Examkin

Örnekleme Teorisi

108 soru

Soru 101Soru →

Bir il sağlık müdürlüğünün kalite kontrol birimi, son altı ayda hastanelerden taburcu edilen N=2.400N = 2.400 hastaya ait epikriz raporlarını incelemek amacıyla sistematik örnekleme yöntemiyle n=80n = 80 raporluk bir örneklem çekecektir. Örneklem seçimi için bir kk örneklem (atlama) aralığı hesaplanacak ve ilk rapor, belirli bir kurala göre seçilen aa başlangıç noktası ile belirlenecektir.

Buna göre, bu sistematik örneklem seçimi süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem aralığı k=30k = 30 olarak hesaplanır ve 1≤a≤301 \le a \le 30 aralığından rastgele bir aa değeri seçilir. Eğer a=14a = 14 seçilirse, örnekleme alınacak 5. rapor 134. sıradaki rapordur.

Cevap

Doğru seçenek, örneklem aralığının 30 hesaplandığı, başlangıç noktasının 1 ile 30 arasında rastgele seçildiği ve a=14 durumunda 5. raporun 134. sırada olduğunu belirten ifadedir.
Sistematik örneklemede örneklem aralığı k=Nnk = \frac{N}{n} formülü ile hesaplanır. N=2400N = 2400 ve n=80n = 80 verildiğine göre k=240080=30k = \frac{2400}{80} = 30'dur. Sistematik örneklemenin teorisine göre başlangıç noktası aa, 1≤a≤k1 \le a \le k aralığından rastgele seçilmelidir. Eğer bu sayı a=14a = 14 olarak belirlenirse, örnekleme girecek ardışık elemanlar 14,14+30,14+60,…14, 14+30, 14+60, \dots şeklinde ilerler. Örnekleme dahil edilecek j.j. birim yj=a+(j−1)ky_j = a + (j - 1)k formülü ile bulunur. Buna göre 5. birim y5=14+(5−1)×30=14+120=134.y_5 = 14 + (5 - 1) \times 30 = 14 + 120 = 134. sıradaki rapor olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem aralığını (kk) hesaplama
k=Nn=240080=30k = \frac{N}{n} = \frac{2400}{80} = 30
Sistematik örneklemede kitle hacmi örneklem hacmine bölünerek atlama aralığı bulunur.
2
Geçerli başlangıç noktası (aa) aralığını belirleme
1≤a≤301 \le a \le 30 aralığından rastgele bir sayı seçilmelidir.
Olasılıklı örneklemeyi garanti altına almak için ilk eleman 1 ile k (dahil) arasından şansa bağlı belirlenmelidir.
3
Belirlenen a=14a = 14 için 5. raporun (j=5j = 5) sıra numarasını hesaplama
y5=a+(5−1)×k=14+4×30=14+120=134y_5 = a + (5 - 1) \times k = 14 + 4 \times 30 = 14 + 120 = 134
Örnekleme giren j.j. elemanın formülü yj=a+(j−1)ky_j = a + (j - 1)k'dir.

Anahtar Kavram

Sistematik örneklemede örneklem aralığı hesabı, başlangıç noktasının rastgele seçimi ve j.j. birim sıra numarasının (a+(j−1)ka + (j-1)k) formüle edilmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 102Soru →

Bir eğitim araştırma enstitüsü, bir ildeki N=1000N = 1000 farklı ortaöğretim kurumunun kütüphanelerindeki ortalama kitap sayısını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, iadeesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=360n = 360 okul seçilmiştir. Kütüphanelerdeki kitap sayılarına ilişkin kitle varyansının S2=9000S^2 = 9000 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, yapılan örneklemeye ve örneklem ortalamasının dağılımına ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İadeesiz seçim yapıldığından sonlu kitle düzeltme faktörü uygulanır ve örneklem ortalamasının standart hatası 44 olarak hesaplanır.

Cevap

İadeesiz seçim yapıldığından sonlu kitle düzeltme faktörü uygulanır ve örneklem ortalamasının standart hatası 4 olarak hesaplanır.
Verilen problemde n/N=360/1000=0.36n/N = 360/1000 = 0.36 olup örnekleme oranı %5\%5 sınırını açıkça geçmektedir. İadeesiz seçim yapıldığı için Sonlu Kitle Düzeltme Faktörü olan (1−f)(1-f) çarpanı kullanılmalıdır. Örneklem ortalamasının varyansı 0.64×(9000/360)=160.64 \times (9000/360) = 16 olarak bulunur. Standart hata ise bu değerin karekökü alınarak 16=4\sqrt{16} = 4 şeklinde doğru olarak hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnekleme oranının (ff) hesaplanması ve SKDF (Sonlu Kitle Düzeltme Faktörü) gerekliliğinin kontrolü.
f=nN=3601000=0.36f = \frac{n}{N} = \frac{360}{1000} = 0.36. Oran %5\%5'ten (0.050.05) büyük olduğu için SKDF kullanılması zorunludur.
Kitle sonlu olduğunda ve örneklem kitleye oranla yeterince büyük seçildiğinde, iadeesiz seçim varyansın olduğundan fazla tahmin edilmesine yol açar; bunu düzeltmek gerekir.
2
Örneklem ortalamasının varyansının (V(xˉ)V(\bar{x})) SKDF formülü ile hesaplanması.
V(xˉ)=(1−nN)×S2n=(1−0.36)×9000360=0.64×25=16V(\bar{x}) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \times \frac{S^2}{n} = (1 - 0.36) \times \frac{9000}{360} = 0.64 \times 25 = 16
İadeesiz basit rastgele örneklemede ortalamanın varyansı, kitle varyansının örneklem hacmine bölümünün (1−f)(1-f) düzeltme faktörü ile çarpılmasıyla bulunur.
3
Örneklem ortalamasının standart hatasının (SxˉS_{\bar{x}}) bulunması.
Sxˉ=V(xˉ)=16=4S_{\bar{x}} = \sqrt{V(\bar{x})} = \sqrt{16} = 4
Standart hata, örneklem ortalamasının varyansının kareköküdür ve kitle ortalamasına yönelik tahminin şansa bağlı standart sapmasını gösterir.

Anahtar Kavram

Basit Rastgele Örneklemede Sonlu Kitle Düzeltme Faktörü (SKDF) ve Standart Hata
Soru 103Soru →

Bir Bölge Gümrük Müdürlüğü, son bir yıl içinde işlem gören toplam N=2500N = 2500 adet transit ticaret beyannamesi arasından, usule ilişkin eksiklik veya hata içerenlerin oranını tahmin etmek amacıyla bir örneklem araştırması planlamaktadır.

Örneklem hacmi belirlenirken beyannamelerdeki hata oranına ilişkin önceden herhangi bir bilgi bulunmadığı varsayılacaktır.

Buna göre, %95 güven düzeyi (Z=2Z = 2 alınacaktır) ve %4 (d=0,04d = 0,04) hata payı ile tahmin yapabilmek için çekilmesi gereken minimum örneklem hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 500

Cevap

Çekilmesi gereken minimum örneklem hacmi 500'dür.
Araştırmada p oranına ilişkin önsel bilgi olmadığından varyansı maksimize eden p=0,5p = 0,5 (en kötü durum) senaryosu kullanılır. Formül üzerinden hesaplanan ilk örneklem hacmi 625'tir. Ancak 625 beyanname, toplam 2500 beyannamenin %25'ine denk gelir. Bu oran %5 barajından çok yüksek olduğu için sonlu kitle düzeltme faktörü (FPCF) kullanılarak kitle büyüklüğü dikkate alınmalıdır. Düzeltme işlemi sonucunda nihai hedef örneklem hacmi 500 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gerekli formül parametrelerinin belirlenmesi.
Kitle hacmi N=2500N = 2500, Güven düzeyi için Z=2Z = 2, Hata payı d=0,04d = 0,04. Önsel bilgi bulunmadığından p=0,5p = 0,5 ve q=0,5q = 0,5 alınır.
Örneklem hacmi formülünde kullanılması gereken verilerin standart değerlere göre çıkarılması.
2
Sonsuz kitle varsayımı ile başlangıç örneklem hacminin (n0n_0) hesaplanması.
n0=Z2⋅p⋅qd2=22⋅0,5⋅0,5(0,04)2=4⋅0,250,0016=10,0016=625n_0 = \frac{Z^2 \cdot p \cdot q}{d^2} = \frac{2^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{(0,04)^2} = \frac{4 \cdot 0,25}{0,0016} = \frac{1}{0,0016} = 625
Sonlu kitle düzeltmesine ihtiyaç olup olmadığını belirlemek ve temel hacmi bulmak.
3
Örnekleme oranının test edilmesi ve sonlu kitle düzeltme faktörünün (FPCF) uygulanması.
n0N=6252500=0,25>0,05\frac{n_0}{N} = \frac{625}{2500} = 0,25 > 0,05 olduğundan düzeltme şarttır. Düzeltilmiş örneklem hacmi: n=n01+n0N=6251+0,25=6251,25=500n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0}{N}} = \frac{625}{1 + 0,25} = \frac{625}{1,25} = 500
Çekilecek örneklem, toplam kitle hacminin %5'inden daha büyük bir yer tuttuğu için varyansın gereğinden fazla (aşırı) tahmin edilmesini engellemek amacıyla formül kitle büyüklüğüne göre düzeltilmelidir.

Anahtar Kavram

Örneklem Hacmi Belirleme ve Sonlu Kitle Düzeltme Faktörü (FPCF)

Alternatif Yöntem

Sonlu kitle düzeltmesi için alternatif olan n=N⋅n0N+n0−1n = \frac{N \cdot n_0}{N + n_0 - 1} formülü ile n=2500⋅6252500+625−1=15625003124≈500,16n = \frac{2500 \cdot 625}{2500 + 625 - 1} = \frac{1562500}{3124} \approx 500,16 bulunur. Sonuç tama yuvarlandığında veya uygulamada yaygın kullanılan pratik N+n0N+n_0 paydası tercih edildiğinde kesin olarak 500 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 104Soru →

Bir uluslararası taşımacılık şirketi, yılın ilk yarısında işleme alınan N=10.500N = 10.500 adet gümrük beyannamesinin mevzuata uygunluğunu denetlemek amacıyla sistematik örnekleme yöntemiyle n=150n = 150 beyannameden oluşan bir örneklem oluşturacaktır.

Buna göre, bu araştırmanın örneklem seçim süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğru bir uygulamadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem aralığı k=70k = 70 olarak hesaplanır, başlangıç noktası rastgele a=48a = 48 seçilir ve örnekleme dâhil edilecek 6. beyannamenin sıra numarası 398 olur.

Cevap

İstatistiksel olarak doğru olan uygulama, örneklem aralığının k=70k = 70 olarak hesaplanması, başlangıç noktasının [1,70][1, 70] aralığından uygun bir değer (a=48a = 48) seçilmesi ve örnekleme alınacak 6. beyannamenin sıra numarasının formüle uygun şekilde 398398 olarak bulunmasıdır.
Doğru uygulamada, evren hacmi N=10.500N = 10.500 ve örneklem hacmi n=150n = 150 verildiği için öncelikle örneklem aralığı k=10500150=70k = \frac{10500}{150} = 70 olarak hesaplanır. Sistematik örnekleme kuralı gereği, başlangıç noktası (aa) rastgele olarak 1≤a≤k1 \le a \le k aralığından seçilmelidir. Önerilen a=48a = 48 değeri bu aralıkta olduğu için istatistiksel açıdan uygundur. Daha sonra örnekleme dâhil edilecek ii. birimin sıra numarası, a+(i−1)ka + (i-1)k formülü ile bulunur. Buna göre 6. beyannamenin listedeki sırası: 48+(6−1)×70=48+350=39848 + (6-1) \times 70 = 48 + 350 = 398 numaralı birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem aralığını (kk) hesapla.
k=Nn=10500150=70k = \frac{N}{n} = \frac{10500}{150} = 70
Sistematik örneklemede kitle hacmi (NN) örneklem hacmine (nn) bölünerek elemanlar arası atlama mesafesi bulunur.
2
Geçerli başlangıç noktası (aa) kuralını uygula.
1≤a≤701 \le a \le 70 şartı sağlanmalıdır. Seçilen a=48a = 48 kurala uygundur.
İlk birim, ilk kk eleman arasından rastgele seçilmek zorundadır. kk'dan büyük bir aa değeri seçmek, kitlenin başındaki birimlerin örnekleme girme şansını yok eder.
3
Örnekleme girecek ii. birimin (i=6i=6) sıra numarasını hesapla.
6. birim=a+(i−1)k=48+(6−1)×70=48+350=3986.\text{ birim} = a + (i-1)k = 48 + (6-1) \times 70 = 48 + 350 = 398
Sistematik örneklemede ilk eleman aa, ikinci eleman a+ka+k, üçüncü eleman a+2ka+2k olarak devam ettiği için, aranan sıra numarası a+(i−1)ka + (i-1)k genellemesi ile bulunur.

Anahtar Kavram

Sistematik Örneklemede Başlangıç Noktası Kısıtlamaları ve Birim İndeksi Hesaplama
Soru 105Soru →

Bir Orman Bölge Müdürlüğü, sorumluluk alanındaki belirli bir ormanlık araziyi eşit büyüklükte N=800N = 800 parsele bölmüştür. Bu parsellerdeki ortalama meşe ağacı sayısını tahmin etmek amacıyla n=200n = 200 parsel iadeesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilmiş ve elde edilen verilere göre örneklem varyansı s2=2400s^2 = 2400 olarak hesaplanmıştır.

İadeesiz seçim yapıldığı dikkate alındığında, kitle ortalaması tahmin edicisinin (örneklem ortalamasının) standart hatası aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Örneklem ortalamasının standart hatası 33 olarak hesaplanır.
İadeesiz basit rastgele örneklemede, örneklem hacmi kitle hacminin %5'inden büyükse (200/800=0.25>0.05200/800 = 0.25 > 0.05), varyans hesabına sonlu kitle düzeltme faktörü (SKDF) dahil edilmelidir. SKDF değeri (1−nN)=(1−200800)=0.75(1 - \frac{n}{N}) = (1 - \frac{200}{800}) = 0.75'tir. Örneklem ortalamasının varyansı V(yˉ)=SKDF×s2nV(\bar{y}) = SKDF \times \frac{s^2}{n} formülüyle 0.75×2400200=0.75×12=90.75 \times \frac{2400}{200} = 0.75 \times 12 = 9 olarak bulunur. Soruda istenen standart hata, varyansın karekökü olduğundan 9=3\sqrt{9} = 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranının (ff) hesaplanması ve kontrol edilmesi.
f=nN=200800=0.25f = \frac{n}{N} = \frac{200}{800} = 0.25
Örneklem oranının %5 (0.050.05) sınırını aşıp aşmadığını tespit ederek sonlu kitle düzeltme faktörünün gerekip gerekmediğine karar vermek.
2
Sonlu kitle düzeltme faktörünün (SKDF) hesaplanması.
SKDF=1−f=1−0.25=0.75SKDF = 1 - f = 1 - 0.25 = 0.75
İadeesiz seçim yapıldığından ve örneklem oranı %5'ten büyük olduğundan, varyans formülünde kitleyi temsil eden bu düzeltme katsayısı kullanılmalıdır.
3
Örneklem ortalamasının varyansının (V(yˉ)V(\bar{y})) hesaplanması.
V(yˉ)=(1−f)⋅s2n=0.75⋅2400200=0.75⋅12=9V(\bar{y}) = (1 - f) \cdot \frac{s^2}{n} = 0.75 \cdot \frac{2400}{200} = 0.75 \cdot 12 = 9
Kitle varyansı yerine örneklem varyansı kullanılarak ortalamanın varyansı tahmin edilir.
4
Örneklem ortalamasının standart hatasının (SE(yˉ)SE(\bar{y})) bulunması.
SE(yˉ)=V(yˉ)=9=3SE(\bar{y}) = \sqrt{V(\bar{y})} = \sqrt{9} = 3
Standart hata tanım gereği varyansın pozitif kareköküdür.

Anahtar Kavram

İadeesiz basit rastgele örneklemede ortalamanın standart hatası ve sonlu kitle düzeltme faktörü (SKDF).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 106Soru →

Bir ziraat mühendisi, yeni geliştirilen bir domates türünün ortalama ağırlığını tahmin etmek amacıyla tarladan rastgele seçtiği 250250 adet domatesi tartmıştır. Ancak veri analizi aşamasında, kullanılan dijital terazinin dara ayarının yapılmadığı ve her bir domatesi gerçek ağırlığından 10 gram10\text{ gram} daha ağır ölçtüğü tespit edilmiştir.

Bu çalışmada karşılaşılan hata türü ve özellikleri ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tartım aracından kaynaklanan bu durum sistematik bir örnekleme dışı hatadır ve örneklem hacmi büyütülerek ortadan kaldırılamaz.

Cevap

Doğru cevap, tartım aracından kaynaklanan bu durumun sistematik bir örnekleme dışı hata olduğunu ve örneklem hacmi büyütülerek ortadan kaldırılamayacağını ifade eden seçenektir.
Araştırmada kullanılan dijital terazinin dara ayarının unutulması, tüm gözlemlerin 10 gram10\text{ gram} fazla ölçülmesine yol açmıştır. Bu durum, veri toplanması aşamasında ortaya çıkan klasik bir ölçüm hatasıdır ve 'örnekleme dışı hatalar' sınıfına girer. Örnekleme dışı hataların (özellikle ölçüm aracı kaynaklı sistematik olanların) en önemli özelliği, örneklem hacmi (nn) ne kadar büyütülürse büyütülsün bu hataların azalmaması ve tahmin edicinin beklenen değerini gerçek parametreden uzaklaştırarak yansızlığı bozmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda tanımlanan hatanın kaynağını ve doğasını belirleme.
Hata, kullanılan dijital terazinin dara ayarının yapılmamış olması sebebiyle her birimi gerçekte olduğundan 10 gram fazla ölçmesinden kaynaklanmaktadır.
Olayı istatistiksel terminolojiye çevirmek için verinin nasıl üretildiğini ve bozulduğunu analiz etmek gerekir.
2
Hatanın istatistiksel türünü (örnekleme hatası mı, örnekleme dışı hata mı) sınıflandırma.
Veri toplama, ölçüm, kayıt veya çerçeve eksikliklerinden doğan hatalar 'örnekleme dışı hata'dır. Bu olay spesifik olarak bir 'ölçüm (gözlem) hatası'dır.
Örnekleme hatası, tamsayım yapılmaması nedeniyle oluşan doğal varyans iken; ölçüm araçlarındaki hatalar örneklem seçiminden bağımsızdır.
3
Sistematik örnekleme dışı hataların örneklem hacmiyle ilişkisini değerlendirme.
Örneklem hacminin (nn) artırılması yalnızca şansa bağlı örnekleme hatasını (varyansı) azaltır. Ölçüm cihazındaki bozukluktan kaynaklanan sistematik sapmalar (yanlılık), nn artsa da veya tam sayım yapılsa da değişmez.
Yanlı bir tahmin edicinin yanlılık miktarı gözlem sayısına bağlı olarak ortadan kalkmaz, hata her yeni gözlemle birlikte kümülatif olarak ortalamaya yansımaya devam eder.

Anahtar Kavram

Örnekleme Dışı Hata ve Ölçüm Hataları
Soru 107Soru →

Bir işçi sendikası, ülke genelinde "imalat sektöründe çalışan asgari ücretli işçilerin" haftalık ortalama fazla mesai sürelerini tahmin etmek amacıyla bir araştırma planlamaktadır. Sendika, bu amaca yönelik olarak sadece ülkenin en yüksek üretim kapasitesine sahip 55 büyük imalat fabrikasının insan kaynakları departmanlarından güncel işçi kayıtlarını temin etmiş ve bu kayıtları listeleyerek basit rastgele örnekleme yöntemiyle 800800 işçi seçmiştir. Araştırma sonucunda, seçilen işçilerin haftalık ortalama 6,56,5 saat fazla mesai yaptığı hesaplanmıştır.

Bu araştırmanın temel kavramları ve barındırabileceği hata türleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Temin edilen 55 büyük fabrikaya ait işçi listesi araştırmanın örnekleme çerçevesini oluşturur ve bu listenin daha küçük işletmeleri dışarıda bırakması, örneklem hacminin büyütülmesiyle giderilemeyecek bir kapsama hatasına neden olur.

Cevap

Temin edilen 5 büyük fabrikaya ait işçi listesinin araştırmanın örnekleme çerçevesini oluşturması ve dışarıda kalan işletmelerin örneklem hacmi büyütülse dahi kapsama hatası yaratmaya devam etmesi.
Doğru yanıt olan ifadede açıkça belirtildiği üzere, araştırmanın üzerinden yürütüleceği fiziksel ya da sayısal listeye 'örnekleme çerçevesi' adı verilir. Çerçevenin hedef kitleyi tam olarak kapsamaması durumunda ortaya çıkan sapmaya 'kapsama hatası' (coverage error) denir. Kapsama hatası bir örnekleme dışı hata türüdür ve bu tür yapısal/sistematik hatalar, eksik liste üzerinden seçilen örneklem hacmi ne kadar büyütülürse büyütülsün giderilemez.

Adım Adım Çözüm

1
Araştırmanın hedef kitlesini ve örnekleme çerçevesini tanımla.
Hedef Kitle: Tüm imalat sektöründeki asgari ücretli işçiler. Örnekleme Çerçevesi: 55 büyük imalat fabrikasındaki işçilerin listesi.
Kavramsal uyumsuzlukları saptamak için ilk olarak teorik kitle ile pratik liste karşılaştırılmalıdır.
2
Hedef kitle ile çerçevenin örtüşmeme durumunu analiz et.
Çerçeve, küçük ve orta ölçekli işletmelerdeki (KOBİ) işçileri içermediği için hedef kitleyi tam yansıtmamaktadır. Bu durum istatistik literatüründe 'kapsama hatası' (coverage error) olarak adlandırılır.
Hata türünün (örnekleme hatası mı yoksa örnekleme dışı hata mı) belirlenmesi gerekir.
3
Kapsama hatasının örneklem hacmiyle (nn) olan ilişkisini değerlendir.
Kapsama hatası sistematik bir örnekleme dışı hata türüdür. Sadece seçilmiş ve eksik listeden ne kadar çok kişi örnekleme çekilirse çekilsin (nn artırılsa dahi), dışarıda bırakılan kitlenin özellikleri hiçbir zaman yakalanamayacağından bu hata ortadan kalkmaz.
Örneklem hacminin büyütülmesinin sadece şansa bağlı varyansı (örnekleme hatasını) düşürdüğünü, sistematik yanlılığı düzeltmediğini kanıtlamak için.
4
Elde edilen 6,56,5 değerinin istatistiksel tanımını yap.
6,56,5 saatlik değer, kitlenin tamamından değil örneklemden (seçilen 800800 kişiden) hesaplandığı için bir kitle parametresi değil, 'örneklem istatistiği'dir.
Seçeneklerdeki parametre/istatistik kavram yanılgılarını elemek için.

Anahtar Kavram

Örnekleme çerçevesi ve kapsama hatası kavramları, örnekleme hataları ile örnekleme dışı hataların ayrımı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 108Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, şehirdeki ticari işletmelerin aylık geri dönüştürülebilir atık miktarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Şehirdeki toplam 20002000 ticari işletme, büyüklüklerine göre 'Küçük', 'Orta' ve 'Büyük' olmak üzere üç tabakaya ayrılmıştır.

Tabakalara ilişkin işletme sayıları ve bir önceki yıl yapılan pilot çalışmadan elde edilen aylık atık miktarlarına ait standart sapma değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabakaİşletme Sayısı (NhN_h)Standart Sapma (ShS_h)
Küçük120010 kg
Orta60020 kg
Büyük20030 kg

Örnekleme sürecinde toplam 300300 işletmeden oluşan bir örneklem seçilecektir.

Buna göre, tahmin edicinin varyansını minimum yapmak amacıyla Neyman dağıtım yöntemi uygulandığında, 'Büyük' ölçekli işletmeler tabakasından seçilmesi gereken örneklem hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Büyük tabakasından seçilmesi gereken örneklem hacmi 60'tır.
Neyman dağıtımı yönteminde, tabakalardan alınacak örneklem hacimleri nh=nNhSh∑NhShn_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h} formülü kullanılarak hesaplanır. Soru verilerinden her tabaka için NhShN_h S_h çarpımları bulunduğunda; Küçük tabaka için 1200×10=120001200 \times 10 = 12000, Orta tabaka için 600×20=12000600 \times 20 = 12000 ve Büyük tabaka için 200×30=6000200 \times 30 = 6000 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı ∑NhSh=30000\sum N_h S_h = 30000 olur. Soruda toplam örneklem hacmi n=300n = 300 olarak verilmiştir. Büyük tabakadan seçilecek örneklem hacmi (n3n_3) formülde yerine konulduğunda 300×600030000=60300 \times \frac{6000}{30000} = 60 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir tabaka için tabaka büyüklüğü (NhN_h) ile standart sapma (ShS_h) değerlerinin çarpımını hesaplayınız.
Küçük: 1200 * 10 = 12000, Orta: 600 * 20 = 12000, Büyük: 200 * 30 = 6000
Neyman dağıtımı formülünde pay ve paydadaki terimleri bulmak için her tabakanın varyans etkisini belirlemek gerekir.
2
Hesaplanan çarpım değerlerini toplayarak dağıtım formülünün paydasını (∑NhSh\sum N_h S_h) bulunuz.
12000 + 12000 + 6000 = 30000
Toplam örneklemin tabakalara dağıtılmasında kullanılacak oransal tabanı hesaplamak için formülün paydası gereklidir.
3
Büyük tabaka için elde edilen değeri toplam değere bölüp, toplam örneklem hacmi (n=300n=300) ile çarparak hedef örneklem hacmini (n3n_3) hesaplayınız.
n_3 = 300 * (6000 / 30000) = 300 * 0.2 = 60
Varyansı minimize eden Neyman dağıtımı kuralına göre nihai örneklem hacmini bulmak için.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı (Optimum Dağıtım)
ÖncekiSayfa 6 / 6
Örnekleme Teorisi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6 | Examkin