıflandırılması ve Doob-Meyer Ayrışımı
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru