Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKesikli Düzgün Dağılım

Bir üniversite kütüphanesinde, final haftalarında öğrencilere geçici olarak tahsis edilmek üzere ayrılmış kilitli dolaplar, aa ve bb (a,b∈Z+a, b \in \mathbb{Z}^+ ve a<ba < b) dâhil olmak üzere bu iki değer arasındaki ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır.

Sistemden dolap talep eden bir öğrenciye bu dolaplardan herhangi biri eşit olasılıkla rastgele atanmaktadır. Öğrenciye atanan dolap numarasını temsil eden XX rastgele değişkeninin beklenen değeri 4545 ve varyansı 2424 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, öğrencilere tahsis edilebilecek en büyük kilitli dolap numarası (bb) kaçtır?

  1. A
    37
  2. B
    48
  3. 53Cevap
  4. D
    57
  5. E
    89

Cevap

En büyük kilitli dolap numarası 53'tür.
Kesikli düzgün dağılımda terim sayısı n=b−a+1n = b - a + 1 olmak üzere varyans Var(X)=n2−112Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} formülü ile hesaplanır. Varyansın 2424 olması formülde yerine konulduğunda n=17n = 17 olduğu bulunur. Beklenen değer ise uç noktaların ortalaması olan E(X)=a+b2E(X) = \frac{a + b}{2} formülüyle hesaplanır ve 4545 değeri a+b=90a + b = 90 eşitliğini verir. Toplam eleman sayısı üzerinden b−a=16b - a = 16 olduğu bilinmektedir. Bu iki denklem (b−a=16b - a = 16 ve a+b=90a + b = 90) taraf tarafa toplandığında doğru yanıtı temsil eden üst sınır (bb) değeri 5353 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılım türünü ve terim sayısını belirleme
Dolap numaraları ardışık tam sayılar olduğundan XX kesikli düzgün dağılıma sahiptir ve terim sayısı n=b−a+1n = b - a + 1 olarak ifade edilir.
Varyans ve beklenen değer formüllerini doğru uygulayabilmek için dağılımın temel parametrelerini tanımlamak gerekir.
2
Varyans bilgisini kullanarak terim sayısını (nn) hesaplama
Kesikli düzgün dağılım varyans formülü Var(X)=n2−112=24Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 24 olarak eşitlendiğinde n2=289n^2 = 289 ve buradan n=17n = 17 bulunur.
Kesikli düzgün dağılımda varyans sadece toplam terim sayısına (nn) bağlıdır.
3
Beklenen değer formülü ile sınırların toplamını elde etme
Beklenen değer formülü E(X)=a+b2=45E(X) = \frac{a + b}{2} = 45 kullanıldığında a+b=90a + b = 90 denklemi elde edilir.
Kesikli düzgün dağılımın beklenen değeri, dağılımın alt ve üst sınırlarının aritmetik ortalamasıdır.
4
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bb değerini bulma
n=b−a+1=17n = b - a + 1 = 17 eşitliğinden b−a=16b - a = 16 bulunur. a+b=90a + b = 90 ile ortak çözüldüğünde taraf tarafa toplama yapılarak 2b=1062b = 106 ve nihayetinde b=53b = 53 sonucuna ulaşılır.
Soruda bizden istenen en büyük kilitli dolap numarası, sistemin üst sınırı olan bb değeridir.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Düzgün Dağılım

Bu konudan daha fazla soru