Parametre Tahmin Yöntemleri

Bir fabrikada üretilen ürünlerin kalite kontrol sürecinde, rastgele seçilen 4 ürün incelenmektedir. İncelenen ürünler arasındaki kusurlu ürün sayısı $X$ ile gösterilmekte olup, $X \sim \text{Binom}(4, \theta)$ dağılımına sahiptir. Burada $\theta \in (0,1)$, üretilen herhangi bir ürünün kusurlu olma olasılığıdır.

Karesel kayıp fonksiyonu $L(\theta, d) = (\theta - d)^2$ altında $\theta$ parametresi için $T(X) = cX + d$ biçiminde doğrusal bir tahmin edici oluşturulmak isteniyor.

Bu tahmin edicinin riskinin (hata kareler ortalaması) $\theta$'dan bağımsız olarak sabit bir değer alması ve aynı zamanda bir minimax tahmin edici olması için $(c, d)$ sabitleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

Bir çevre araştırma enstitüsünde, belirli bir göl suyundaki mikroplastik yoğunluğu ölçülmektedir. $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri, alınan su örneklerindeki yoğunluk oranlarını temsil etmekte olup, değer kümesi $(0, 1)$ aralığında olan ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

şeklinde verilen bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) bir kitleden alınmış rastgele bir örneklemdir.

Araştırmacılar, bu göldeki mikroplastik yoğunluk oranının beklenen değerini (kitle ortalamasını) en çok olabilirlik yöntemiyle tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, kitle ortalamasının en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir eğitim kurumunda ölçme ve değerlendirme uzmanı olarak görev yapan Ayşe, uygulanan bir standart testte öğrencilerin belirli bir soruyu doğru yanıtlama davranışlarını incelemektedir. Ayşe, $m$ adet farklı öğrencinin katıldığı her bir sınav salonundaki doğru cevap sayısını $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. Her bir öğrencinin soruyu doğru cevaplama olasılığının aynı ve $p$ ($0 < p < 1$) olduğu, öğrencilerin birbirinden bağımsız cevap verdiği varsayılmaktadır. Bu durumda $X \sim \text{Binom}(m, p)$ dağılışına sahiptir ve olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Ayşe, farklı bölgelerden rastgele seçilen $n$ adet sınav salonundan veri toplayarak $X_1, X_2, \dots, X_n$ şeklinde bir örneklem oluşturmuştur. Uzman, elde ettiği bu verileri kullanarak tek bir salondaki doğru cevap sayısının varyansını, yani $\tau(p) = m p (1-p)$ fonksiyonunu tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, $\tau(p)$ parametresi için oluşturulacak herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir üniversitenin veri bilimi araştırma laboratuvarında görevli bir araştırmacı, sensörlerden gelen gürültülü veriler üzerinden kitleye ait bilinmeyen bir $\mu$ parametresini modellemek için yeni bir tahmin edici ($W_n$) önermiştir.

Araştırmacının makalesini hakem değerlendirmesinden geçirebilmesi için, önerdiği $W_n$ istatistiğinin $\mu$ parametresi için 'tutarlı (consistent) bir tahmin edici' olduğunu matematiksel olarak şüpheye yer bırakmayacak şekilde ispatlaması istenmektedir.

İstatistiksel tahmin teorisi dikkate alındığında, araştırmacının aşağıdaki koşullardan hangisini ispatlaması $W_n$'nin tutarlı bir tahmin edici olduğunu göstermek için yeterli olacaktır?

Bir büyükşehir belediyesinin ulaştırma birimi, belirli bir kavşakta meydana gelen haftalık trafik kazası sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğunu modellemiştir. Bu kavşakta rastgele seçilen $n$ ($n \ge 2$) farklı hafta için kaza sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak kaydedilmiştir.

Ancak, $\lambda$ için yeterli istatistik olan $S = \sum_{i=1}^n X_i$ bilindiğinde, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak $T$ tahmin edicisi iyileştirilerek $T^*$ tahmin edicisi ($T^* = E[T|S]$) elde ediliyor.

Buna göre, ilk önerilen $T$ tahmin edicisinin varyansı ile iyileştirilmiş $T^*$ tahmin edicisinin varyansı arasındaki fark ($Var(T) - Var(T^*)$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir siber güvenlik merkezinde, sunuculara yapılan ardışık iki yetkisiz erişim girişimi arasındaki süre (milisaniye cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekildedir:

Bu merkezin log kayıtlarından rastgele seçilen $n$ adet $(n > 1)$ erişim süresi $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız örnekleminin ortalaması $\bar{X}$ olarak verilmiştir. Buna göre, ağ trafiği analizinde kritik bir ölçüt olan $\tau(\theta) = \frac{1}{\theta}$ parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

Buna göre, $\theta$ parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir? ($\theta > 0$)

Bir $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla geliştirilen $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisinin beklenen değeri $E(\hat{\theta}_n) = \theta + \frac{1}{n}$ ve varyansı $Var(\hat{\theta}_n) = \frac{\sigma^2}{n^2}$ olarak verilmiştir. Buna göre, örneklem hacmi $n$ sonsuza giderken $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisinin asimptotik davranışı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?