Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 7

Soru 121Soru →

Bir lojistik firmasının dağıtım merkezine ulaşan günlük teslimat gecikmeleri $X$ (gün) kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin değer kümesi $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ olup, negatif değerler hedeflenen süreden erken teslimatı, pozitif değerler ise gecikmeyi ifade etmektedir. Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X = x) = \frac{x^2 + 1}{35}, \quad x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Lojistik firmasının bu teslimat farklılıklarından (erken veya geç) doğan günlük cezai operasyon maliyeti $Y = (X-1)^2$ denklemi ile hesaplanmaktadır.

Rastgele seçilen bir günde cezai maliyetin $9$ birimi aşmadığı bilindiğine göre, bu maliyetin $4$ birim veya daha fazla olma olasılığı kaçtır?

\frac{12}{25}

\frac{3}{5}

\frac{17}{27}

\frac{17}{25}

\frac{27}{35}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{25}$

Cevap

Cezai maliyetin 4 birim veya daha fazla olma olasılığı 17/25'tir.

Y = (X-1)^2

dönüşümü uygulandığında

Y

'nin alabileceği değerler sırasıyla

16, 9, 4, 1, 0, 1

ve

4

olur. Çakışan değerler için olasılıklar toplandığında

P(Y=4) = P(X=-1) + P(X=3) = \frac{2}{35} + \frac{10}{35} = \frac{12}{35}

bulunur. Benzer şekilde tüm PMF elde edilir. İstenen durum,

Y \leq 9

bilindiğinde

Y \geq 4

olmasıdır. Bu koşullu olasılıktır ve formülü

P(Y \geq 4 \mid Y \leq 9) = \frac{P(4 \leq Y \leq 9)}{P(Y \leq 9)}

şeklindedir. Payda,

P(Y \leq 9) = P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=4)+P(Y=9) = \frac{25}{35}

'tir. Pay ise

P(4 \leq Y \leq 9) = P(Y=4)+P(Y=9) = \frac{17}{35}

'tir. Bu iki değer bölündüğünde sonuç

\frac{17}{25}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin alabileceği her bir değer için

Y = (X-1)^2

dönüşümünü uygula ve

Y

'nin değer kümesini belirle.

X

değerleri

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

için

Y

sırasıyla

\{16, 9, 4, 1, 0, 1, 4\}

değerlerini alır.

Y

'nin değer kümesi

\{0, 1, 4, 9, 16\}

olur.

Yeni rastgele değişkenin olasılık dağılımını bulabilmek için alabileceği tüm olası değerleri saptamak gereklidir.

2

Aynı

Y

değerini veren

X

olasılıklarını toplayarak

Y

'nin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) oluştur.

P(Y=0) = P(X=1) = \frac{2}{35}

.

P(Y=1) = P(X=0)+P(X=2) = \frac{6}{35}

.

P(Y=4) = P(X=-1)+P(X=3) = \frac{12}{35}

.

P(Y=9) = P(X=-2) = \frac{5}{35}

.

P(Y=16) = P(X=-3) = \frac{10}{35}

.

Bire-bir olmayan dönüşümlerde (kare alma vb.) farklı

X

değerleri aynı

Y

değerine dönüşebilir. Toplam olasılık 1 olacak şekilde bu olasılıklar birleştirilmelidir.

3

Y \leq 9

koşulunun sağlandığı durumların olasılıkları toplamını (

P(Y \leq 9)

) hesapla.

P(Y \leq 9) = P(Y \in \{0, 1, 4, 9\}) = \frac{2}{35} + \frac{6}{35} + \frac{12}{35} + \frac{5}{35} = \frac{25}{35}

.

Soruda verilen 'maliyetin 9 birimi aşmadığı bilindiğine göre' ifadesi koşullu olasılığın paydasını oluşturur.

4

Hem

Y \leq 9

koşulunu sağlayan hem de istenen

Y \geq 4

koşulunu sağlayan kesişim durumlarının olasılıkları toplamını (

P(4 \leq Y \leq 9)

) bul.

Kesişim durumu

Y \in \{4, 9\}

kümesidir.

P(Y=4) + P(Y=9) = \frac{12}{35} + \frac{5}{35} = \frac{17}{35}

.

Koşullu olasılık formülünün pay kısmını hesaplamak için, gerçekleştiği bilinen olayın alt uzayındaki istenen çıktıların olasılığı bulunmalıdır.

5

Koşullu olasılık formülünü (

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

) uygulayarak nihai sonucu hesapla.

P(Y \geq 4 \mid Y \leq 9) = \frac{17/35}{25/35} = \frac{17}{25}

.

Kısıtlanmış yeni örnek uzayda, istenen olayın gerçekleşme oranı nihai koşullu olasılığı verir.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Koşullu Olasılık

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 122Soru →

Bir akıllı tarım serasında, ortam sıcaklığının ideal değerden sapma miktarı (derece cinsinden) $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X = x) = c \cdot (4 - |x|), \quad x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Seradaki bitkilerin maruz kaldığı termal stres endeksi ( $Y$ ), $Y = (X - 1)^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, termal stres endeksinin 1'den büyük olma olasılığı, yani $P(Y > 1)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{15}

\frac{4}{15}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{5}$

Cevap

Termal stres endeksinin 1'den büyük olma olasılığı 2/5'tir.

Soruda öncelikle olasılıkların toplamı 1'e eşitlenerek

c = \frac{1}{15}

sabiti bulunur. Daha sonra

Y = (X - 1)^2

dönüşümünde

Y > 1

şartını sağlayan

X

değerleri araştırılır.

(X - 1)^2 > 1

eşitsizliği mutlak değerce

|X - 1| > 1

anlamına gelir, bu da

X > 2

veya

X < 0

demektir.

X

'in tanım kümesinde

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

bu şarta uyan değerler

X = -2

,

X = -1

ve

X = 3

'tür. Bu değerlerin olasılıkları toplamı:

P(-2) + P(-1) + P(3) = \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

olarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in tüm olasılıklarının toplamını 1'e eşitleyerek

c

sabitini bulmak.

\sum P(X=x) = c(2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1) = 15c = 1 \implies c = \frac{1}{15}

Bir olasılık kütle fonksiyonunun tüm tanım kümesindeki değerlerinin toplamı daima 1 olmalıdır.

2

Y = (X - 1)^2 > 1

eşitsizliğini sağlayan

X

değerlerini belirlemek.

(X - 1)^2 > 1 \implies |X - 1| > 1

. Buradan

X - 1 > 1

veya

X - 1 < -1

elde edilir. Şartı sağlayan değerler

X > 2

veya

X < 0

'dır. Tanım kümesindeki uygun değerler:

X \in \{-2, -1, 3\}

Dönüşüm sonrasındaki olayın olasılığını bulmak için,

Y

'nin istenen şartını sağlayan orijinal

X

değerlerinin tespit edilmesi gerekir.

3

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını toplamak.

P(Y > 1) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 3) = \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

Kesikli rastgele değişkenlerde, bir olayın olasılığı o olayı oluşturan ayrık noktaların olasılıklarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Soru 123Soru →

Bir ağ sunucusuna gelen ardışık iki veri paketinin sisteme varış ve işlenme dinamiklerini inceleyen bir mühendis, belirli bir protokole göre ölçülen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu aşağıdaki gibi modellemiştir:

f(x,y) = \begin{cases} e^{-x}, & 0 < y < x < \infty \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Sistemin darboğaz (bottleneck) analizini yapabilmek için mühendis, bu değişkenleri $U = 2X - 2Y$ ve $V = 2Y$ eşitlikleriyle yeni rastgele değişkenlere dönüştürmektedir.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u,v) = \begin{cases} e^{-\frac{u+v}{2}}, & u > 0, \ v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{4} e^{-\frac{u+v}{2}}, & 0 < v < u < \infty \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{4} e^{-\frac{u+v}{2}}, & u > 0, \ v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 4 e^{-\frac{u+v}{2}}, & u > 0, \ v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{-\frac{u}{2}}, & u > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{4} e^{-\frac{u+v}{2}}, & u > 0, \ v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Cevap

Doğru ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

1/4

Jakobiyen çarpanını içeren ve sınırları

u > 0, v > 0

olan fonksiyondur.

Doğru seçenek,

X

ve

Y

'nin dönüştürülmüş halleri olan

x = (u+v)/2

ve

y = v/2

eşitliklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazılması, elde edilen ifadenin

1/4

olarak hesaplanan Jakobiyen determinantının mutlak değeriyle çarpılması ve sınır eşitsizliklerinin

u>0, v>0

olarak doğru çözümlenmesiyle elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dönüşüm denklemlerini kullanarak

x

ve

y

değişkenlerini

u

ve

v

cinsinden ifade edin.

V = 2Y \implies Y = \frac{V}{2}

ve

U = 2X - V \implies 2X = U + V \implies X = \frac{U+V}{2}

elde edilir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine koyma işlemi yapabilmek için ters dönüşüme ihtiyaç vardır.

2

Jakobiyen matrisini oluşturun ve determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) - 0 = \frac{1}{4}

. Mutlak değeri

|J| = \frac{1}{4}

bulunur.

Çok değişkenli dönüşümlerde alan/hacim değişim oranını dengelemek için Jakobiyen determinantı mutlak değerine ihtiyaç vardır.

3

Orijinal eşitsizlikleri kullanarak

u

ve

v

değişkenlerinin yeni tanım aralığını (sınırlarını) bulun.

Orijinal sınırlar

0 < y < x < \infty

şeklindedir. Yerine yazılırsa:

0 < \frac{v}{2} < \frac{u+v}{2} < \infty

. Buradan

\frac{v}{2} > 0 \implies v > 0

ve

\frac{u+v}{2} > \frac{v}{2} \implies u+v > v \implies u > 0

eşitsizlikleri bulunur. Yeni bölge:

u > 0

ve

v > 0

.

Rastgele değişkenlerin tanımlı olduğu destek kümesi dönüşümle birlikte değişir.

4

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

formülünü uygulayarak ortak yoğunluk fonksiyonunu yazın.

h(u,v) = e^{-\left(\frac{u+v}{2}\right)} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} e^{-\frac{u+v}{2}}

Dönüşüm teoreminin genel kuralıdır.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Jakobiyen Dönüşümü

Soru 124Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda, belirli bir referans noktasına göre ölçülen rüzgâr hızındaki anlık sapmalar $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{x+2}{8}, & -2 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bir rüzgâr türbininin ürettiği enerjideki dalgalanma gücü ise $Y = (X-1)^2$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin $0 < y < 1$ aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{8\sqrt{y}}

\frac{3+\sqrt{y}}{16\sqrt{y}}

\frac{3-\sqrt{y}}{16\sqrt{y}}

\frac{3}{4}

\frac{\sqrt{y}}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{8\sqrt{y}}$

Cevap

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu

\frac{3}{8\sqrt{y}}

ifadesidir.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanıldığında,

F_Y(y) = P(Y \le y) = P((X-1)^2 \le y) = P(1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y})

elde edilir.

0 < y < 1

koşulunda bu sınırların her ikisi de

X

'in tanımlı olduğu

(-2, 2)

aralığına düşer. Yoğunluk fonksiyonunu bulmak için zincir kuralı ile türev alındığında,

f_Y(y) = f_X(1+\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(1-\sqrt{y}) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)

işlemi uygulanır. Verilen

f_X(x)

ifadesi yerine yazıldığında sonuç

\frac{3}{8\sqrt{y}}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Y \le y

eşitsizliğinden yola çıkarak

X

için geçerli aralığı belirlemek.

(X-1)^2 \le y \implies -\sqrt{y} \le X-1 \le \sqrt{y} \implies 1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y}

elde edilir.

Değişken dönüşümünde öncelikle birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) sınırlarını

X

cinsinden ifade etmeliyiz.

2

Bulunan sınırların, verilen

0 < y < 1

aralığı için

X

'in tanımlı olduğu

(-2, 2)

aralığında kalıp kalmadığını kontrol etmek.

0 < y < 1

iken

0 < \sqrt{y} < 1

olur. Bu durumda alt sınır

0 < 1-\sqrt{y} < 1

ve üst sınır

1 < 1+\sqrt{y} < 2

aralığındadır. Her iki sınır da

(-2, 2)

aralığına dahildir.

İntegral sınırlarının fonksiyonun geçerli olduğu (sıfırdan farklı olduğu) destek kümesinde olup olmadığını doğrulamak hatalı olasılık hesabını önler.

3

F_Y(y)

birikimli dağılım fonksiyonunu yazarak

y

'ye göre türevini (PDF) almak.

f_Y(y) = \frac{d}{dy}[F_X(1+\sqrt{y}) - F_X(1-\sqrt{y})] = f_X(1+\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(1-\sqrt{y})\left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)

işlemini uygulamak.

Rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonunun birinci türevidir ve zincir kuralı gerektirir.

4

Verilen

f_X(x) = \frac{x+2}{8}

fonksiyonunda sınır değerlerini yerine yazıp işlemi tamamlamak.

f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ \frac{1+\sqrt{y}+2}{8} + \frac{1-\sqrt{y}+2}{8} \right] = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ \frac{6}{8} \right] = \frac{3}{8\sqrt{y}}

olarak bulunur.

Yerine koyma ve cebirsel sadeleştirme ile nihai olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Soru 125Soru →

Bir devlet hastanesinin acil servisinde, belirli bir tedavi prosedürünün standart tamamlanma süresinden (dakika cinsinden) sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$0{}1$	$0{}2$	$0{}4$	$0{}2$	$0{}1$

Hastane yönetimi, sapmaların yarattığı operasyonel maliyeti analiz etmek için $Y = (X+1)^2$ şeklinde yeni bir performans kayıp değişkeni tanımlamıştır.

Buna göre, performans kayıp değişkeninin $4$ değerini alma olasılığı ile beklenen değerinin toplamı, yani $P(Y=4) + E(Y)$ toplamı kaçtır?

1{}11

2{}50

2{}70

2{}80

3{}00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2{}80$

Cevap

2{}80

değerini veren seçenektir.

Doğru yanıt, dönüşüm sırasındaki mutlak değer (çift katlı kök) etkisini ve doğrusal olmayan fonksiyonların beklenen değerini doğru şekilde işleyen seçenektir. Soru iki aşamadan oluşmaktadır. İlk olarak,

Y = (X+1)^2 = 4

yapan değerler aranır. Bu eşitliği sağlayan değerler

X=1

ve

X=-3

'tür. Bu değerlerin olasılıkları toplamı

P(Y=4) = 0{}2 + 0{}1 = 0{}3

olur. İkinci aşamada,

E(Y)

hesaplanmalıdır. İster LOTUS teoremi

E((X+1)^2)

üzerinden doğrudan hesaplansın, ister yeni

Y

dağılımı üzerinden

\sum y \cdot P(y)

yapılsın sonuç değişmez:

0\times0{}2 + 1\times0{}4 + 4\times0{}3 + 9\times0{}1 = 2{}5

elde edilir. İstenen toplam

0{}3 + 2{}5 = 2{}80

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Y=4

olmasını sağlayan

X

değerlerini bulma.

(X+1)^2 = 4 \implies X+1 = 2

veya

X+1 = -2

. Buradan

X=1

ve

X=-3

elde edilir.

Kesikli değişkenlerde karesel dönüşümler, birden fazla

x

değerini aynı

y

değerine eşleyebilir (çarpışma).

2

P(Y=4)

olasılığını hesaplama.

P(Y=4) = P(X=1) + P(X=-3) = 0{}2 + 0{}1 = 0{}3

olarak bulunur.

Aynı

Y

değerine karşılık gelen ayrık

X

durumlarının olasılıkları toplanmalıdır.

3

Y

değişkeninin olası diğer değerlerini ve olasılıklarını belirleme.

X=-1 \implies Y=0 \implies P(Y=0)=0{}2

.

X=0 \implies Y=1 \implies P(Y=1)=0{}4

.

X=2 \implies Y=9 \implies P(Y=9)=0{}1

.

Beklenen değeri hesaplamak için

Y

'nin olasılık fonksiyonuna veya LOTUS teoremine ihtiyaç vardır.

4

Y

değişkeninin beklenen değerini (

E(Y)

) hesaplama.

E(Y) = \sum y \cdot P(Y=y) = 0(0{}2) + 1(0{}4) + 4(0{}3) + 9(0{}1) = 0 + 0{}4 + 1{}2 + 0{}9 = 2{}5

.

Beklenen değer tanımı gereği, her bir değerin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamı alınır.

5

Bulunan

P(Y=4)

ve

E(Y)

değerlerini toplama.

0{}3 + 2{}5 = 2{}80

elde edilir.

Soru kökünde bu iki değerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde karesel (bire-bir olmayan) dönüşümler ve beklenen değer özellikleri

Soru 126Soru →

Bir araştırmada, birbirinden bağımsız olarak gözlemlenen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} 2y, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu iki değişkenin çarpımı olarak tanımlanan $U = X \cdot Y$ rastgele değişkeninin, $0 < u < 1$ aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

6u(1 - u)

3u(1 - u^2)

-6u^2 \ln u

6u

6u^3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6u(1 - u)$

Cevap

Rastgele değişkenlerin çarpımının olasılık yoğunluk fonksiyonu

6u(1 - u)

şeklindedir.

Bağımsız rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinallerinin çarpımı olan

f(x,y) = 6x^2y

'dir.

U=XY

ve

V=X

şeklindeki değişken dönüşümü ile,

X=V

ve

Y=U/V

elde edilir. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantının mutlak değeri

|J| = 1/v

olarak bulunur. Ortak dağılım formülünde yerine konulduğunda

f_{U,V}(u,v) = 6(v)^2(u/v)(1/v) = 6u

elde edilir. Son olarak

0 < y < 1

tanım aralığından dolayı

0 < u/v < 1 \implies u < v < 1

entegrasyon sınırları belirlenir.

f_{U,V}(u,v)

fonksiyonunun

v=u

'dan

v=1

'e kadar integrali alınarak marjinal yoğunluk fonksiyonu

6u(1 - u)

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirlemek.

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = 6x^2y

(

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

)

Değişkenlerin birbirinden bağımsız olduğu belirtildiğinden, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinallerin çarpımına eşittir.

2

U = X \cdot Y

için bir

V = X

yardımcı dönüşümü tanımlayarak ters fonksiyonları bulmak.

X = V

ve

Y = \frac{U}{V}

Ortak yoğunluk fonksiyonunu

U

ve

V

cinsinden yazabilmek için değişken değiştirme yöntemine ihtiyaç vardır.

3

Ters fonksiyonların kısmi türevlerini alarak Jakobiyen (

J

) determinantını hesaplamak.

J = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{v} & -\frac{u}{v^2} \end{pmatrix} = -\frac{1}{v} \implies |J| = \frac{1}{v}

Çok değişkenli dönüşümlerde alan/hacim değişimini düzeltmek için Jakobiyen'in mutlak değeri çarpan olarak formüle eklenmelidir.

4

U

ve

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu oluşturmak.

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}\left(v, \frac{u}{v}\right) \cdot |J| = 6v^2\left(\frac{u}{v}\right) \cdot \frac{1}{v} = 6u

Elde edilen ters dönüşümleri ortak fonksiyonda yerine yazıp

|J|

ile çarparak

(U, V)

ikilisinin dağılımı bulunur.

5

U

'nun marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

V

'nin sınırlarını belirlemek ve integrali hesaplamak.

0 < y < 1 \implies 0 < \frac{u}{v} < 1 \implies u < v < 1

.

\int_{u}^{1} 6u \, dv = 6u(1 - u)

Marjinal fonksiyonu bulmak için

V

değişkeni üzerinden integral alınmalıdır;

Y

'nin üst sınır kısıtı

V

'nin entegrasyon alt sınırını belirler.

Anahtar Kavram

İki sürekli rastgele değişkenin çarpımının dağılımı ve Jakobiyen dönüşümü

Alternatif Yöntem

F_U(u) = P(U \leq u) = P(XY \leq u)

yöntemiyle dağılım fonksiyonu (CDF) üzerinden integral alınabilir.

0 < u < 1

için

xy = u

hiperbol eğrisinin altında kalan alan,

\int_{0}^{u} \int_{0}^{1} 6x^2y \, dy \, dx + \int_{u}^{1} \int_{0}^{u/x} 6x^2y \, dy \, dx

şeklinde çözülerek ve sonrasında

u

'ya göre türevi alınarak da aynı sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 127Soru →

Bir işletmenin iki farklı şubesinin günlük kâr/zarar durumları (bin TL cinsinden) bağımsız $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları (MGF) sırasıyla,

M_X(t) = e^{10t + 2t^2}

M_Y(t) = e^{15t + \frac{9}{2}t^2}

olarak verilmiştir.

İşletmenin günlük net finansal durumu $W = X - 2Y + 5$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ ve varyansı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

M_W(t) = e^{-15t + 20t^2}

ve

Varyans(W) = 40

M_W(t) = e^{-15t + 20t^2}

ve

Varyans(W) = 20

M_W(t) = e^{-15t + 11t^2}

ve

Varyans(W) = 22

M_W(t) = e^{-20t + 20t^2}

ve

Varyans(W) = 40

M_W(t) = e^{-15t + 8t^2}

ve

Varyans(W) = 16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M_W(t) = e^{-15t + 20t^2}$ ve $Varyans(W) = 40$

Cevap

Doğru seçenek

M_W(t) = e^{-15t + 20t^2}

ve

Varyans(W) = 40

olan seçenektir.

W = X - 2Y + 5

doğrusal dönüşümünün moment çıkaran fonksiyonu MGF özelliklerinden

M_W(t) = e^{5t} M_X(t) M_Y(-2t)

olarak yazılır. İlgili fonksiyonlar yerlerine konulduğunda

e^{5t} \cdot e^{10t + 2t^2} \cdot e^{-30t + 18t^2} = e^{-15t + 20t^2}

elde edilir. Normal dağılım MGF'si

e^{\mu t + \sigma^2 t^2 / 2}

formatında olduğundan

t^2

'nin katsayısı olan

20

, varyansın yarısına (

\frac{\sigma^2}{2}

) eşittir. Buradan varyans

40

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

'nin moment çıkaran fonksiyonlarından parametreleri belirlemek.

MGF formülünden

X \sim N(10, 4)

ve

Y \sim N(15, 9)

olduğu görülür.

Normal dağılımın MGF'si genel formda

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

şeklindedir.

2

W = X - 2Y + 5

dönüşümü için MGF kuralını uygulamak.

M_W(t) = E[e^{t(X - 2Y + 5)}] = e^{5t} M_X(t) M_Y(-2t)

eşitliği elde edilir.

Bağımsız değişkenlerin toplamının MGF'si fonksiyonların çarpımına eşittir ve lineer katsayılar

t

'nin çarpanı olur.

3

M_Y(-2t)

ifadesinin açık halini hesaplamak.

M_Y(-2t) = e^{15(-2t) + \frac{9}{2}(-2t)^2} = e^{-30t + 18t^2}

bulunur.

Değişken bir katsayıyla çarpıldığında MGF'deki tüm

t

'ler o katsayıyla çarpılmış haliyle yazılır.

4

Tüm çarpanları birleştirerek

M_W(t)

'yi bulmak.

M_W(t) = e^{5t} \cdot e^{10t + 2t^2} \cdot e^{-30t + 18t^2} = e^{-15t + 20t^2}

elde edilir.

Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı iken üsler toplanır.

5

Elde edilen

M_W(t)

üzerinden

W

'nin varyansını çekmek.

t^2

'nin katsayısı

\frac{1}{2}\sigma_W^2 = 20

olduğundan,

\sigma_W^2 = 40

hesaplanır.

Normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonunda

t^2

'nin önündeki sayı varyansın yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Rastgele Değişkenlerin Doğrusal Dönüşümlerinde MGF Yöntemi

Soru 128Soru →

Bir sigorta şirketinin hasar ödeme süreçlerinde, belirli bir poliçe türü için hasar büyüklüğü indeksi $X$ sürekli rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Aktüeryal bir hesaplama modelinde, risk primini stabilize etmek amacıyla $Y = e^{-X}$ dönüşümü tanımlanmıştır.

Buna göre, yeni tanımlanan $Y$ risk değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ (sıfırdan farklı olduğu aralıkla birlikte) aşağıdakilerden hangisidir?

2y, \quad 0 < y < 1

2y^2, \quad 0 < y < 1

-2y, \quad 0 < y < 1

2y, \quad y > 0

2y^3, \quad 0 < y < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2y, \quad 0 < y < 1$

Cevap

Yeni tanımlanan risk değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

2y, \quad 0 < y < 1

şeklindedir.

Dönüşüm işlemi için önce ters fonksiyon

x = -\ln y

bulunur. Ardından bu ifadenin türevi alınarak Jakobiyen'in mutlak değeri

\left|-\frac{1}{y}\right| = \frac{1}{y}

elde edilir.

X

'in orijinal tanım aralığı olan

x > 0

eşitsizliğinde

x

yerine

-\ln y

konulduğunda aralığın

0 < y < 1

olduğu görülür. Elde edilen değerler

f_Y(y) = f_X(x) \cdot |J|

formülüne yerleştirildiğinde,

2e^{-2(-\ln y)} \cdot \frac{1}{y} = 2y

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşümün ters fonksiyonunu bulma

y = e^{-x} \implies x = -\ln y

Yoğunluk fonksiyonunda

x

değişkenini

y

cinsinden ifade edebilmek için gereklidir.

2

Yeni değişkenin tanım aralığını belirleme

x > 0

olduğundan,

0 < e^{-x} < 1

eşitsizliği elde edilir. Yani

0 < y < 1

olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun hangi aralıkta sıfırdan farklı tanımlı olduğunu bulmak için sınırların dönüştürülmesi şarttır.

3

Jakobiyen (ters fonksiyonun türevi) değerini hesaplama

\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{y}

olarak türev alınır. Mutlak değeri

\left| \frac{dx}{dy} \right| = \left| -\frac{1}{y} \right| = \frac{1}{y}

olur (çünkü

y > 0

).

Olasılık kütlesinin korunması için alan/hacim değişim oranını veren Jakobiyen mutlak değeri formüle eklenmelidir.

4

Tek değişkenli dönüşüm formülünü uygulama

f_Y(y) = f_X(-\ln y) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = 2e^{-2(-\ln y)} \cdot \frac{1}{y} = 2e^{\ln(y^2)} \cdot \frac{1}{y} = 2y^2 \cdot \frac{1}{y} = 2y

Belirlenen tüm bileşenler bir araya getirilerek

Y

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu nihai haline ulaştırılır.

Anahtar Kavram

Tek değişkenli rastgele değişkenlerde,

Y=g(X)

gibi monoton bir dönüşüm uygulandığında olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|

kuralı ile elde edilir ve değişkenin aralığı da bu dönüşüme göre güncellenir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 129Soru →

Bir kimyasal üretim tesisinde, reaktördeki aktif maddenin hedef derişimden sapma miktarı $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{4}(1 - x^2), & -1 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kalite kontrol standartlarına göre, üründeki toplam tolerans kaybı $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, toplam tolerans kaybını ifade eden $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir? (Aşağıdaki tüm fonksiyonların $0 < y < 1$ aralığında tanımlı olduğu varsayılacaktır.)

\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

\frac{3(1-y)}{8\sqrt{y}}

\frac{3}{4}(1-y)

\frac{3}{4}(1-y^2)

\frac{3}{2}(1-y)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}$

Cevap

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu, CDF yöntemi adımları tam ve eksiksiz uygulandığında elde edilen

\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

ifadesidir.

Verilen

Y = X^2

dönüşümünde

X

,

-1

ile

1

arasında değer alan simetrik bir dağılımdır. Birikimli dağılım fonksiyonu

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

olarak yazılır. Bu ifadenin

y

'ye göre türevi alındığında, zincir kuralı gereği

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + f_X(-\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}

halini alır. Orijinal PDF olan

f_X(x) = \frac{3}{4}(1 - x^2)

fonksiyonunda

x

yerine

\pm\sqrt{y}

konulduğunda her iki terim de

\frac{3}{4}(1 - y)

sonucunu verir. Bu ifadeler toplanıp zincir kuralından gelen çarpanla düzenlendiğinde doğru sonuç

\frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Y

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF)

X

'in cinsinden ifade etmek.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

elde edilir.

Y = X^2

dönüşümü bire-bir (monoton) olmadığından, her bir

y

değeri

x

'in iki farklı değerine (

\pm \sqrt{y}

) karşılık gelmektedir.

2

F_Y(y)

fonksiyonunu

X

'in birikimli dağılımı (

F_X

) cinsinden yazmak.

F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})

eşitliği kurulur.

Belirli bir aralıktaki olasılık hesabı, o değişkenin üst sınırdaki CDF değerinden alt sınırdaki CDF değerinin çıkarılmasıyla bulunur.

3

F_Y(y)

'nin

y

'ye göre türevini alarak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak.

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} - f_X(-\sqrt{y}) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y}) \right]

. Verilen

f_X(x)

yerine yazıldığında;

f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \left[ \frac{3}{4}(1 - y) + \frac{3}{4}(1 - y) \right] = \frac{3(1-y)}{4\sqrt{y}}

bulunur.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF), o değişkenin birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) türevi alınarak elde edilir. Burada zincir kuralı (içinin türevi) uygulanması kritik adımdır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Monoton Olmayan Dönüşümler

Soru 130Soru →

Bir tarım araştırmasında, belirli bir bitki türünün gelişim süresi (ay olarak) $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{21}x^2, & 1 < x < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu bitkinin verimlilik endeksi $Y = \sqrt{X}$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2}{21}y^5, \quad 1 < y < 2

\frac{1}{21}y^4, \quad 1 < y < 2

\frac{2}{21}y^5, \quad 1 < y < 4

\frac{1}{42}y^3, \quad 1 < y < 2

\frac{2}{21}y^3, \quad 1 < y < 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{21}y^5, \quad 1 < y < 2$

Cevap

Yoğunluk fonksiyonunun

\frac{2}{21}y^5

ve tanım aralığının

1 < y < 2

olduğu seçenektir.

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{dx}{dy}|

formülüyle bulunur.

X = y^2

ifadesi

f_X(x)

içinde yerine konulduğunda

\frac{1}{21}(y^2)^2

elde edilir ve bu ifade Jakobiyen olan

2y

ile çarpılarak

\frac{2}{21}y^5

sonucuna ulaşılır. Ayrıca

1 < x < 4

sınırları

Y = \sqrt{X}

kuralına göre

1 < y < 2

olarak güncellenir.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm fonksiyonunun tersini bulmak

Y = \sqrt{X} \implies X = Y^2

(Yani

g^{-1}(y) = y^2

)

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde

X

,

Y

cinsinden ifade edilmelidir.

2

Jakobiyen (türev) değerini hesaplamak

\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(y^2) = 2y

. Mutlak değeri

|2y| = 2y

(

y > 0

olduğu için).

Olasılığın korunması için alan değişimi oranı (Jakobiyen) formüle dahil edilmelidir.

3

X

'in tanım aralığını

Y

'ye uyarlamak

1 < x < 4

eşitsizliğinde

x

yerine

y^2

yazılırsa

1 < y^2 < 4

elde edilir. Buradan aralık

1 < y < 2

olarak bulunur.

Yeni fonksiyonun hangi aralıkta geçerli olduğunu belirlemek zorunludur.

4

Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{21}(y^2)^2 \cdot 2y = \frac{1}{21}y^4 \cdot 2y = \frac{2}{21}y^5

Değişken değiştirme formülü eksiksiz olarak uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi ile Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bulma

Soru 131Soru →

Bir kamu kurumunda, gelen resmi evrakların sisteme kaydedilmesi ve ardından ilgili birimlere sevk edilmesi olmak üzere iki ardışık işlem aşaması bulunmaktadır.

Bir evrakın kayıt aşamasında geçirdiği süre (saat cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile, sevk aşamasında geçirdiği süre ise $Y$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeni $\lambda_1 = 2$ parametreli üstel dağılıma, $Y$ değişkeni ise $\lambda_2 = 3$ parametreli üstel dağılıma sahiptir. Bu iki işlem aşaması birbirinden bağımsız olarak gerçekleşmektedir.

Buna göre, bir evrakın bu iki aşamada geçirdiği toplam süre olan $Z = X + Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ ( $z > 0$ için ) aşağıdakilerden hangisidir?

6(e^{-2z} - e^{-3z})

6e^{-5z}

5e^{-5z}

6e^{-2z}

3e^{-3z}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6(e^{-2z} - e^{-3z})$

Cevap

Toplam süre olan Z değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

6(e^{-2z} - e^{-3z})

olarak bulunur.

Birbirinden bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu, bu değişkenlerin kendi yoğunluk fonksiyonlarının konvolüsyon (evrişim) integrali alınarak bulunur. Formül gereği,

f_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) dx

işlemi uygulanır. Verilen fonksiyonlar yerine konulduğunda integral dışına

6e^{-3z}

çarpanı çıkar ve içeride

\int_0^z e^x dx

integrali kalır. Bu integral

e^z - 1

sonucunu verir. Çarpanlar dağıtıldığında doğru yoğunluk fonksiyonu olan

6(e^{-2z} - e^{-3z})

eşitliğine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsız

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) formülize et.

f_X(x) = 2e^{-2x}

(

x > 0

) ve

f_Y(y) = 3e^{-3y}

(

y > 0

).

Toplam değişkenin dağılımını bulmak için öncelikle iki bileşenin marjinal dağılımları yazılmalıdır.

2

Z = X + Y

rastgele değişkeni için konvolüsyon (evrişim) integralini sınırlarıyla birlikte kur.

f_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) dx

İki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı, PDF'lerinin evrişimi alınarak hesaplanır. Süreler negatif olamayacağından (

x>0

ve

z-x>0

) integrasyon sınırları

0

ile

z

arasında olmalıdır.

3

Fonksiyonları integralde yerine koy ve

x

'e bağlı olmayan terimleri düzenle.

f_Z(z) = \int_0^z (2e^{-2x})(3e^{-3(z-x)}) dx = 6e^{-3z} \int_0^z e^x dx

İntegrali çözebilmek için üsler toplanmış (

-2x - 3z + 3x = x - 3z

) ve integralin değişkeni olmayan

e^{-3z}

terimi katsayılarla birlikte dışarı alınmıştır.

4

Belirli integrali çöz ve alt-üst sınırları yerleştirerek sonucu bul.

6e^{-3z} [e^x]_0^z = 6e^{-3z}(e^z - e^0) = 6e^{-3z}(e^z - 1) = 6(e^{-2z} - e^{-3z})

İntegral alma işlemi doğru sınır değerleri uygulanarak tamamlanmış ve Z değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

İki Bağımsız Sürekli Rastgele Değişkenin Toplamı ve Konvolüsyon

Alternatif Yöntem

Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF) kullanılarak da pratik bir çözüm yapılabilir.

X

için

M_X(t) = \frac{2}{2-t}

,

Y

için

M_Y(t) = \frac{3}{3-t}

'dir.

Z=X+Y

bağımsız olduğundan

M_Z(t) = M_X(t)M_Y(t) = \frac{6}{(2-t)(3-t)}

olur. Kısmi kesirlere ayrılarak

M_Z(t) = \frac{6}{2-t} - \frac{6}{3-t}

elde edilir. Her iki terimin ters MGF'si alındığında yoğunluk fonksiyonu doğrudan

6(e^{-2z} - e^{-3z})

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 132Soru →

Bir akıllı ev sisteminde, güvenlik kamerasının bir hareketi algıladıktan sonra veriyi işleme süresi $X$ milisaniye ve bu veriyi bulut sunucusuna iletme süresi $Y$ milisaniye olarak modellenmektedir. $X$ ve $Y$ birbirinden bağımsız rastgele değişkenler olup olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 4e^{-4x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, hareketin algılanmasından verinin sunucuya iletilmesinin tamamlanmasına kadar geçen toplam sürenin ( $Z = X + Y$ ) olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ ( $z > 0$ için) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{3} (e^{-z} - e^{-4z})

4e^{-5z}

\frac{4}{3} e^{-z}

e^{-z} - e^{-5z}

4e^{-4z} + e^{-z}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{3} (e^{-z} - e^{-4z})$

Cevap

Doğru yanıt

\frac{4}{3} (e^{-z} - e^{-4z})

fonksiyonudur.

Doğru yanıt, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı için konvolüsyon integrali formülünün doğru sınırlarla ve doğru değişken dönüşümüyle entegre edilmesiyle elde edilen

\frac{4}{3} (e^{-z} - e^{-4z})

fonksiyonudur. Her iki değişken de pozitif tanımlı olduğu için integralin sınırları

0

'dan

z

'ye alınmış,

f_Y

içerisine

(z-x)

konarak matematiksel işlemler eksiksiz tamamlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Konvolüsyon integralinin genel formülünü yazmak

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx

Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu evrişim (konvolüsyon) integrali kullanılarak bulunur.

2

İntegral sınırlarını belirlemek

x > 0

ve

y = z - x > 0

olduğundan

x < z

elde edilir. Bu sebeple integral sınırları

0

'dan

z

'ye olmalıdır.

Fonksiyonların sadece pozitif değerler için sıfırdan farklı olması entegrasyon aralığını

0

ile

z

arasına kısıtlar.

3

Verilen yoğunluk fonksiyonlarını formülde yerine koymak

f_Z(z) = \int_0^z 4e^{-4x} e^{-(z-x)} dx

Tanımlı fonksiyonlar

f_X(x) = 4e^{-4x}

ve

f_Y(z-x) = e^{-(z-x)}

olarak ifade edilir.

4

İntegralin içindeki üslü ifadeleri düzenlemek

f_Z(z) = \int_0^z 4e^{-4x} e^{-z} e^x dx = 4e^{-z} \int_0^z e^{-3x} dx

İntegral

x

'e göre alındığından,

x

'ten bağımsız olan

e^{-z}

terimi integralin dışına sabit çarpan olarak çıkarılabilir.

5

Belirli integrali hesaplayıp sonucu bulmak

4e^{-z} \left[ \frac{e^{-3x}}{-3} \right]_0^z = 4e^{-z} \left( \frac{e^{-3z} - 1}{-3} \right) = \frac{4}{3}e^{-z}(1 - e^{-3z}) = \frac{4}{3}(e^{-z} - e^{-4z})

e^{-3x}

fonksiyonunun integrali alınıp aralık sınırları (

0

ve

z

) değerlendirilerek nihai

f_Z(z)

dağılım fonksiyonu elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Soru 133Soru →

Bir endüstriyel üretim hattında, belirli bir makine parçasının aşınma miktarını (milimetre cinsinden) modelleyen $X$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu parçanın değiştirilme maliyeti, aşınma miktarına bağlı olarak $Y = X^3 + 1$ (Türk Lirası) fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, $Y$ maliyet rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 0 < y < 2

f_Y(y) = \frac{9}{8}(y-1)^{4/3}, \quad 1 < y < 9

f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 1 < y < 9

f_Y(y) = \frac{3}{8}(y-1)^{2/3}, \quad 1 < y < 9

f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 1 < y < 8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 1 < y < 9$

Cevap

Doğru yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{1}{8}, \quad 1 < y < 9

olan seçenektir.

Tek değişkenli dönüşüm kuralına göre

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{d}{dy} g^{-1}(y)|

uygulanmalıdır. İşlemler adım adım yapıldığında,

(y-1)^{2/3}

ifadeleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece

\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{8}

sabiti kalır. Sınırlar da

y = x^3 + 1

kuralına göre

1 < y < 9

olarak dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1

Y = X^3 + 1

dönüşümünün ters fonksiyonunu (inverse) bulmak.

y = x^3 + 1 \implies x^3 = y - 1 \implies x = (y - 1)^{1/3}

elde edilir.

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde, PDF'i yeni değişkene bağlamak için x'i y cinsinden ifade etmeliyiz.

2

Ters fonksiyonun y'ye göre türevini alarak Jakobiyeni (

|dx/dy|

) hesaplamak.

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3}(y - 1)^{(1/3 - 1)} = \frac{1}{3}(y - 1)^{-2/3}

. Bu ifade tanımlı olduğu aralıkta pozitif olduğundan mutlak değeri kendisine eşittir.

Olasılığın korunması ilkesi gereği, yoğunluk fonksiyonlarının alan dönüşümü için Jakobiyen çarpanı zorunludur.

3

Yeni değişkenin (

Y

) tanım aralığını (sınırlarını) belirlemek.

X

'in sınırları

0 < x < 2

şeklindedir. Alt sınır için:

y = 0^3 + 1 = 1

. Üst sınır için:

y = 2^3 + 1 = 9

. Dolayısıyla yeni aralık

1 < y < 9

olur.

Eski yoğunluk fonksiyonu belirli bir aralıkta geçerlidir, dönüşümle beraber geçerlilik aralığı da değişir.

4

Değişken değiştirme formülünü uygulamak:

f_Y(y) = f_X(x) \cdot |\frac{dx}{dy}|

f_Y(y) = \frac{3}{8}((y - 1)^{1/3})^2 \cdot \frac{1}{3}(y - 1)^{-2/3} = \frac{3}{8}(y - 1)^{2/3} \cdot \frac{1}{3}(y - 1)^{-2/3} = \frac{1}{8}

(Sadeleştirmeler sonrası sabit 1/8 bulunur).

Orijinal fonksiyon ve Jakobiyen çarpanı kullanılarak

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonuna (PDF) ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tek değişkenli sürekli rastgele değişken dönüşümlerinde Jakobiyen kullanılarak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) bulunması.

Soru 134Soru →

Bir bilişim sisteminde belirli bir zaman aralığında tespit edilen siber saldırıların sayısı $X$ ve sistemsel hata uyarılarının sayısı $Y$ bağımsız rastgele değişkenlerdir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla $M_X(t) = e^{4(e^t - 1)}$ ve $M_Y(t) = e^{6(e^t - 1)}$ olarak modellenmiştir.

Sistem yöneticisi, sunucudaki genel risk skorunu $R = 2X + 2Y + 5$ biçiminde doğrusal bir dönüşüm ile hesaplamaktadır.

Moment çıkaran fonksiyon özellikleri dikkate alındığında, risk skoru $R$ 'nin moment çıkaran fonksiyonu $M_R(t)$ ve varyansı aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}

ve

\text{Var}(R) = 40

M_R(t) = e^{5t + 20(e^t - 1)}

ve

\text{Var}(R) = 20

M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}

ve

\text{Var}(R) = 25

M_R(t) = e^{5t + 10(e^t - 1)}

ve

\text{Var}(R) = 40

M_R(t) = e^{5t + 20(e^{2t} - 1)}

ve

\text{Var}(R) = 45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 40$

Cevap

Doğru yanıt,

M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}

ve

\text{Var}(R) = 40

ifadelerini içeren seçenektir.

Soruda verilen bağımsız değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımı

X+Y \sim \text{Poisson}(10)

dağılımını işaret eder.

R = 2(X+Y) + 5

dönüşümü uygulandığında, doğrusal dönüşüm MGF kuralı (

M_{aZ+b}(t) = e^{bt}M_Z(at)

) gereği

M_R(t) = e^{5t}M_{X+Y}(2t) = e^{5t}e^{10(e^{2t}-1)}

sonucuna ulaşılır. Varyans hesabı ise varyansın doğrusal dönüşüm özelliği olan

\text{Var}(aZ+b) = a^2 \text{Var}(Z)

formülü kullanılarak

\text{Var}(R) = 2^2(10) = 40

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsız

X

ve

Y

değişkenlerinin toplamının moment çıkaran fonksiyonunu hesaplama

Z = X + Y

için

M_Z(t) = M_X(t)M_Y(t) = e^{4(e^t - 1)} \cdot e^{6(e^t - 1)} = e^{10(e^t - 1)}

elde edilir (

\lambda = 10

olan Poisson dağılımı).

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının moment çıkaran fonksiyonu, bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımına eşittir.

2

R = 2(X+Y) + 5

doğrusal dönüşümü için MGF kuralını uygulama

Z = X + Y

olmak üzere,

M_R(t) = e^{5t}M_Z(2t) = e^{5t}e^{10(e^{2t} - 1)}

olarak bulunur.

R = aZ + b

şeklindeki bir doğrusal dönüşümün moment çıkaran fonksiyonu

M_R(t) = e^{bt}M_Z(at)

genel formülü ile hesaplanır.

3

R

değişkeninin varyansını hesaplama

MGF'den

Z \sim \text{Poisson}(10)

olduğu görülür ve

\text{Var}(Z) = 10

'dur.

\text{Var}(R) = \text{Var}(2Z + 5) = 2^2 \text{Var}(Z) = 4 \times 10 = 40

bulunur.

Doğrusal dönüşümlerde varyans kuralı

\text{Var}(aZ + b) = a^2 \text{Var}(Z)

şeklindedir; doğrusal eklenen sabit terim (b) varyansı etkilemez.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlar ile Doğrusal Dönüşümler ve Dağılım Parametrelerinin Elde Edilmesi

Soru 135Soru →

$X$ sürekli rastgele değişkeni $(-3, 3)$ aralığında tanımlı bir sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu rastgele değişken kullanılarak $Y = X^2$ dönüşümü yapılıyor. Buna göre, $0 < y < 9$ aralığında $Y$ değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{y}}{3}

\frac{\sqrt{y} + 3}{6}

\frac{\sqrt{y}}{6}

\frac{y}{9}

\frac{\sqrt{y}}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sqrt{y}}{3}$

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen birikimli dağılım fonksiyonu

\frac{\sqrt{y}}{3}

şeklindedir.

Doğru yanıt olan

\frac{\sqrt{y}}{3}

ifadesine ulaşmak için,

X

değişkeninin

(-3, 3)

aralığındaki simetrik yapısı göz önüne alınarak

P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

dönüşümü yapılmalıdır. Bu aralıkta

1/6

olan sabit yoğunluk fonksiyonu entegre edildiğinde istenen sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleyin.

f_X(x) = \frac{1}{3 - (-3)} = \frac{1}{6}

(

-3 < x < 3

için)

Düzgün dağılımın tanımı gereği yoğunluk

1/(b-a)

formülüyle bulunur.

2

Y = X^2

için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) tanımını yazın.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)

Birikimli dağılım fonksiyonu, değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.

3

Eşitsizliği

X

değişkeni cinsinden ifade edin.

P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

X^2 \leq y

eşitsizliği,

X

değişkeninin

-\sqrt{y}

ile

\sqrt{y}

arasında olmasını gerektirir.

4

Olasılığı

X

'in yoğunluk fonksiyonu üzerinden hesaplayın.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{6} dx = \frac{1}{6} [x]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y} - (-\sqrt{y})}{6} = \frac{2\sqrt{y}}{6} = \frac{\sqrt{y}}{3}

Sürekli rastgele değişkenlerde olasılık, yoğunluk fonksiyonunun ilgili aralıktaki integraliyle bulunur.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Tahmini Süre:1m 30s

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar