Kareler Toplamlarının Hesaplanması (Genel, İşlem, Hata) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir ziraat mühendisi, 4 farklı buğday çeşidinin verimlerini karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarım planına göre bir deney yürütmüştür. Her bir buğday çeşidi 5 farklı deney parseline tesadüfi olarak ekilmiştir. Deney sonucunda elde edilen verilere ilişkin bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

- Genel toplam ( $Y_{..}$ ): $160$
- Gözlem değerlerinin kareleri toplamı ( $\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{5} Y_{ij}^2$ ): $1450$
- Çeşitlerin grup toplamları sırasıyla ( $Y_{1.}, Y_{2.}, Y_{3.}, Y_{4.}$ ): $30, 40, 50, 40$

Buna göre, bu deney için hata kareler toplamı ( $SSE$ ) kaçtır?

40

130

170

210

1120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

130

Varyans analizinde hata kareler toplamını (

SSE

) bulmak için genel kareler toplamından (

SST

) işlem kareler toplamının (

SSTr

) çıkarılması gerekir. Öncelikle toplam 20 gözlem için düzeltme terimi

CT = 160^2 / 20 = 1280

olarak bulunur.

SST = 1450 - 1280 = 170

olarak elde edilir.

SSTr

için grup toplamlarının kareleri

n=5

'e bölünerek toplanır:

(900 + 1600 + 2500 + 1600) / 5 = 1320

. Ardından düzeltme terimi çıkarılarak

SSTr = 1320 - 1280 = 40

bulunur. Son olarak,

SSE = 170 - 40 = 130

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısını (

N

) ve düzeltme terimini (

CT

) hesaplayın.

N = 4 \times 5 = 20

gözlem.

CT = \frac{Y_{..}^2}{N} = \frac{160^2}{20} = \frac{25600}{20} = 1280

Kareler toplamı formüllerinde sapmaları pratik yoldan hesaplayabilmek için düzeltme terimine ihtiyaç vardır.

2

Genel kareler toplamını (

SST

) hesaplayın.

SST = \sum \sum Y_{ij}^2 - CT = 1450 - 1280 = 170

Verilerdeki toplam varyasyonu ifade eden genel kareler toplamı, tüm gözlemlerin kareleri toplamından düzeltme teriminin çıkarılmasıyla bulunur.

3

İşlem (muamele) kareler toplamını (

SSTr

) hesaplayın.

SSTr = \frac{\sum Y_{i.}^2}{n} - CT = \frac{30^2 + 40^2 + 50^2 + 40^2}{5} - 1280 = \frac{900 + 1600 + 2500 + 1600}{5} - 1280 = \frac{6600}{5} - 1280 = 1320 - 1280 = 40

Gruplar arası varyasyonu ifade eden işlem kareler toplamı, grup toplamlarının karelerinin gruptaki gözlem sayısına bölünüp toplanması ve düzeltme teriminden çıkarılmasıyla bulunur.

4

Hata kareler toplamını (

SSE

) hesaplayın.

SSE = SST - SSTr = 170 - 40 = 130

Varyans analizinde toplanabilirlik kuralı gereği, genel kareler toplamı işlem ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir (

SST = SSTr + SSE

). Buradan hareketle

SSE

çekilerek bulunur.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Hesaplanması ve Ayrıştırılması (Genel, İşlem, Hata)

Alternatif Yöntem

Düzeltme terimini (

CT

) hiç hesaba katmadan doğrudan şu kısayol formülüyle

SSE

bulunabilir:

SSE = \sum \sum Y_{ij}^2 - \sum \frac{Y_{i.}^2}{n} = 1450 - \frac{6600}{5} = 1450 - 1320 = 130

. Bu yöntem, sınavda

CT

hesaplama adımını atlayarak zaman kazandırır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir araştırmacı, 3 farklı üretim yönteminin (A, B ve C) üretilen parçaların dayanıklılığı (Newton) üzerindeki etkisini incelemek için tamamen rastgele tasarım planına göre bir deney yürütmüştür. Elde edilen verilere ait grup gözlem sayıları, örneklem ortalamaları ve örneklem varyansları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Üretim Yöntemi	Gözlem Sayısı ( $n_i$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{X}_{i.}$ )	Örneklem Varyansı ( $S_i^2$ )
A	3	10	4,5
B	5	14	2,5
C	2	20	6,0

Buna göre, bu deney tasarımı için Genel Kareler Toplamı (SST) değeri kaçtır?

77

120

133

145

158

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 145

Cevap

Doğru değer 145'tir. Genel kareler toplamı (SST), işlem kareler toplamı (SSTr) ile hata kareler toplamının (SSE) toplanmasıyla elde edilir.

Genel Kareler Toplamı (SST), İşlem (SSTr) ve Hata (SSE) kareler toplamlarının toplamıdır. İlk olarak genel ortalama

\bar{X}_{..} = 14

bulunur. SSTr değeri, her grubun gözlem sayısının, grup ortalamasının genel ortalamadan farkının karesiyle çarpılıp toplanmasıyla

3(-4)^2 + 5(0)^2 + 2(6)^2 = 120

olarak hesaplanır. SSE değeri ise verilen örneklem varyanslarının serbestlik dereceleriyle (

n_i-1

) çarpılıp toplanmasıyla elde edilir:

2(4,5) + 4(2,5) + 1(6) = 25

. Son aşamada SST = 120 + 25 = 145 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Genel ortalamanın (

\bar{X}_{..}

) hesaplanması.

\bar{X}_{..} = \frac{3 \times 10 + 5 \times 14 + 2 \times 20}{10} = \frac{30 + 70 + 40}{10} = \frac{140}{10} = 14

İşlem kareler toplamını (SSTr) bulabilmek için grupların genel ortalamadan sapmalarını ağırlıklı olarak hesaplamak gerekir.

2

İşlem Kareler Toplamının (SSTr) hesaplanması.

SSTr = 3(10 - 14)^2 + 5(14 - 14)^2 + 2(20 - 14)^2 = 3(16) + 5(0) + 2(36) = 48 + 0 + 72 = 120

Grup ortalamalarının genel ortalamadan farklarının kareleri, ilgili grubun gözlem sayısı ile çarpılarak toplanır.

3

Hata Kareler Toplamının (SSE) hesaplanması.

SSE = (3-1)4,5 + (5-1)2,5 + (2-1)6,0 = 2(4,5) + 4(2,5) + 1(6,0) = 9 + 10 + 6 = 25

Örneklem varyansı formülü

S^2 = \frac{SS}{n-1}

olduğundan, her grubun kendi içindeki kareler toplamını (SS) bulmak için varyans değeri serbestlik derecesi (

n_i-1

) ile çarpılır.

4

Genel Kareler Toplamının (SST) hesaplanması.

SST = SSTr + SSE = 120 + 25 = 145

Varyans analizi (ANOVA) toplanabilirlik ilkesine göre genel kareler toplamı, işlem ve hata kareler toplamlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

ANOVA'da Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması (Toplanabilirlik İlkesi)

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunda, personelin hizmet içi eğitimlerinde kullanılan 3 farklı öğretim yönteminin eğitim sonu başarı puanları üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Bu amaçla tamamen rastgele tasarım planına göre her bir yöntem için şansa bağlı seçilen 5'er personel eğitime alınmış ve sınav sonucunda aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

Öğretim Yöntemi	Gözlem Sayısı ( $n_i$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_{i.}$ )	Örneklem Varyansı ( $s_i^2$ )
Yöntem A	5	12	4
Yöntem B	5	18	6
Yöntem C	5	15	5

Buna göre, gerçekleştirilecek tek yönlü varyans analizinde (ANOVA) Genel Kareler Toplamı (SST) değeri kaçtır?

60

78

90

150

165

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Genel Kareler Toplamı (SST), İşlem ve Hata Kareler Toplamlarının toplanmasıyla elde edilen 150 değeridir.

Verilen özet istatistiklerden Genel Kareler Toplamına (SST) ulaşmak için öncelikle İşlem Kareler Toplamı (SSTr) ve Hata Kareler Toplamı (SSE) ayrı ayrı hesaplanmalı ve toplanmalıdır. Genel ortalama

\bar{y}_{..} = 15

'tir. SSTr, grup sapmalarının karelerinin

n_i

ile çarpılıp toplanmasıyla

90

olarak bulunur. SSE ise grup varyanslarının kendi serbestlik dereceleri

(n_i - 1)

ile çarpılmasıyla

60

olarak bulunur. Toplanabilirlik ilkesi (SST = SSTr + SSE) gereğince genel kareler toplamı

90 + 60 = 150

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Genel ortalamanın (

\bar{y}_{..}

) ağırlıklı ortalama formülüyle hesaplanması.

\bar{y}_{..} = \frac{5(12) + 5(18) + 5(15)}{15} = \frac{60 + 90 + 75}{15} = 15

İşlem kareler toplamını bulmak için grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmaları gereklidir.

2

İşlem (Muamele) Kareler Toplamının (

SSTr

) hesaplanması.

SSTr = \sum n_i (\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..})^2 = 5(12-15)^2 + 5(18-15)^2 + 5(15-15)^2 = 5(-3)^2 + 5(3)^2 + 0 = 45 + 45 = 90

Farklı yöntemlerin yarattığı varyasyonu ölçmek için grup sapmalarının kareleri grup hacimleriyle çarpılarak toplanır.

3

Hata Kareler Toplamının (

SSE

) hesaplanması.

SSE = \sum (n_i - 1)s_i^2 = (5-1)4 + (5-1)6 + (5-1)5 = 4(4) + 4(6) + 4(5) = 16 + 24 + 20 = 60

Grup içi varyasyonları bulmak için her grubun varyansı kendi serbestlik derecesi ile çarpılıp birleştirilir.

4

Genel Kareler Toplamının (

SST

) toplanabilirlik kuralı kullanılarak bulunması.

SST = SSTr + SSE = 90 + 60 = 150

Varyans analizi modelinde toplam varyasyon, gruplar arası ve grup içi varyasyonların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Özet İstatistiklerden Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması

Soru 4Soru →

Bir e-ticaret platformunda, kullanıcıların ödeme adımında geçirdikleri süreyi (saniye) minimize etmek amacıyla 4 farklı arayüz tasarımı ( $T_1, T_2, T_3, T_4$ ) test edilmiştir. Tamamen rastgele tasarım ilkesine göre kullanıcılara sunulan bu tasarımlara ilişkin elde edilen özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tasarım	Kullanıcı Sayısı ( $n_i$ )	Ortalama Süre ( $\bar{y}_i$ )	Varyans ( $s_i^2$ )
$T_1$	5	12	4
$T_2$	4	15	5
$T_3$	6	10	3
$T_4$	5	14	6

Buna göre, bu deney verilerine ait Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ) değeri kaçtır?

70

75

85

145

163

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 145

Cevap

Doğru yanıt 145'tir. Bu değer, İşlem Kareler Toplamı ile Hata Kareler Toplamının formüle uygun şekilde hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir.

Varyans analizinde, ham veriler yerine grup büyüklüğü (

n_i

), grup ortalaması (

\bar{y}_i

) ve grup varyansı (

s_i^2

) verildiğinde Genel Kareler Toplamı iki aşamada bulunur. İlk olarak grupların ağırlıklı sapmalarından İşlem Kareler Toplamı (

SSTr = 75

), ardından varyansların serbestlik dereceleri ile çarpımından Hata Kareler Toplamı (

SSE = 70

) hesaplanır. Genel Kareler Toplamı (

SST

) bu iki değerin toplamına eşittir (

75 + 70 = 145

).

Adım Adım Çözüm

1

Tüm veriler için genel ortalamayı (

\bar{y}_{..}

) hesaplayın.

Toplam gözlem sayısı

N = 5 + 4 + 6 + 5 = 20

'dir. Genel toplam

\sum y = (5 \times 12) + (4 \times 15) + (6 \times 10) + (5 \times 14) = 60 + 60 + 60 + 70 = 250

'dir. Genel ortalama

\bar{y}_{..} = 250 / 20 = 12,5

olarak bulunur.

İşlem Kareler Toplamını (SSTr) bulabilmek için grup ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının hesaplanması gerekir.

2

İşlem (Tasarım) Kareler Toplamını (

SSTr

) hesaplayın.

SSTr = \sum n_i(\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..})^2 = 5(12-12,5)^2 + 4(15-12,5)^2 + 6(10-12,5)^2 + 5(14-12,5)^2 = 5(0,25) + 4(6,25) + 6(6,25) + 5(2,25) = 1,25 + 25 + 37,5 + 11,25 = 75

.

Tasarımlar arası değişkenliğin boyutunu belirlemek için İşlem Kareler Toplamı hesaplanmalıdır.

3

Hata Kareler Toplamını (

SSE

) örneklem varyansları üzerinden hesaplayın.

SSE = \sum (n_i - 1)s_i^2 = (5-1)4 + (4-1)5 + (6-1)3 + (5-1)6 = 16 + 15 + 15 + 24 = 70

.

Örneklem varyansları, her grubun kendi içindeki serbestlik derecesiyle çarpılarak toplanıp grup içi hata (SSE) elde edilir.

4

Genel Kareler Toplamını (

SST

) elde etmek için toplanabilirlik kuralını uygulayın.

SST = SSTr + SSE = 75 + 70 = 145

.

Varyans analizinde temel kural olan Kareler Toplamının Ayrıştırılması (

SST = SSTr + SSE

) prensibinden yararlanılır.

Anahtar Kavram

Özet istatistikler kullanılarak Tek Yönlü ANOVA'da Kareler Toplamlarının (SST = SSTr + SSE) parçalanması ve serbestlik dereceleriyle ilişkisi

Alternatif Yöntem

Genel Kareler Toplamını hesaplamak için grupların ham değerlerinin kareleri toplamını (

\sum \sum y_{ij}^2

) örneklem varyansları ve ortalamalarından türeterek hesaplayıp, en son genel düzeltme faktörünü (

\frac{Y_{..}^2}{N}

) çıkararak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 5Soru →

Bir tekstil mühendisi, 5 farklı sentetik iplik karışımının kopma dayanıklılığını karşılaştırmak amacıyla tamamen rastgele tasarım planına göre bir deney yürütmüştür. Deneyde her bir iplik karışımından rastgele seçilen 6'şar numune test edilmiştir.

Verilerin analizi sonucunda, hata kareler ortalaması ( $MSE$ ) 12 ve genel kareler toplamı ( $SST$ ) 450 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, iplik karışımları arasındaki farklılıktan kaynaklanan işlem (muamele) kareler toplamı ( $SSTr$ ) kaçtır?

90

102

150

390

750

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Doğru yanıt 150'dir. Hata serbestlik derecesi 25 bulunarak hata kareler toplamı 300 elde edilmiş, ardından bu değer genel kareler toplamından çıkarılarak sonuç bulunmuştur.

Doğru yanıt, varyans analizindeki kareler toplamlarının toplanabilirlik kuralına (

SST = SSTr + SSE

) dayanarak elde edilir. Toplam gözlem sayısının (

N=30

) işlem sayısına (

k=5

) farkı alınarak hata serbestlik derecesi (

df_E = 25

) bulunur.

SSE

değeri,

MSE

ile

df_E

çarpılarak (

12 \times 25 = 300

) elde edildikten sonra genel kareler toplamından (

450

) çıkarılarak işlem kareler toplamına (

150

) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgilere göre hata serbestlik derecesini (

df_E

) hesaplamak.

Grup sayısı

k = 5

, grup başına gözlem sayısı

n = 6

, toplam gözlem sayısı

N = 30

'dur.

df_E = N - k = 30 - 5 = 25

bulunur.

Hata kareler toplamını (

SSE

) bulabilmek için hata serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

2

Hata kareler ortalaması (

MSE

) ve hata serbestlik derecesi (

df_E

) kullanılarak hata kareler toplamını (

SSE

) bulmak.

SSE = MSE \times df_E = 12 \times 25 = 300

olarak hesaplanır.

MSE

, hata kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölümüyle elde edildiğinden işlemi tersine çeviriyoruz.

3

Genel kareler toplamı (

SST

) denkleminden faydalanarak işlem kareler toplamını (

SSTr

) elde etmek.

SST = SSTr + SSE

eşitliğinden,

SSTr = 450 - 300 = 150

bulunur.

Varyans analizinde genel değişebilirlik, işlemlerden kaynaklanan değişebilirlik ile rastgele hatanın toplamından oluşur.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Hesaplanması ve Ayrıştırılması (Genel, İşlem, Hata)

Soru 6Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, yoğun bir kavşaktaki araçların ortalama bekleme sürelerini (saniye) azaltmak amacıyla 3 farklı sinyalizasyon programını (Program 1, Program 2 ve Program 3) test etmektedir. Her bir program, günün benzer saatlerinde rastgele seçilen 4'er farklı zaman diliminde uygulanmış ve kavşaktaki bekleme süreleri kaydedilmiştir.

Elde edilen verilere ilişkin özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sinyalizasyon Programı	Bekleme Süreleri Toplamı ( $T_i$ )	Uygulama Sayısı ( $n_i$ )
1. Program	200	4
2. Program	280	4
3. Program	120	4

Tüm gözlem değerlerinin kareleri toplamı ( $\sum\sum X_{ij}^2$ ) 33.800 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu deney tasarımı için hata kareler toplamı (HKT) kaçtır?

600

1600

3200

3800

7000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 600

Cevap

Hata kareler toplamı 600'dür.

Varyans analizinde toplanabilirlik kuralı uyarınca Genel Kareler Toplamı, İşlem Kareler Toplamı ile Hata Kareler Toplamının toplamına eşittir (

GKT = İKT + HKT

). GKT

3.800

ve İKT

3.200

olarak hesaplandıktan sonra, hata kareler toplamı

3.800 - 3.200 = 600

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Düzeltme Terimini (DT) hesapla.

DT = \frac{(\sum T_i)^2}{N} = \frac{(200 + 280 + 120)^2}{12} = \frac{600^2}{12} = \frac{360.000}{12} = 30.000

Varyans analizinde kareler toplamlarını bulmak için tüm gözlemlerin genel ortalamadan sapmalarını standartlaştıran düzeltme terimine ihtiyaç vardır.

2

Genel Kareler Toplamını (GKT) hesapla.

GKT = \sum\sum X_{ij}^2 - DT = 33.800 - 30.000 = 3.800

Veri setindeki toplam varyasyonu (genel kareler toplamını) bulmak için tüm gözlem değerlerinin kareleri toplamından düzeltme terimi çıkarılır.

3

İşlem Kareler Toplamını (İKT) hesapla.

İKT = \sum \frac{T_i^2}{n_i} - DT = (\frac{200^2}{4} + \frac{280^2}{4} + \frac{120^2}{4}) - 30.000 = (10.000 + 19.600 + 3.600) - 30.000 = 33.200 - 30.000 = 3.200

Sinyalizasyon programları (işlemler) arasındaki farklılığın yarattığı varyasyonu hesaplamak için her grubun toplamının karesi kendi gözlem sayısına bölünür, toplanır ve düzeltme terimi çıkarılır.

4

Hata Kareler Toplamını (HKT) hesapla.

HKT = GKT - İKT = 3.800 - 3.200 = 600

Toplanabilirlik kuralına (GKT = İKT + HKT) göre, genel kareler toplamından işlem kareler toplamı çıkarılarak rastgele hatalardan kaynaklanan hata kareler toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Ayrıştırılması ve Toplanabilirlik Kuralı

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunda, çalışanların verimliliğini artırmak amacıyla üç farklı fiziksel çalışma ortamı düzenlemesi (Düzen A, Düzen B ve Düzen C) test edilmektedir. Her bir düzenleme için rastgele seçilen 4'er personelin performans puanları kaydedilmiştir. Elde edilen verilere ilişkin özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Çalışma Ortamı	Gözlem Sayısı ( $n$ )	Puanlar Toplamı ( $\sum Y$ )	Kareler Toplamı ( $\sum Y^2$ )
Düzen A	4	20	110
Düzen B	4	24	160
Düzen C	4	16	80

Bu verilere göre, tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulandığında Hata Kareler Toplamı (SSE) değeri kaçtır?

42

8

50

308

350

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Hata Kareler Toplamı (SSE) 42 olarak hesaplanır.

Hata kareler toplamı (SSE), toplam değişkenlikten (SST = 50) işlem kaynaklı değişkenliğin (SStr = 8) çıkarılmasıyla elde edilir (

50 - 8 = 42

). Alternatif olarak, her grubun kendi içindeki kareler toplamından (

\sum Y^2 - T^2/n

) gidilerek de (

10 + 16 + 16 = 42

) aynı sonuca ulaşılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel toplam (

G

), toplam gözlem sayısı (

N

) ve düzeltme faktörünün (

CF

) hesaplanması

G = 20 + 24 + 16 = 60

,

N = 4 + 4 + 4 = 12

,

CF = \frac{G^2}{N} = \frac{60^2}{12} = 300

Varyans analizinde kareler toplamlarını hesaplamak için temel referans noktası olan düzeltme faktörünün bulunması gerekir.

2

Genel Kareler Toplamının (

SST

) hesaplanması

SST = \sum \sum Y_{ij}^2 - CF = (110 + 160 + 80) - 300 = 350 - 300 = 50

Verilerdeki toplam değişkenliği belirlemek için tüm gözlemlerin kareleri toplamından düzeltme faktörü çıkarılır.

3

İşlem (Gruplar Arası) Kareler Toplamının (

SStr

) hesaplanması

SStr = \sum \frac{T_i^2}{n_i} - CF = (\frac{20^2}{4} + \frac{24^2}{4} + \frac{16^2}{4}) - 300 = (100 + 144 + 64) - 300 = 308 - 300 = 8

Gruplar arasındaki farktan kaynaklanan değişkenliği ölçmek için grup toplamlarının kareleri, grup gözlem sayılarına bölünür ve toplamdan düzeltme faktörü çıkarılır.

4

Hata Kareler Toplamının (

SSE

) hesaplanması

SSE = SST - SStr = 50 - 8 = 42

Toplam değişkenlikten gruplar arası değişkenlik çıkarıldığında, deneme birimleri arasındaki tesadüfi farklılıklardan kaynaklanan hata kareler toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

ANOVA'da Kareler Toplamının Ayrıştırılması (

SST = SStr + SSE

)

Alternatif Yöntem

SSE değerini her grup için ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz: Düzen A için

110 - (20^2/4) = 10

, Düzen B için

160 - (24^2/4) = 16

, Düzen C için

80 - (16^2/4) = 16

. Toplam:

10 + 16 + 16 = 42

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Bir kamu araştırma merkezinde, 3 farklı buğday tohumu çeşidinin verimliliği tamamen rastgele tasarım planına göre test edilmektedir. Her bir tohum çeşidi için 5'er deneme yapılmış olup elde edilen özet istatistikler şu şekildedir:

Tohum Çeşidi	Gözlem Sayısı ( $n$ )	Grup Toplamı ( $Y_{i.}$ )
Tohum 1	5	20
Tohum 2	5	30
Tohum 3	5	40

Tüm gözlemlerin kareleri toplamı ( $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{5} y_{ij}^2$ ) 640 olduğuna göre, bu deneye ait hata kareler toplamı (SSE) kaçtır?

