Examkin

Soru

Zorluk: KolayMartingaleler

Martingal (martingale) teorisi kapsamında, {Fn}n≥0\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0} filtrasyonuna uyumlu bir {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} süreci için martingal olma koşulu E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n şeklinde verilmektedir. Bu özellikten hareketle, sürecin n+1n+1 ve nn zamanlarındaki değerleri arasındaki farkın (artışının) koşullu beklenen değeri olan E[Xn+1−Xn∣Fn]E[X_{n+1} - X_n \mid \mathcal{F}_n] ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 00Cevap
  2. B
    XnX_n
  3. C
    11
  4. D
    E[Xn]E[X_n]
  5. E
    nn

Cevap

Martingal süreçler için koşullu artışların beklenen değeri 0 sonucuna eşittir.
Martingal süreçlerin temel tanımı, sürecin bir sonraki adımındaki beklenen değerinin, o ana kadar elde edilen tüm bilgiler ışığında mevcut değere eşit olmasıdır. Matematiksel olarak E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n olduğu için, bu iki değer arasındaki farkın (Xn+1−XnX_{n+1} - X_n) beklenen değeri zorunlu olarak sıfır çıkmaktadır. Bu durum martingallerin 'adil bir oyunu' (fair game) temsil etmesinin de temelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliğini uygulayın.
E[Xn+1−Xn∣Fn]=E[Xn+1∣Fn]−E[Xn∣Fn]E[X_{n+1} - X_n \mid \mathcal{F}_n] = E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] - E[X_n \mid \mathcal{F}_n]
Toplama ve çıkarma işlemleri beklenen değer operatörü dışına dağıtılabilir.
2
Tanım gereği martingal özelliğini birinci terim yerine koyun.
E[Xn+1∣Fn]=XnE[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n
Sürecin martingal olması, gelecekteki değerin mevcut bilgiye göre beklenen değerinin şu anki değere eşit olması demektir.
3
İkinci terim için ölçülebilirlik (measurability) özelliğini kullanın.
E[Xn∣Fn]=XnE[X_n \mid \mathcal{F}_n] = X_n
XnX_n değeri Fn\mathcal{F}_n filtrasyonuna (geçmiş bilgiye) göre zaten bilindiği için koşullu beklenen değeri kendisidir.
4
Elde edilen sonuçları birleştirerek çıkarma işlemini tamamlayın.
Xn−Xn=0X_n - X_n = 0
Her iki terim de mevcut değere (Xn) eşit olduğundan fark sıfıra indirgenir.

Anahtar Kavram

Martingal Artış Özelliği (Martingale Increments)
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru