Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtoregresif (AR) Modeller

Bir makroekonomist, bir ülkenin çeyreklik büyüme oranlarındaki dalgalanmaları sıfır ortalamalı ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile aşağıdaki gibi temsil etmektedir:

Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+ϵtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t

Araştırmacı, modelin durağanlık varsayımını sağladığını ve seriye ait otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) işaret değiştirerek sönümlenen sinüsoidal (sözde periyodik) bir dalgalanma sergilediğini tespit etmiştir.

Buna göre, modelin parametreleri olan ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 aşağıdaki koşul setlerinden hangisini eş anlı olarak sağlamalıdır?

  1. ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,−1<ϕ2<1,ϕ12+4ϕ2<0\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0Cevap
  2. B
    ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,−1<ϕ2<1,ϕ12−4ϕ2<0\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 - 4\phi_2 < 0
  3. C
    ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,−1<ϕ2<1,ϕ12+4ϕ2>0\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 > 0
  4. D
    ϕ1+ϕ2<1,ϕ1−ϕ2<1,−1<ϕ1<1,ϕ12+4ϕ2<0\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_1 - \phi_2 < 1, \quad -1 < \phi_1 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0
  5. E
    ϕ1+ϕ2>1,ϕ2−ϕ1>1,−1<ϕ2<1,ϕ12+4ϕ2<0\phi_1 + \phi_2 > 1, \quad \phi_2 - \phi_1 > 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

Cevap

Durağanlık ve karmaşık kök koşullarını sağlayan eşitsizliklerin tümünü barındıran ϕ1+ϕ2<1,ϕ2−ϕ1<1,−1<ϕ2<1,ϕ12+4ϕ2<0\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 ifadesidir.
Verilen AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için parametrelerin durağanlık üçgenini oluşturan ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1 eşitsizliklerini sağlaması şarttır. Ek olarak, ACF grafiğinin sinüsoidal (sözde periyodik) bir şekilde dalgalanarak sönümlenmesi, modelin karakteristik denklemi olan 1−ϕ1z−ϕ2z2=01 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0'ın köklerinin karmaşık (complex) sayı olmasını gerektirir. Bu durum, denklemin diskriminantı olan ϕ12+4ϕ2\phi_1^2 + 4\phi_2 değerinin sıfırdan küçük olmasıyla (ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0) mümkündür. Doğru seçenek tüm bu koşulları eksiksiz sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) modeli için temel durağanlık koşulları belirlenir.
Durağanlık için parametreler ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1 eşitsizliklerini sağlamalıdır.
Karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması için bu üç eşitsizlik zorunludur.
2
ACF'nin sönümlenen sinüsoidal bir yapı gösterme koşulu analiz edilir.
Sinüsoidal sönümlenme için 1−ϕ1z−ϕ2z2=01 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0 karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayı olmalıdır.
Gerçel kökler üstel sönümlenmeye, karmaşık kökler ise dalgalı/sinüsoidal sönümlenmeye yol açar.
3
Karmaşık kök koşulu için diskriminant hesaplanır.
Denklemin diskriminantı Δ=ϕ12−4(−ϕ2)=ϕ12+4ϕ2\Delta = \phi_1^2 - 4(-\phi_2) = \phi_1^2 + 4\phi_2 şeklindedir ve karmaşık kök için ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin karmaşık olması diskriminantın negatif olmasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve Karakteristik Denklem Kökleri
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif (AR) Modeller

Bu konudan daha fazla soru