40

60

100

140

580

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Hata kareler toplamı 60 olarak hesaplanır.

Hata kareler toplamı, genel kareler toplamından (100) işlem kareler toplamının (40) çıkarılmasıyla 60 olarak bulunur. Bu değer, deneydeki kontrol edilemeyen hata payını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Genel toplam (

Y_{..}

) ve düzeltme faktörünün (

CF

) hesaplanması

Y_{..} = 20 + 30 + 40 = 90

ve

N = 3 \times 5 = 15

;

CF = \frac{90^2}{15} = 540

Tüm kareler toplamı hesaplamalarında kullanılacak temel değerlerin belirlenmesi gerekir.

2

Genel kareler toplamının (SST) hesaplanması

SST = 640 - 540 = 100

Genel değişkenliğin ölçüsü, tüm gözlemlerin kareleri toplamından düzeltme faktörünün çıkarılmasıyla bulunur.

3

İşlem (muamele) kareler toplamının (SSTr) hesaplanması

SSTr = \frac{20^2 + 30^2 + 40^2}{5} - 540 = \frac{2900}{5} - 540 = 580 - 540 = 40

Gruplar arası değişkenlik, grup toplamlarının kareleri üzerinden hesaplanır.

4

Hata kareler toplamının (SSE) hesaplanması

SSE = SST - SSTr = 100 - 40 = 60

ANOVA'da kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralına göre, genel kareler toplamı işlem ve hata kareler toplamının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Tek yönlü ANOVA'da kareler toplamlarının ayrıştırılması (

SST = SSTr + SSE

)

Daha Fazla Pratik

Elde edilen bu değerleri kullanarak ANOVA tablosundaki kareler ortalamalarını (MS) hesaplayıp F testini gerçekleştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 9Soru →

Bir Karayolları Bölge Müdürlüğü, 4 farklı yol kaplama malzemesinin aşınma dirençlerini karşılaştırmak için tek yönlü varyans analizi yapmaktadır. Yapılan hesaplamalar sonucunda Genel Kareler Toplamı ( $GKT$ ) 450 ve İşlem (Gruplar Arası) Kareler Toplamı ( $İKT$ ) 270 olarak bulunmuştur. Buna göre, bu analize ait Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) değeri kaçtır?

180

720

270

90

450

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Hata Kareler Toplamı (

HKT

) değeri 180'dir.

Tek yönlü varyans analizinde toplam varyasyonu temsil eden Genel Kareler Toplamı (

GKT

), İşlem Kareler Toplamı (

İKT

) ve Hata Kareler Toplamı (

HKT

) şeklinde iki bileşene ayrılır. Bu ilişkide

GKT = İKT + HKT

eşitliği geçerlidir. Soruda verilen

450 = 270 + HKT

eşitliğinden

HKT

değeri

180

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kareler toplamı değerlerini belirleyin.

GKT = 450

ve

İKT = 270

Hesaplama yapabilmek için soruda verilen temel bileşenlerin tanımlanması gerekir.

2

Tek yönlü varyans analizindeki kareler toplamlarının toplanabilirlik (ayrıştırma) formülünü uygulayın.

GKT = İKT + HKT

Toplam değişkenlik, gruplar arası değişkenlik ile grup içi (hata) değişkenliğin toplamına eşittir.

3

HKT

değerini bulmak için çıkarma işlemini gerçekleştirin.

HKT = 450 - 270 = 180

Bilinmeyen bileşeni bulmak için toplam değerden bilinen bileşen çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kareler Toplamlarının Toplanabilirlik Özelliği

Tahmini Süre:45s

Kareler Toplamlarının Hesaplanması (Genel, İşlem, Hata)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar