Examkin

Soru

Zorluk: KolayMartingaleler

{Xn}n≥1\{X_n\}_{n \geq 1} bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenler dizisi olsun. Her bir XiX_i değişkeninin beklenen değerinin E[Xi]=0E[X_i] = 0 olduğu bilinmektedir. S0=0S_0 = 0 başlangıç değeriyle kümülatif toplam süreci Sn=∑i=1nXiS_n = \sum_{i=1}^n X_i şeklinde tanımlanmıştır. Bu durumda, {Fn}n≥0\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0} doğal filtrasyonuna göre E[Sn+1∣Fn]E[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] koşullu beklenen değerinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. SnS_nCevap
  2. B
    00
  3. C
    Sn+1S_{n+1}
  4. D
    XnX_n
  5. E
    11

Cevap

Sürecin mevcut adımı olan SnS_n değeri doğrudur.
Martingal süreçlerin temel tanımı, gelecekte beklenen değerin, geçmişteki tüm bilgiler verildiğinde şimdiki değere eşit olmasıdır. Bağımsız ve sıfır ortalamalı artışlara sahip kümülatif toplamlar (rassal yürüyüşler), bu tanımı tam olarak karşılayan en temel martingal örneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Sürecin bir sonraki adımını mevcut adım ve yeni artış cinsinden yazın.
Sn+1=Sn+Xn+1S_{n+1} = S_n + X_{n+1}
Koşullu beklenen değeri hesaplamak için süreci parçalarına ayırmak gerekir.
2
Koşullu beklenen değer operatörünü ve doğrusallık özelliğini uygulayın.
E[Sn+1∣Fn]=E[Sn+Xn+1∣Fn]=E[Sn∣Fn]+E[Xn+1∣Fn]E[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = E[S_n + X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = E[S_n \mid \mathcal{F}_n] + E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n]
Beklenen değer operatörünün toplamsal özelliği koşullu beklenen değer için de geçerlidir.
3
SnS_n değerinin filtrasyona göre durumunu ve Xn+1X_{n+1}'in bağımsızlığını değerlendirin.
E[Sn∣Fn]=SnE[S_n \mid \mathcal{F}_n] = S_n ve E[Xn+1∣Fn]=E[Xn+1]=0E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = E[X_{n+1}] = 0
SnS_n filtrasyon altında ölçülebilir (biliniyor) olduğu için dışarı çıkar; Xn+1X_{n+1} ise bağımsız olduğu için koşulsuz beklenen değerine eşit olur.
4
Sonuçları toplayarak nihai beklenen değeri bulun.
E[Sn+1∣Fn]=Sn+0=SnE[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = S_n + 0 = S_n
Bulunan iki bileşenin toplamı sürecin martingal özelliğini doğrular.

Anahtar Kavram

Martingal (Martingale) Özelliği
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru