Examkin

Soru

Zorluk: KolayMartingaleler

{Fn,n≥0}\{\mathcal{F}_n, n \geq 0\} filtrasyonuna göre bir martingal (martingale) olduğu bilinen {Xn,n≥0}\{X_n, n \geq 0\} stokastik sürecinin başlangıç değeri X0=5X_0 = 5 olarak verilmiştir. Bu sürecin 10. adımdaki değeri X10=12X_{10} = 12 olarak gözlemlendiğine göre, sürecin 15. adımdaki koşullu beklenen değeri olan E[X15∣F10]E[X_{15} | \mathcal{F}_{10}] kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    10
  3. 12Cevap
  4. D
    15
  5. E
    17

Cevap

Sürecin 15. adımdaki koşullu beklenen değeri 12'dir.
Martingal süreçlerin temel özelliği olan E[Xn+k∣Fn]=XnE[X_{n+k} | \mathcal{F}_n] = X_n kuralına göre, sürecin gelecekteki bir andaki beklenen değeri, eldeki en güncel bilgi kümesi olan filtrasyonun son değerine eşittir. Burada 10. adımdaki değer 12 olarak verildiği için, 15. adımdaki beklenen değer de 12 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Martingal tanımını ve temel özelliğini hatırla.
E[Xn+k∣Fn]=XnE[X_{n+k} | \mathcal{F}_n] = X_n (her k≥0k \geq 0 için).
Martingal süreçlerde, mevcut tüm bilgiler ışığında gelecekteki durumun beklenen değeri, sürecin o andaki değerine eşittir.
2
Soruda verilen parametreleri formüle yerleştir.
n=10n=10 ve k=5k=5 olduğu için E[X15∣F10]=X10E[X_{15} | \mathcal{F}_{10}] = X_{10} olur.
10. adımdaki tüm bilgiler (filtrasyon) verildiği için özellik bu indisler üzerinden uygulanır.
3
Gözlemlenen X10X_{10} değerini yerine koy.
X10=12X_{10} = 12 olduğundan beklenen değer 12'dir.
Süreç martingal olduğu için geçmişteki değişimler veya başlangıç değeri, o andaki bilgi verildikten sonra beklentiyi değiştirmez.

Anahtar Kavram

Martingal Korunum Özelliği
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Martingaleler

Bu konudan daha fazla soru