Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

İstatistiksel modelleme ve bilgisayarlı simülasyon çalışmalarında, belirli bir dağılıma sahip rastgele sayılar üretmek için "Olasılık İntegral Dönüşümü" teoreminden yararlanılır. Birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkeni için, $(0, 1)$ aralığında düzgün dağılıma sahip bir $U$ rastgele değişkeni ( $U \sim U(0, 1)$ ) kullanılarak $X$ değerlerinin elde edilmesini sağlayan temel matematiksel ilişki aşağıdakilerden hangisidir?

X = F^{-1}(U)

X = F(U)

X = 1 - F(U)

X = \sqrt{F(U)}

X = \int_{0}^{U} F(t) dt

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X = F^{-1}(U)$

Cevap

Sürekli bir rastgele değişkenin değerlerini simüle etmek için kullanılan temel ilişki

X = F^{-1}(U)

şeklindedir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

F(X)

dönüşümü

(0,1)

aralığında düzgün dağılır. Simülasyon çalışmalarında bu sürecin tersi işletilerek, düzgün dağılımdan üretilen

U

sayıları, hedef dağılımın ters birikimli fonksiyonu (

F^{-1}

) aracılığıyla

X

değerlerine dönüştürülür.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini hatırla.

X

sürekli bir rastgele değişken ve

F

onun birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) ise,

Y = F(X)

değişkeni

U(0, 1)

dağılımına sahiptir.

Bu teorem, herhangi bir sürekli dağılım ile standart düzgün dağılım arasındaki köprüyü kurar.

2

Ters Dönüşüm Yöntemini (Inverse Transform Method) uygula.

U = F(X)

eşitliğinde her iki tarafın ters fonksiyonu alınırsa

F^{-1}(U) = F^{-1}(F(X)) = X

elde edilir.

Simülasyonda elimizde

U

değerleri (düzgün dağılımdan üretilen sayılar) olduğu için bilinmeyen

X

değerini çekmek amacıyla fonksiyonun tersine ihtiyaç duyulur.

3

Sonucu formüle et.

X = F^{-1}(U)

Bu ilişki,

(0, 1)

aralığındaki her bir olasılık değerini (

U

), o olasılığa karşılık gelen kuantil değerine (

X

) eşler.

Anahtar Kavram

Ters Dönüşüm Yöntemi (Inverse Transform Sampling)

Soru 102Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda kış aylarında ölçülen hava basıncının referans değerden sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile tanımlanmıştır. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$x$	$-2$	$0$	$2$
$P(X=x)$	$0,15$	$0,55$	$0,30$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y = 4)$ olasılığı kaçtır?

0,45

0,30

0,15

0,55

0,09

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,45

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen değerlerin olasılıkları toplanarak bulunan 0,45 değeri doğrudur.

0,45 değeri,

X

değişkeninin karesinin

4

olduğu her iki durumun (

-2

ve

2

) olasılıklarının toplanmasıyla elde edilir. Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm yaparken, aynı

Y

değerine karşılık gelen tüm

X

değerlerinin olasılıkları toplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Y = X^2

dönüşüm fonksiyonuna göre

Y = 4

şartını sağlayan

X

değerlerini belirleyiniz.

X = -2

ve

X = 2

-2

ve

2

sayılarının kareleri

4

olduğu için bu değerler dönüşüm kümesindeki hedef değere ulaşır.

2

Y

rastgele değişkeninin olasılığını, ilgili

X

değerlerinin olasılıklarını toplayarak hesaplayınız.

P(Y = 4) = P(X = -2) + P(X = 2) = 0,15 + 0,30 = 0,45

Kesikli değişkenlerde, birden fazla girdi değeri aynı çıktı değerine dönüşüyorsa, çıktı değerinin olasılığı bu girdilerin olasılıklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Bire-bir Olmayan Dönüşümlerin Olasılık Hesabı

Tahmini Süre:45s

Soru 103Soru →

Bir trafik mühendisliği çalışmasında, bir kavşaktaki araçların bekleme süreleri ( $X$ ), $[0, 10]$ dakika aralığında birikimli dağılım fonksiyonu $F(x) = \frac{x^2}{100}$ olan bir dağılımla modellenmiştir. Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi) kullanılarak bu dağılımdan bir örneklem değeri üretilmek istendiğinde, standart düzgün dağılımdan elde edilen $u = 0,25$ değeri için üretilen bekleme süresi ( $x$ ) kaç dakikadır?

2,5

5,0

6,4

7,5

25,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5,0

Cevap

Üretilen bekleme süresi 5 dakikadır.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeninden veri üretmek için

U \sim U(0,1)

olmak üzere

X = F^{-1}(U)

eşitliği kullanılır. Verilen

F(x) = x^2/100

fonksiyonu için

x = \sqrt{100u}

olur.

u=0,25

değeri yerine yazıldığında

\sqrt{25}=5

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yönteminin temel eşitliğini kurun.

u = F(x) = \frac{x^2}{100}

Ters dönüşüm yöntemi,

[0,1]

aralığındaki düzgün dağılımlı bir sayıyı (

u

), hedef dağılımın ters birikimli fonksiyonu (

F^{-1}

) aracılığıyla ilgili rastgele değişkene dönüştürür.

2

x

değişkenini

u

cinsinden yalnız bırakarak ters fonksiyonu bulun.

x^2 = 100u \Rightarrow x = 10\sqrt{u}

Verilen CDF fonksiyonunun matematiksel tersini alarak

x

değerlerini üretecek formül elde edilir.

3

Verilen

u = 0,25

değerini formülde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayın.

x = 10\sqrt{0,25} = 10 \times 0,5 = 5

Üretilen standart düzgün sayı kullanılarak hedef dağılıma uygun örneklem değeri hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Daha Fazla Pratik

Farklı bir dağılım için (örneğin üstel dağılım) ters dönüşüm formülünü türetmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 104Soru →

Bir simülasyon çalışmasında, $[0, 1]$ aralığında standart düzgün dağılıma sahip $U$ rastgele sayıları üretilmiştir. Bu sayılar kullanılarak, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = 2x, \ (0 < x < 1)$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkenine ait değerler elde edilmek istenmektedir. Ters dönüşüm yöntemi (Inverse Transform Method) esas alındığında, $X$ değişkenini $U$ cinsinden ifade eden eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?

X = \sqrt{U}

X = U^2

X = 2U

X = \frac{U}{2}

X = 1 - U

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X = \sqrt{U}$

Cevap

İstenen dönüşüm eşitliği

X = \sqrt{U}

şeklindedir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x) = 2x

integrali alındığında birikimli dağılım fonksiyonu

F(x) = x^2

olarak bulunur. Olasılık integral dönüşümü prensibi gereği

Y = F(X)

değişkeni

[0, 1]

aralığında düzgün dağılıma sahiptir. Simülasyon amacıyla bu ilişki tersine çevrildiğinde (

X = F^{-1}(U)

),

X^2 = U

eşitliğinden

X = \sqrt{U}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) hesaplanması

F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = x^2

Olasılık integral dönüşümü ve ters dönüşüm yöntemi için öncelikle değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu bulunmalıdır.

2

F(X) = U

eşitliğinin kurulması

X^2 = U

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu, standart düzgün dağılım sergilediği için

F(X)

ifadesi

U

değişkenine eşitlenir.

3

X

değişkeninin

U

cinsinden yalnız bırakılması

X = \sqrt{U}

Simülasyonda hedef dağılımdan örnekler üretmek için birikimli dağılım fonksiyonunun tersi (

F^{-1}

) alınarak

U

değerleri

X

değerlerine dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Tahmini Süre:45s

Soru 105Soru →

İstatistiksel modelleme çalışmalarında $X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenleri kullanılarak $U = X/Y$ oran değişkeninin dağılımı araştırılmaktadır. Bu amaçla $U = X/Y$ ve $V = Y$ yardımcı değişken dönüşümü yapıldığında; $X = UV$ ve $Y = V$ ters dönüşümüne ait Jakobiyen (Jacobian) determinantının mutlak değeri $|J|$ aşağıdakilerden hangisidir?

|V|

1/|V|

1

|U|

1/|U|

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $|V|$

Cevap

Jakobiyen determinantının mutlak değeri

|V|

'dir.

Verilen

x = uv

ve

y = v

ters dönüşümleri için Jakobiyen matrisi oluşturulduğunda, birinci satırda

x

'in

u

ve

v

'ye göre türevleri (

v, u

), ikinci satırda ise

y

'nin türevleri (

0, 1

) yer alır. Bu matrisin determinantı

v \cdot 1 - u \cdot 0 = v

sonucunu verir. Mutlak değer alındığında sonuç

|V|

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.

x = uv

ve

y = v

Jakobiyen hesaplamak için eski değişkenlerin (

X, Y

) yeni değişkenler (

U, V

) cinsinden ifade edilmesi gerekir.

2

x

ve

y

değişkenlerinin

u

ve

v

değişkenlerine göre kısmi türevlerini hesaplayın.

x_u = v, x_v = u, y_u = 0, y_v = 1

Jakobiyen matrisinin elemanlarını oluşturmak için bu türevlere ihtiyaç duyulur.

3

Jakobiyen matrisinin determinantını hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (v \times 1) - (u \times 0) = v

Değişken dönüşümü formülünde kullanılacak katsayıyı belirlemek için determinant hesaplanır.

4

Determinantın mutlak değerini alın.

|J| = |v|

(yardımcı değişken

V = Y

olduğundan

|V|

)

Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif olamayacağı için Jakobiyen her zaman mutlak değer içinde kullanılır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli dönüşümlerde Jakobiyen yöntemi

Alternatif Yöntem

Özel bir durum olarak, eğer

X

ve

Y

bağımsız standart normal dağılıma sahipse, bu oran dönüşümü sonucunda oluşan

U = X/Y

değişkeni Cauchy dağılımı izler.

Tahmini Süre:45s

Soru 106Soru →

Bir kamu araştırmasında kullanılan $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak tanımlanmıştır. Veri standardizasyonu kapsamında bu değişken $Y = 8 - 3X$ şeklinde yeni bir $Y$ değişkenine dönüştürülmüştür.

Buna göre, $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

e^{8t} M_X(-3t)

e^{-3t} M_X(8t)

M_X(-3t) + 8

8 e^t M_X(-3t)

e^{8t} M_X(3t)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{8t} M_X(-3t)$

Cevap

Dönüşüm kuralı gereği doğru sonuç

e^{8t} M_X(-3t)

ifadesidir.

Doğru seçenek olan

e^{8t} M_X(-3t)

ifadesi,

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralına tam uyum sağlamaktadır. Burada

b=8

üsse gelirken,

a=-3

değeri

M_X

fonksiyonunun içindeki

t

ile çarpılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) tanımını ve doğrusal dönüşüm kuralını hatırla.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

ve

Y = aX + b

için

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralı geçerlidir.

MGF yöntemiyle değişken dönüşümü yaparken beklenen değerin özellikleri kullanılır.

2

Verilen

Y = 8 - 3X

denklemindeki parametreleri belirle.

a = -3

ve

b = 8

değerleri elde edilir.

Dönüşüm formülündeki katsayı ve sabitin doğru tespiti işlem hatasını önler.

3

Parametreleri doğrusal dönüşüm kuralına yerleştir.

M_Y(t) = e^{8t} M_X(-3t)

sonucuna ulaşılır.

b

sabiti üsse çarpan olarak gelirken,

a

katsayısı

M_X

fonksiyonunun içindeki

t

parametresiyle çarpılır.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak beklenen değer tanımı kullanılabilir:

M_Y(t) = E[e^{t(8-3X)}] = E[e^{8t} \cdot e^{-3tX}]

. Burada

e^{8t}

ifadesi

X

değişkenine bağlı olmadığı için beklentinin dışına çıkarılır ve

e^{8t} E[e^{(-3t)X}]

elde edilir. Bu da doğrudan

e^{8t} M_X(-3t)

ifadesine eşittir.

Tahmini Süre:45s

Soru 107Soru →

Bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ ile gösterilmektedir.

Y = 3X - 5

olarak tanımlanan yeni bir rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

e^{-5t} M_X(3t)

e^{5t} M_X(3t)

e^{3t} M_X(-5t)

M_X(3t) - 5

3 M_X(t) - 5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{-5t} M_X(3t)$

Cevap

Dönüşüm kuralı uygulandığında elde edilen

e^{-5t} M_X(3t)

ifadesidir.

Moment çıkaran fonksiyonların temel özelliklerinden biri, bir

X

rastgele değişkeni için

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

eşitliğidir. Soruda verilen

Y = 3X - 5

dönüşümünde doğrusal katsayı

a=3

ve sabit terim

b=-5

olarak belirlenir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında

M_Y(t) = e^{-5t} M_X(3t)

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal dönüşüm kuralını hatırla.

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

Moment çıkaran fonksiyonlar için doğrusal dönüşüm özelliği budur.

2

Verilen

Y = 3X - 5

ifadesindeki katsayıları belirle.

a = 3

ve

b = -5

Y = aX + b

genel formundaki parametreler tanımlanmalıdır.

3

Katsayıları formülde yerine koyarak sonucu bul.

M_Y(t) = e^{-5t} M_X(3t)

a

yerine

3

ve

b

yerine

-5

yazılarak matematiksel sadeleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Özelliği

İpuçları

1

Moment çıkaran fonksiyonun

M_Y(t) = E[e^{tY}]

olan tanımını kullanarak başlayın.

2

Y

yerine

3X - 5

yazarak üstel fonksiyonun özelliklerini (

e^{A+B} = e^A \cdot e^B

) kullanmayı deneyin.

3

Genel kural olan

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

formülünde

a=3

ve

b=-5

değerlerini yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

İki bağımsız Poisson rastgele değişkeninin toplamının moment çıkaran fonksiyonunu hesaplayarak dağılımların toplanabilirliği özelliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tanım üzerinden gitmek gerekirse:

M_Y(t) = E[e^{t(3X-5)}] = E[e^{3tX} \cdot e^{-5t}]

. Sabit olan

e^{-5t}

terimi beklenen değerin dışına alınırsa;

e^{-5t} E[e^{(3t)X}]

elde edilir.

E[e^{(3t)X}]

ifadesi ise tanım gereği

M_X(3t)

olduğundan sonuç

e^{-5t} M_X(3t)

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 108Soru →

Bir sistemin işlem süresi, birbirinden bağımsız çalışan iki farklı alt bileşenin sürelerinin toplamından oluşmaktadır.

Birinci bileşenin işlem süresi olan $X$ rastgele değişkeni, $(0, 2)$ aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. İkinci bileşenin işlem süresi olan $Y$ rastgele değişkeni ise ortalaması $1$ olan üstel dağılıma sahiptir.

Bu iki bileşenin toplam işlem süresi $Z = X + Y$ rastgele değişkeni ile modellendiğine göre, $z > 2$ durumu için $Z$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_Z(z)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{2} (1 - e^{-z})

\frac{1}{2} e^{-z}

\frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)

\frac{1}{2}

\frac{1}{4} e^{-z} (e^2 - 1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)$

Cevap

\frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)

ifadesidir.

İki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu konvolüsyon integrali

f_Z(z) = \int f_X(x) f_Y(z-x) dx

ile bulunur.

z > 2

durumu için integral sınırları,

X

'in tanımlı olduğu

(0, 2)

aralığının tamamını kapsar. İntegral

\int_{0}^{2} \frac{1}{2} e^{-(z-x)} dx

biçiminde hesaplandığında sonuç doğru seçenek olan ifadeyi verir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) belirleme

f_X(x) = \frac{1}{2}

(

0 < x < 2

için) ve

f_Y(y) = e^{-y}

(

y > 0

için)

Sürekli düzgün dağılım ve ortalaması

1

olan üstel dağılımın tanımı gereğidir.

2

Bağımsız değişkenlerin toplamı için konvolüsyon (evrişim) integralini kurma

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx

İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dağılımı konvolüsyon integrali formülü ile bulunur.

3

İntegral sınırlarını

z > 2

durumuna göre analiz etme

f_X(x)

fonksiyonu

0 < x < 2

aralığında,

f_Y(z-x)

ise

z-x > 0

yani

x < z

aralığında tanımlıdır.

z > 2

olduğunda, iki koşulun kesişimi x'in sınırlarını

0

'dan

2

'ye kadar belirler.

Her iki olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı değer aldığı ortak bölgede integral alınmalıdır.

4

İntegrali çözme ve sadeleştirme

f_Z(z) = \int_{0}^{2} \frac{1}{2} e^{-(z-x)} dx = \frac{1}{2} e^{-z} \int_{0}^{2} e^x dx = \frac{1}{2} e^{-z} [e^x]_0^2 = \frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)

Belirli integral sınırlarında üstel fonksiyonun anti-türevi hesaplanarak nihai fonksiyon elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının konvolüsyon (evrişim) integrali ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunması

Alternatif Yöntem

Problemi çözmek için değişken dönüştürme (Jakobiyen) yöntemi de kullanılabilir. Ortak dağılım

f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2} e^{-y}

yazılarak

z = x + y

ve

u = x

dönüşümü yapılır.

z > 2

aralığı için

u

değişkeninin sınırları

0

'dan

2

'ye kadar entegre edilerek

Z

'nin marjinal fonksiyonu elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 109Soru →

Birbirinden bağımsız $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin her ikisi de standart normal dağılıma ( $N(0,1)$ ) sahiptir.

Buna göre, $Z = \frac{X}{Y}$ şeklinde tanımlanan $Z$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı ve beklenen değeri ( $E[Z]$ ) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Z

rastgele değişkeni standart normal dağılıma sahiptir ve beklenen değeri

0

'dır.

Z

rastgele değişkeni 1 serbestlik dereceli Student-

t

dağılımına sahiptir ve beklenen değeri

0

'dır.

Z

rastgele değişkeni standart Cauchy dağılımına sahiptir ve beklenen değeri tanımsızdır.

Z

rastgele değişkeni

F

-dağılımına sahiptir ve beklenen değeri

1

'dir.

Z

değişkeninin dağılımı ancak ortak kovaryans değeri bilindiğinde bulunabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Z$ rastgele değişkeni standart Cauchy dağılımına sahiptir ve beklenen değeri tanımsızdır.

Cevap

Doğru yanıt, elde edilen dağılımın standart Cauchy dağılımı olduğu ve bu dağılımın beklenen değerinin tanımsız olduğunu belirten seçenektir.

İki bağımsız standart normal dağılımlı rastgele değişkenin oranı (

X/Y

), daima standart Cauchy dağılımını (1 serbestlik dereceli Student-

t

dağılımı) verir. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri incelendiğinde, kuyrukları

x

-eksenine çok yavaş yaklaştığı için beklenen değerin bulunmasında kullanılan

\int_{-\infty}^{\infty} |x| f(x) dx

integrali ıraksaktır. Bu nedenle, dağılım her ne kadar sıfıra göre simetrik olsa da Cauchy dağılımının bir beklenen değeri (veya varyansı) yoktur, yani tanımsızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Z = \frac{X}{Y}

dönüşümü ile elde edilen dağılımın türünü belirlemek.

Bağımsız iki standart normal değişkenin oranının her zaman standart Cauchy dağılımına (veya eşdeğer olarak 1 serbestlik dereceli Student-t dağılımına) uyduğu istatistiksel bir gerçektir.

Olasılık kuramındaki temel değişken dönüşüm ve jakobiyen teoremlerinin standart normal değişkenlere uygulanması sonucu bu özel dağılım elde edilir.

2

Elde edilen standart Cauchy dağılımının beklenen değerini incelemek.

Cauchy dağılımı için hesaplanması gereken

\int_{-\infty}^{\infty} z \cdot f(z) dz

integrali mutlak yakınsak değildir.

İntegral, olasılık yoğunluk fonksiyonunun kuyruklarının (tails) yavaş sönümlenmesi nedeniyle

\infty - \infty

belirsizliğine yol açar; bu yüzden dağılım sıfıra göre simetrik olsa bile beklenen değer matematiksel olarak tanımsızdır.

Anahtar Kavram

İki standart normal değişkenin oranının dağılımı ve Cauchy dağılımının beklenen değerinin bulunmaması

Soru 110Soru →

Kesikli bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (PMF) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$0.1$	$0.2$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.1$

$Y = (X - 1)^2$ dönüşümü ile yeni bir $Y$ rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $Y$ değişkeninin en yüksek olasılıklı değerinin (mod) olasılığı ile $Y$ 'nin beklenen değeri $E[Y]$ 'nin toplamı kaçtır?

0.49

2.3

2.8

2.9

3.5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2.9

Cevap

İstenen değer 2.9 olarak bulunur.

Doğru yanıt, dönüşüm sonucu bire-bir eşleşmeyen değerlerin olasılıklarının toplanması ile kurulan yeni PMF tablosundan elde edilir.

Y

'nin en yüksek olasılığı

0.4

'tür ve LOTUS formülüyle hesaplanan beklenen değer

2.5

'tir. Bunların toplamı

2.9

'u verir.

Adım Adım Çözüm

1

Y

rastgele değişkeninin alabileceği değerleri ve yeni olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) belirleme.

P(Y=0)=0.2

,

P(Y=1)=0.4

,

P(Y=4)=0.3

,

P(Y=9)=0.1

Y=(X-1)^2

bire-bir olmayan bir dönüşüm olduğundan, aynı

Y

değerini veren

X

'lerin olasılıkları toplanmalıdır (

x=0

ve

x=2

için

Y=1

;

x=-1

ve

x=3

için

Y=4

).

2

Y

'nin en yüksek olasılıklı değerinin (mod) olasılığını bulma.

En yüksek olasılık

P(Y=1) = 0.4

olarak bulunur.

Oluşturulan yeni olasılık dağılımında en büyük kütleye sahip olasılık değeri

0.4

'tür.

3

Y

değişkeninin beklenen değerini

E[Y]

hesaplama.

E[Y] = 0(0.2) + 1(0.4) + 4(0.3) + 9(0.1) = 2.5

Beklenen değer tanımı gereği, rastgele değişkenin alabileceği her bir değerin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamıdır.

4

Bulunan modun olasılığı ile beklenen değeri toplama.

0.4 + 2.5 = 2.9

Soru bizden bu iki hesaplanmış niceliğin cebirsel toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Kesikli Değişkenlerde Dönüşümler ve Dağılım Fonksiyonu Çıkarımı

Alternatif Yöntem

Y

'nin beklenen değerini hesaplarken yeni PMF'yi bulmak yerine doğrudan LOTUS (Law of the Unconscious Statistician) teoremini kullanabilirsiniz:

E[(X-1)^2] = \sum (x-1)^2 \cdot P(X=x)

. PMF sadece mod olasılığını bulmak için mecburen çıkarılmalıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 111Soru →

$X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = e^{4t + 2t^2}$ olarak verilmiştir.

Buna göre, $Y = 3X - 1$ biçiminde tanımlanan $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ ve standart sapması ( $\sigma_Y$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}

ve

\sigma_Y = 36

M_Y(t) = e^{11t + 6t^2}

ve

\sigma_Y = 2\sqrt{3}

M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}

ve

\sigma_Y = 6

M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}

ve

\sigma_Y = 18

M_Y(t) = e^{3t + 2t^2}

ve

\sigma_Y = 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}$ ve $\sigma_Y = 6$

Cevap

Moment çıkaran fonksiyonu

M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}

ve standart sapması

\sigma_Y = 6

olan seçenektir.

Doğrusal dönüşümlerde moment çıkaran fonksiyon

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

genel kuralı ile hesaplanır.

a=3

ve

b=-1

değerleri

M_X(t)

fonksiyonunda yerine konulduğunda,

M_Y(t) = e^{-t} e^{4(3t) + 2(3t)^2} = e^{11t + 18t^2}

elde edilir. Moment çıkaran fonksiyonun üslü ifadesindeki

t^2

'nin katsayısı her zaman

\sigma^2/2

'yi verir. Buradan

\sigma_Y^2/2 = 18

eşitliğinden varyansın

36

, standart sapmanın ise bunun karekökü olan

6

olduğu tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal dönüşümlerde moment çıkaran fonksiyon kuralını yazın.

M_Y(t) = E[e^{t(3X-1)}] = e^{-t} M_X(3t)

Bir rastgele değişkenin doğrusal dönüşümü (

aX+b

) yapıldığında MGF kuralı

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

şeklindedir.

2

M_X(3t)

ifadesini verilen fonksiyona göre hesaplayın.

M_X(3t) = e^{4(3t) + 2(3t)^2} = e^{12t + 18t^2}

Kural gereği orijinal MGF'de

t

gördüğümüz yere

3t

yazarız.

3

Yeni moment çıkaran fonksiyonu, bulduğunuz değerleri çarparak oluşturun.

M_Y(t) = e^{-t} \cdot e^{12t + 18t^2} = e^{11t + 18t^2}

Üslü sayılarda tabanlar aynı olduğunda üstler toplanır kuralıyla son fonksiyona ulaşılır.

4

Sonuç fonksiyonundan Normal dağılım parametrelerini eşleştirerek standart sapmayı bulun.

Normal dağılımın MGF formatı

e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

'dir. Buradan

\frac{1}{2}\sigma_Y^2 = 18 \implies \sigma_Y^2 = 36

bulunur. Standart sapma

\sigma_Y = \sqrt{36} = 6

'dır.

Dağılımın moment çıkaran fonksiyonunun üssündeki

t^2

teriminin katsayısı, her zaman varyansın yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi ile Doğrusal Dönüşümler

Soru 112Soru →

Bir simülasyon çalışmasında, sürekli bir $X$ rastgele değişkeninden rassal değerler üretilmek istenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} 2(x-1), & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemi kullanılarak, $(0,1)$ aralığında düzgün dağılıma sahip $U \sim \text{Uniform}(0,1)$ rastgele değişkeninden $X$ değerlerini üretmek için kullanılması gereken dönüşüm aşağıdakilerden hangisidir?

X = 1 + \frac{U}{2}

X = 1 - \sqrt{U}

X = 1 + \sqrt{U}

X = 1 + \sqrt{U + 1}

X = \sqrt{U + 1}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X = 1 + \sqrt{U}$

Cevap

Doğru dönüşüm

X = 1 + \sqrt{U}

fonksiyonudur.

Ters dönüşüm yönteminde temel adım

F(X) = U

eşitliğini çözmektir. Verilen yoğunluk fonksiyonunun

1

'den

x

'e kadar integrali alındığında

F(x) = (x-1)^2

elde edilir. Bu ifade

U

'ya eşitlenip

X

yalnız bırakıldığında

X-1 = \pm\sqrt{U}

bulunur. Soruda

X

'in

1 < X < 2

aralığında olduğu belirtildiği için

X-1

ifadesi pozitif olmalıdır. Bu nedenle

X = 1 + \sqrt{U}

dönüşümü doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

X

'in birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_{1}^{x} 2(t-1) dt = (t-1)^2 \Big|_{1}^{x} = (x-1)^2

Olasılık integral dönüşümü yöntemini kullanabilmek için öncelikle rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu bulunmalıdır.

2

Ters dönüşüm prensibini uygulayarak

F(X) = U

eşitliğini kurun.

(X-1)^2 = U

Yöntemin temel kuralı, hedef dağılımın CDF'sini

(0,1)

aralığında düzgün dağılan

U

rastgele değişkenine eşitlemektir.

3

Eşitlikten

X

'i çekin ve tanım aralığına uygun olan kökü belirleyin.

X-1 = \pm\sqrt{U}

elde edilir.

1 < X < 2

olduğundan

X-1 > 0

olmalıdır, bu sebeple pozitif kök seçilerek

X = 1 + \sqrt{U}

bulunur.

Rastgele değişkenin tanımlı olduğu değer aralığını ihlal etmemek için mutlak değer veya karekök dışına çıkarma işlemlerinde doğru işaret seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi ile Simülasyon)

Soru 113Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir makinenin arızalar arası geçen süresini $T$ sürekli rastgele değişkeni ile modellemektedir. $T$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(t) = \begin{cases} \frac{1}{16} t^2 e^{-t/2}, & t > 0 \\ 0, & t \leq 0 \end{cases}

$T$ 'nin kümülatif dağılım fonksiyonu $F(t)$ olmak üzere, mühendis bir benzetim (simülasyon) çalışması için $Y = -3 \ln[1 - F(T)]$ şeklinde yeni bir $Y$ rastgele değişkeni tanımlamaktadır.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) kaçtır?

1

\frac{1}{3}

3

3 \ln 2

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre, sürekli bir T rastgele değişkeni için kümülatif dağılım fonksiyonu olan F(T) her zaman (0,1) aralığında Düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir. Bu nedenle 1 - F(T) ifadesi de Düzgün dağılımlıdır. Y = -3 ln(V) dönüşümü için beklenen değer integrali E[Y] = \int_{0}^{1} -3 \ln(v) dv hesaplandığında sonuç 3 çıkar. (Alternatif olarak, -ln(V)'nin ortalaması 1 olan Üstel dağılıma dönüştüğü bilinerek de doğrudan 3*1=3 bulunabilir).

Adım Adım Çözüm

1

T sürekli bir rastgele değişken olduğundan Olasılık İntegral Dönüşümü teoreminin uygulanması.

U = F(T) değişkeninin (0,1) aralığında standart düzgün dağılıma (Uniform) sahip olduğu belirlenir.

Herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kümülatif dağılım fonksiyonu kendi değişkenine uygulandığında her zaman (0,1) aralığında düzgün dağılım üretir.

2

Düzgün dağılımın simetri özelliğinden faydalanarak 1 - F(T) ifadesinin dağılımının bulunması.

V = 1 - F(T) ifadesinin de (0,1) aralığında standart düzgün dağılıma sahip olduğu görülür.

U ~ U(0,1) ise simetriden dolayı 1 - U ~ U(0,1) olur.

3

Y = -3 ln(V) değişkeninin beklenen değerinin integral yoluyla hesaplanması.

E[Y] = \int_{0}^{1} -3 \ln(v) dv = -3 [v \ln v - v]_0^1 = 3 elde edilir.

Sürekli bir rastgele değişkenin fonksiyonunun beklenen değeri E[g(V)] = \int g(v)f(v)dv formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü

Alternatif Yöntem

-ln(U) dönüşümünün parametresi 1 olan standart bir Üstel (Exponential) dağılım ürettiği bilgisini doğrudan kullanabilirsiniz. Buna göre -3 ln(U) dağılımı, beklenen değeri 3 olan bir Üstel dağılım olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 114Soru →

Bir rastgele deneyde $X$ rastgele değişkeni, $n=3$ ve $p=\frac{1}{2}$ parametreli Binom dağılımına sahiptir.

Bu değişken üzerinden sırasıyla

Y

ve

Z

rastgele değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

Y = \cos\left(\frac{\pi}{2} X\right)

Z = Y^2 - Y

Buna göre, $Z$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(Z)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{7}{16}

\frac{11}{16}

\frac{3}{4}

\frac{15}{16}

\frac{3}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{15}{16}$

Cevap

Doğru cevap, iki ardışık dönüşüm sonucu elde edilen ve çakışan olasılıkların doğru biçimde toplanmasıyla bulunan Z değişkeninin varyansı olan \frac{15}{16} değeridir.

Doğru seçenek \frac{15}{16}'dır çünkü ardışık uygulanan

Y = \cos\left(\frac{\pi}{2} X\right)

ve

Z = Y^2 - Y

dönüşümlerinde, aynı görüntü kümesi elemanına giden tanım kümesi elemanlarının olasılıkları toplanmalıdır.

Z

'nin PMF'si

P(Z=0)=\frac{5}{8}

ve

P(Z=2)=\frac{3}{8}

olarak bulunduktan sonra varyans formülü

Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2

kullanıldığında sonuç

\frac{15}{16}

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeninin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) belirlemek.

P(X=0)=\frac{1}{8}, P(X=1)=\frac{3}{8}, P(X=2)=\frac{3}{8}, P(X=3)=\frac{1}{8}

Binom dağılımı formülü olan

P(X=x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}

parametreler yerine konularak hesaplanır.

2

Y = \cos\left(\frac{\pi}{2} X\right)

dönüşümünü uygulayıp

Y

'nin PMF'sini bulmak.

P(Y=-1)=\frac{3}{8}, P(Y=0)=\frac{1}{2}, P(Y=1)=\frac{1}{8}

x

değerleri kosinüs fonksiyonunda yerine konur.

x=1

ve

x=3

durumlarının ikisi de

y=0

sonucunu verdiğinden, bu değerlerin olasılıkları toplanmalıdır (

\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

).

3

Z = Y^2 - Y

dönüşümünü uygulayıp

Z

'nin PMF'sini bulmak.

P(Z=0)=\frac{5}{8}, P(Z=2)=\frac{3}{8}

y

değerleri yerine konarak

z

değerleri bulunur.

y=0

ve

y=1

durumlarının ikisi de

z=0

sonucunu verir. Bu nedenle olasılıkları toplanır (

\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

).

y=-1

için ise

z = (-1)^2 - (-1) = 2

olup olasılığı

\frac{3}{8}

'dir.

4

Z

değişkeninin beklenen değerini (

E[Z]

) ve ikinci momentini (

E[Z^2]

) hesaplamak.

E[Z]=\frac{3}{4}, E[Z^2]=\frac{3}{2}

E[Z] = 0 \cdot \frac{5}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

ve

E[Z^2] = 0^2 \cdot \frac{5}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} = 4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

hesaplamaları yapılır.

5

Varyans formülünü uygulayarak sonucu bulmak.

Var(Z)=\frac{15}{16}

Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2

formülü gereği

\frac{3}{2} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{24}{16} - \frac{9}{16} = \frac{15}{16}

bulunur.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Çarpışan Olasılıkların Toplanması

Alternatif Yöntem

Z'nin dağılımını bulmadan doğrudan Beklenen Değer Operatörü Özellikleri (LOTUS) kullanılarak E[Z] ve E[Z^2] değerleri ilk baştaki X'in olasılıkları ile çarpılarak hesaplanabilir. E[Z] = \sum (\cos^2(\frac{\pi}{2}x) - \cos(\frac{\pi}{2}x)) P(X=x) işlemi de aynı sonucu verecektir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 115Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde, sunuculardaki anlık aşırı yüklenme durumları $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, $k$ pozitif bir sabit olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

P(X = x) = \frac{x^2 + 1}{k}, \quad x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Sistemdeki bu dalgalanmaların kuruma oluşturduğu operasyonel etki ise $Y = (X-1)^2$ dönüşümü ile belirlenmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin $4$ değerini alma olasılığı ( $P(Y=4)$ ) kaçtır?

\frac{2}{25}

\frac{1}{5}

\frac{12}{25}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{12}{25}$

Cevap

İstenen olasılık değeri

\frac{12}{25}

'tir.

Kesikli rastgele değişkenlerde

Y = g(X)

şeklindeki dönüşümlerde, belirli bir

Y=y

değerinin olasılığı bulunurken,

g(x) = y

eşitliğini sağlayan tüm

X=x

değerlerinin olasılıkları toplanmalıdır. Denklem

Y = (X-1)^2 = 4

olarak verildiğinden,

X-1 = \pm 2

eşitliği kurularak

X=3

ve

X=-1

kökleri tespit edilir. Dağılımın geçerli olabilmesi için tüm

P(X=x)

değerlerinin toplamı olan

\frac{25}{k}

ifadesi

1

'e eşitlenerek

k=25

sabiti bulunur. Sonrasında

X=3

için olasılık

\frac{10}{25}

ve

X=-1

için olasılık

\frac{2}{25}

toplanarak nihai cevap

\frac{12}{25}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık fonksiyonundaki

k

sabitinin bulunması için tüm olasılıkların toplamı

1

'e eşitlenir.

\sum P(X=x) = \frac{5 + 2 + 1 + 2 + 5 + 10}{k} = 1 \implies \frac{25}{k} = 1 \implies k = 25

Bir olasılık kütle fonksiyonunda tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.

2

Y = 4

durumunu sağlayan

X

değerleri belirlenir.

(X-1)^2 = 4 \implies X-1 = 2

veya

X-1 = -2 \implies X = 3

veya

X = -1

Değişken dönüşümlerinde, hedef değerin (Y=4) ters görüntüsü alınarak, tanım kümesindeki hangi X değerlerinin bu sonucu ürettiği bulunmalıdır.

3

Bulunan

X

değerlerinin olasılıkları toplanarak

P(Y=4)

hesaplanır.

P(Y=4) = P(X=3) + P(X=-1) = \frac{3^2+1}{25} + \frac{(-1)^2+1}{25} = \frac{10}{25} + \frac{2}{25} = \frac{12}{25}

Ayrık olaylar oldukları için, Y'yi 4 yapan tüm bağımsız X durumlarının olasılıkları toplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde birebir olmayan (non-monotonic) fonksiyon dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Tüm Y evrenini listeleyerek dağılım tablosunu yeniden oluşturabilirsiniz: X değerlerini tek tek yerine koyup Y değerlerini {-2→9, -1→4, 0→1, 1→0, 2→1, 3→4} bulun. Sonra aynı Y değerine sahip olan olasılıkları gruplandırın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 116Soru →

X

ve

Y

sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

olarak verilmiştir.

$U = Y$ ve $V = \frac{X}{Y}$ dönüşümleri tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u,v) = \begin{cases} 2u, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} -2u, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 2u, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} \frac{2}{u}, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 2, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u,v) = \begin{cases} 2u, & 0 < u < 1, \ 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Cevap

Doğru fonksiyon, Jakobiyen determinantının mutlak değerini hesaba katan ve sınırların 0 < u < 1 ile 0 < v < 1 olduğu 2u yoğunluk fonksiyonudur.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu hesaplanırken, öncelikle ters dönüşümler (

x = uv

,

y = u

) bulunur. Bu dönüşümlerden elde edilen Jakobiyen determinantı

J = -u

şeklindedir ve formül gereği mutlak değeri olan

|J| = u

çarpana dahil edilir. Sonrasında

0 < x < y < 1

sınırlaması, yeni değişkenler cinsinden

0 < uv < u < 1

şeklinde yazılır. Sistemin

u > 0

barındırdığı göz önüne alınarak u'ya bölündüğünde, değişken aralıkları

0 < v < 1

ve

0 < u < 1

olarak kesinleşir. Son aşamada

f(x,y) \cdot |J| = 2 \cdot u = 2u

çarpımı sonucunda, kare destek bölgesi üzerinde tanımlı doğru fonksiyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

U = Y

ve

V = \frac{X}{Y}

denklemlerini kullanarak

x

ve

y

değişkenlerini

u

ve

v

cinsinden ifade edin.

y = u

ve

x = uv

eşitlikleri elde edilir.

Jakobiyen matrisini oluşturmak için ters dönüşüm fonksiyonlarına ihtiyaç vardır.

2

Ters dönüşümler üzerinden Jakobiyen determinantını (

J

) ve mutlak değerini (

|J|

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -u

bulunur ve

|J| = u

olur.

Çok değişkenli dönüşümlerde, değişken uzayındaki alan deformasyonunu düzeltmek ve pozitif bir PDF elde etmek için Jakobiyen determinantının mutlak değeri kullanılır.

3

Orijinal bölge olan

0 < x < y < 1

eşitsizliğinde

x = uv

ve

y = u

değerlerini yerine koyarak yeni tanım aralığını belirleyin.

0 < uv < u < 1

eşitsizliği

u > 0

olduğu gerçeğiyle sadeleştirildiğinde yeni sınırlar

0 < v < 1

ve

0 < u < 1

olarak bulunur.

Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu dönüştürülmüş bölgeyi eksiksiz tanımlamak zorunludur.

4

Çok değişkenli dönüşüm teoremini uygulayarak

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

eşitliğini kurun.

h(u,v) = 2 \cdot u = 2u

fonksiyonu ve

0 < u < 1, \ 0 < v < 1

aralığı elde edilir.

Tüm dönüşüm adımlarının birleştirilmesiyle

(U,V)

değişkenlerinin nihai ortak PDF'sine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişken Dönüşümü ve Jakobiyen

Soru 117Soru →

Sosyal Güvenlik Kurumu aktüerya departmanında yapılan bir araştırmada, bir poliçe grubuna ait hasar ödeme sürelerini modelleyen sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ olarak tanımlanmıştır.

Aktüer uzmanları, risk simülasyon modellerinde kullanılmak üzere yeni bir

Z

rastgele değişkenini aşağıdaki dönüşüm ile elde etmektedir:

Z = -2 \ln(F(X))

$F(x)$ fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta kesin artan olduğu bilindiğine göre, $Z$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Beklenen Değer:

1

, Varyans:

1

Beklenen Değer:

\ln(4)

, Varyans:

\frac{1}{3}

Beklenen Değer:

2

, Varyans:

4

Beklenen Değer:

2

, Varyans:

2

Beklenen Değer:

-2

, Varyans:

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen Değer: $2$ , Varyans: $4$

Cevap

Beklenen Değer:

2

, Varyans:

4

seçeneği doğrudur.

Sürekli bir rastgele değişkenin CDF değeri

U = F(X)

, daima

(0,1)

aralığında standart Düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir. Verilen

Z = -2 \ln(U)

dönüşümünde beklenen değer

E[-2 \ln(U)] = \int_0^1 -2 \ln(u) du = 2

olarak, varyans ise

Var(-2 \ln(U)) = E[(-2 \ln(U))^2] - E[-2 \ln(U)]^2 = 8 - 4 = 4

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru beklenen değer 2, varyans ise 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform) kuralını uygula.

Sürekli ve kesin artan bir

X

değişkeni için

U = F(X)

dönüşümünün standart Düzgün dağılıma sahip olduğu görülür:

U \sim Uniform(0, 1)

.

Herhangi bir sürekli rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonundan (CDF) geçirilen değeri, tanım gereği

(0, 1)

aralığında düzgün dağılır.

2

Z

rastgele değişkenini

U

cinsinden ifade et ve beklenen değer integralini kur.

Z = -2 \ln(U)

olur. Beklenen değer:

E[Z] = \int_{0}^{1} -2 \ln(u) \cdot 1 \, du

U

'nun olasılık yoğunluk fonksiyonu

(0,1)

aralığında

1

'dir. Sürekli beklenen değer formülü uygulanır.

3

E[Z]

integralini kısmi integrasyon (veya hazır limit) ile çöz.

\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u

olduğundan,

-2 [u \ln(u) - u]_{0}^{1} = -2 [ (0 - 1) - 0 ] = 2

. Yani

E[Z] = 2

bulunur.

Varyans hesabı için öncelikle birinci momentin (beklenen değer) doğru bulunması zorunludur.

4

Z

'nin varyansını bulmak için ikinci momenti (

E[Z^2]

) hesapla.

E[Z^2] = \int_{0}^{1} (-2 \ln(u))^2 \, du = 4 \int_{0}^{1} (\ln(u))^2 \, du

. Bu integralin sonucu

4 \times 2 = 8

olur.

Varyans formülü

Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2

eşitliğini gerektirir.

5

Varyansı elde et.

Var(Z) = 8 - (2)^2 = 8 - 4 = 4

.

Birinci ve ikinci momentler arasındaki fark alınarak rastgele değişkenin dağılım genişliği belirlenir.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Alternatif Yöntem

U = F(X) \sim Uniform(0,1)

olduğunu belirledikten sonra, CDF yöntemiyle

Z = -2 \ln(U)

rastgele değişkeninin kendi dağılımını bulabiliriz:

P(Z \le z) = P(-2 \ln(U) \le z) = P(\ln(U) \ge -z/2) = P(U \ge e^{-z/2}) = 1 - e^{-z/2}

. Elde edilen bu birikimli dağılım fonksiyonu, parametresi

\lambda = 1/2

olan bir Üstel Dağılıma aittir (Üstel dağılımın CDF'si

1 - e^{-\lambda z}

formundadır). Üstel dağılımda beklenen değer

1/\lambda = 2

ve varyans

1/\lambda^2 = 4

olduğundan integral hesaplamaya gerek kalmadan sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 118Soru →

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x,y) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak verilmiştir.

Buna göre, $V = X - Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{cases} (1+v)^2, & -1 < v \le 0 \\ 1-v^2, & 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

\begin{cases} 2(1+v)^2, & -1 < v \le 0 \\ 2(1-v^2), & 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

\begin{cases} 1-v^2, & -1 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

\begin{cases} 1+2v, & -1 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

\begin{cases} (1+v)^2, & -1 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{cases} (1+v)^2, & -1 < v \le 0 \\ 1-v^2, & 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Cevap

Doğru olasılık yoğunluk fonksiyonu,

v \le 0

için

(1+v)^2

ve

v > 0

için

1-v^2

olan parçalı fonksiyondur.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan

V = X - Y

dağılımını elde etmek için

X = V + Y

dönüşümü kullanılarak

\int f(v+y, y) dy

integrali hesaplanır. Dağılımın tanımlı olduğu

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

kısıtları,

0 < v+y < 1

koşulunu doğurur. Bu eşitsizlikler

y

değişkeni için çözüldüğünde,

y

'nin geçerli olacağı aralık

v

'nin işaretine göre değişir.

v \le 0

iken kesişim sınırları

(-v, 1)

aralığına dönüşür ve

\int_{-v}^{1} 2(v+y) dy = (1+v)^2

hesaplanır. Diğer taraftan

v > 0

iken kesişim sınırları

(0, 1-v)

aralığına dönüşür ve

\int_{0}^{1-v} 2(v+y) dy = 1-v^2

bulunur. Sonuçların birleşimi aranan parçalı fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm denklemini ve ortak dağılım fonksiyonunu yazma

V = X - Y \implies X = V + Y

dönüşümü yapılır. Marjinal PDF için

h(v) = \int f(v+y, y) dy = \int 2(v+y) dy

integrali kurulur.

Sürekli rastgele değişkenlerin farkının dağılımını bulmak için konvolüsyon (evrişim) tekniği kullanılmalıdır.

2

Değişkenlerin geçerli olduğu sınırların kesişimini analiz etme

Tanım kümesi gereği

0 < X < 1

ve

0 < Y < 1

'dir. Bu nedenle

0 < V+Y < 1

olmalıdır. Buradan

Y

'nin sınırları

-v < Y < 1-v

olarak elde edilir. Aynı zamanda

0 < Y < 1

şartı da sağlanmalıdır.

Herhangi bir

v

değeri için

y

'nin entegre edilebileceği ortak geçerli aralığı bulmak zorunludur.

3

v ≤ 0 durumu için sınırları belirleme ve integrali hesaplama

v \le 0

olduğunda

\max(0, -v) = -v

ve

\min(1, 1-v) = 1

olur. Sınırlar

(-v, 1)

olarak belirlenir.

\int_{-v}^{1} 2(v+y) dy = \left[ 2vy + y^2 \right]_{-v}^{1} = (2v+1) - (-2v^2+v^2) = (1+v)^2

bulunur.

Negatif

v

değerleri için olasılık bölgesi, birim karenin sol üst tarafında kalan kesişim alanıdır.

4

v > 0 durumu için sınırları belirleme ve integrali hesaplama

v > 0

olduğunda

\max(0, -v) = 0

ve

\min(1, 1-v) = 1-v

olur. Sınırlar

(0, 1-v)

olarak belirlenir.

\int_{0}^{1-v} 2(v+y) dy = \left[ 2vy + y^2 \right]_{0}^{1-v} = 2v(1-v) + (1-v)^2 = 1 - v^2

bulunur.

Pozitif

v

değerleri için olasılık bölgesi, birim karenin sağ alt tarafında kalan kesişim alanıdır.

5

Parçalı olasılık yoğunluk fonksiyonunu birleştirme

Elde edilen her iki durum bir araya getirilerek

h(v)

parçalı fonksiyonu nihai haliyle yazılır.

X

ve

Y

arasındaki farkın tanım kümesi olan

(-1, 1)

aralığını eksiksiz bir şekilde tanımlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Değişken Dönüşümlerinde Parçalı İntegrasyon Sınırları ve Konvolüsyon

Alternatif Yöntem

Soru CDF (Birikimli Dağılım Fonksiyonu) yöntemiyle de çözülebilir.

F_V(v) = P(X - Y < v) = P(X < Y + v)

olasılığı,

f(x,y) = 2x

fonksiyonunun

x < y + v

bölgesi üzerinde çift katlı integre edilmesiyle elde edilir. Çıkan sonucun

v

'ye göre türevi alınarak yoğunluk fonksiyonu parçalı şekilde doğrulanabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 119Soru →

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & -1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

$Y = X^2$ dönüşümü tanımlanıyor.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak elde edilen $Y$ rastgele değişkenine ait olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

*(Not: $y$ 'nin tanımlı olduğu aralıklar dışındaki değerler için $f_Y(y) = 0$ olduğu varsayılacaktır.)*

0 < y < 4

için

f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}

0 < y < 4

için

f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}

0 < y < 1

için

f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}

; \quad

1 \le y < 4

için

f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}

0 < y < 1

için

f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}

; \quad

1 \le y < 4

için

f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}

0 < y < 4

için

f_Y(y) = \frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0 < y < 1$ için $f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}$ ; \quad $1 \le y < 4$ için $f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}$

Cevap

0 < y < 1

aralığında

\frac{1}{3\sqrt{y}}

ve

1 \le y < 4

aralığında

\frac{1}{6\sqrt{y}}

olan parçalı fonksiyondur.

Doğru cevap,

Y=X^2

fonksiyonunun monoton olmadığı durumu gözeterek parçalı hesaplama yapan fonksiyondur.

F_Y(y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

eşitliğinde,

y

'nin

1

'den küçük veya büyük olmasına göre

X

'in alt sınırı değişir.

0 < y < 1

için sınırlar

(-\sqrt{y}, \sqrt{y})

'dir ve türevi

1/(3\sqrt{y})

'yi verir.

1 \le y < 4

için ise

X

'in mutlak alt sınırı

-1

olduğundan, integral

(-1, \sqrt{y})

aralığında hesaplanır ve türevi alındığında

1/(6\sqrt{y})

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Y

rastgele değişkeninin olası değerler aralığını belirleme.

X \in (-1, 2)

olduğundan,

Y = X^2

değişkeni

(0, 4)

aralığında değerler alır.

CDF'nin tanımlı olduğu bölgeleri bulmak için

Y

'nin sınırlarının bilinmesi gerekir.

2

CDF temel eşitliğini yazma.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

.

Dönüşüm fonksiyonu monoton olmadığından, olasılık

X

'in negatif ve pozitif değerlerini kapsamalıdır.

3

0 < y < 1

aralığı için CDF ve PDF hesaplama.

Bu aralıkta

-\sqrt{y} > -1

'dir. Dolayısıyla

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{2\sqrt{y}}{3}

olur. Türevi alınırsa

f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}

bulunur.

Bu bölgede

X

,

(-\sqrt{y}, \sqrt{y})

aralığında tamamen

1/3

yoğunluğuna sahiptir.

4

1 \le y < 4

aralığı için CDF ve PDF hesaplama.

Bu aralıkta

-\sqrt{y} < -1

'dir. Alt sınır

-1

ile kısıtlanır:

F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{\sqrt{y} + 1}{3}

. Türevi alınırsa

f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}

bulunur.

X

'in yoğunluk fonksiyonu

-1

'in altında sıfır olduğu için integralin alt sınırı

-1

olmalıdır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Bire-Bir Olmayan Dönüşümler

Soru 120Soru →

$X_1$ ve $X_2$ bağımsız rastgele değişkenlerinin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

M_{X_1}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^3

M_{X_2}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^2

$Y = 5(X_1 + X_2) - 4$ biçiminde tanımlanan $Y$ rastgele değişkeni için, $Y$ 'nin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ ve varyansı $Var(Y)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

ve

Var(Y) = 30

M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^t)^5

ve

Var(Y) = 6

M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

ve

Var(Y) = 26

M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

ve

Var(Y) = 2

M_Y(t) = e^{-4} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

ve

Var(Y) = 34

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5$ ve $Var(Y) = 30$

Cevap

Dönüştürülmüş değişkenin moment çıkaran fonksiyonu

M_Y(t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

ve varyansı

Var(Y) = 30

olarak hesaplanan seçenektir.

Bağımsız değişkenlerin toplamının moment çıkaran fonksiyonu

M_{X_1+X_2}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^5

olarak bulunur. Bu fonksiyon,

n=5

ve

p=0.6

olan bir Binom dağılımına aittir. Bu toplamın varyansı

5 \times 0.6 \times 0.4 = 1.2

dir.

Y = 5(X_1+X_2) - 4

doğrusal dönüşümü uygulandığında, MGF kuralı gereği

M_Y(t) = e^{-4t} M_{X_1+X_2}(5t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

elde edilir. Varyans kuralı gereği ise

Var(Y) = 5^2 \times Var(X_1+X_2) = 25 \times 1.2 = 30

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

X_1 + X_2

toplamının moment çıkaran fonksiyonunu hesaplama.

M_{X_1+X_2}(t) = M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t) = (0.4 + 0.6 e^t)^3 \cdot (0.4 + 0.6 e^t)^2 = (0.4 + 0.6 e^t)^5

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının MGF'si, bireysel MGF'lerin çarpımına eşittir.

2

X_1 + X_2

değişkeninin dağılımını belirleme.

X_1 + X_2 \sim \text{Binom}(n=5, p=0.6)

MGF'nin benzersizliği (uniqueness) teoremine göre, elde edilen MGF Binom dağılımının standart formuna, yani

(q + pe^t)^n

ifadesine uymaktadır.

3

X_1 + X_2

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(X_1+X_2) = n \cdot p \cdot (1-p) = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 1.2

Binom dağılımının temel parametrik varyans formülü uygulanmıştır.

4

Y = 5(X_1 + X_2) - 4

için MGF kuralını uygulama.

M_Y(t) = e^{-4t} M_{X_1+X_2}(5t) = e^{-4t} (0.4 + 0.6 e^{5t})^5

Doğrusal dönüşüm kuralına göre

Y = aX + b

için moment çıkaran fonksiyon

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

olmalıdır.

5

Y

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(Y) = 5^2 \cdot Var(X_1+X_2) = 25 \cdot 1.2 = 30

Varyansın doğrusal dönüşüm özelliği olan

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

eşitliği kullanılmıştır, sabit terimlerin varyansa etkisi yoktur.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Bağımsız Değişken Toplamları ve Doğrusal Dönüşümler

Tahmini Süre:2m 0s

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar