Karar ve Oyun Teorisi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir yenilenebilir enerji kooperatifi, kuracağı yeni rüzgâr santralinin getirisini bölgedeki meteorolojik verilere dayanarak iki farklı senaryo altında modellemiştir.

Yapılan analizlere göre santralin yıllık geliri;
- Yüksek rüzgâr verimi senaryosunda $\%25$ olasılıkla $256$ milyon TL,
- Düşük rüzgâr verimi senaryosunda ise $\%75$ olasılıkla $16$ milyon TL olacaktır.

Kooperatif yönetiminin parasal tutarlara ( $x$ , milyon TL) ilişkin fayda fonksiyonu $U(x) = \log_2(x)$ olarak belirlenmiştir. Ulusal bir enerji dağıtım şirketi, bu santralin tüm işletim haklarını devralmak ve riskleri üstlenmek için kooperatife her yıl sabit bir garanti ödeme yapmayı teklif etmektedir.

Buna göre, kooperatif yönetiminin bu teklifi kabul etmesi için dağıtım şirketinin önermesi gereken minimum sabit ödeme tutarı (kesinlik eşdeğeri) ve kooperatifin bu belirsizlik karşısında katlandığı risk primi sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

128

milyon TL ve

68

milyon TL

64

milyon TL ve

72

milyon TL

32

milyon TL ve

44

milyon TL

32

milyon TL ve

224

milyon TL

5

milyon TL ve

71

milyon TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $32$ milyon TL ve $44$ milyon TL

Cevap

Kooperatifin teklifi kabul etmesi için gereken minimum sabit ödeme (kesinlik eşdeğeri) 32 milyon TL ve katlanılan risk primi 44 milyon TL'dir.

Beklenen fayda

E[U(X)] = 0.25 \times \log_2(256) + 0.75 \times \log_2(16) = 2 + 3 = 5

olarak bulunur ve buradan kesinlik eşdeğeri

\log_2(CE) = 5

denkleminden

32

milyon TL olarak elde edilir. Sistemin Beklenen Parasal Değeri (EMV)

0.25 \times 256 + 0.75 \times 16 = 76

milyon TL'dir. Risk primi, EMV ile kesinlik eşdeğeri arasındaki fark olduğundan

76 - 32 = 44

milyon TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir senaryonun fayda değerini hesaplayarak beklenen faydayı (Expected Utility) bul.

U(256) = \log_2(256) = 8

ve

U(16) = \log_2(16) = 4

. Beklenen Fayda:

E[U(X)] = 0.25 \times 8 + 0.75 \times 4 = 2 + 3 = 5

.

Kesinlik eşdeğerini bulmak için öncelikle belirsizlik altındaki durumun beklenen faydasının hesaplanması gerekir.

2

Beklenen fayda değerini fayda fonksiyonuna eşitleyerek kesinlik eşdeğerini (CE) bul.

U(CE) = 5 \implies \log_2(CE) = 5 \implies CE = 2^5 = 32

milyon TL.

Kesinlik eşdeğeri, karar vericiye beklenen fayda ile aynı düzeyde fayda sağlayan kesin parasal tutardır. Dağıtım şirketinin önermesi gereken minimum tutar budur.

3

Senaryoların Beklenen Parasal Değerini (EMV) hesapla.

EMV = 0.25 \times 256 + 0.75 \times 16 = 64 + 12 = 76

milyon TL.

Risk primini hesaplayabilmek için yatırımın matematiksel getiri beklentisine (EMV) ihtiyaç vardır.

4

Beklenen parasal değerden kesinlik eşdeğerini çıkararak risk primini (RP) hesapla.

RP = EMV - CE = 76 - 32 = 44

milyon TL.

Risk primi, karar vericinin riski üstlenmekten kaçınmak için beklenen parasal değerden vazgeçmeye razı olduğu tutardır.

Anahtar Kavram

Fayda Teorisi ve Risk Primi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 62Soru →

Bir tedarik zinciri yöneticisi, piyasaya sürülecek yeni bir ürün için üretim kapasitesi belirleyecektir. Pazar araştırması sonucunda talebin 'Düşük', 'Orta' veya 'Yüksek' olabileceği belirlenmiş; ancak yönetici, geçmiş verilere veya öznel yargılara dayanarak bu talep durumlarının gerçekleşme olasılıkları hakkında hiçbir bilgiye sahip olamamıştır. Ayrıca, pazardaki talep dalgalanmalarının, yöneticinin kazancını minimize etmeye çalışan rasyonel ve bilinçli bir rakibin hamleleri olmadığı, tamamen doğal pazar dinamiklerinden kaynaklandığı varsayılmaktadır.

Bu karar verme ortamı ve kullanılabilecek analiz yöntemleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bu karar problemi bir 'Belirsizlik' ortamıdır. Karar verici, her bir talep durumu (doğa durumu) için ulaşılabilecek en yüksek getiri değerinden diğer getirileri çıkararak pişmanlık matrisini oluşturabilir ve maksimum pişmanlıkları minimize eden Savage ölçütünü uygulayabilir.

Ortamdaki belirsizlik nedeniyle yönetici, her bir üretim seviyesi için kazanç matrisinden fırsat kaybı matrisini oluşturduktan sonra, tüm alternatiflerin Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerlerini hesaplayarak en küçük değerli stratejiyi seçmelidir.

Karar verici, pazar talebinin kendi kazancını doğrudan sınırlayan bir faktör olmasından dolayı problemi 'Çatışma (Oyun Teorisi)' ortamı olarak modellemeli ve çözüm için matriste eyer noktası (saddle point) aramalıdır.

Karar verici analizde Hurwicz ölçütünü tercih ederse, belirleyeceği iyimserlik katsayısını (

\alpha

) her üretim alternatifinin en kötü sonucuna, kötümserlik katsayısını (

1-\alpha

) ise en iyi sonucuna çarparak bir ağırlıklı ortalama bulmalıdır.

Doğa durumları (talep seviyeleri) birden fazla alternatife ayrıldığı için bu bir 'Risk' ortamıdır ve problem, şans düğümlerine eşit rastgele olasılıklar atanarak karar ağacı analizi ile geriye doğru çözülmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu karar problemi bir 'Belirsizlik' ortamıdır. Karar verici, her bir talep durumu (doğa durumu) için ulaşılabilecek en yüksek getiri değerinden diğer getirileri çıkararak pişmanlık matrisini oluşturabilir ve maksimum pişmanlıkları minimize eden Savage ölçütünü uygulayabilir.

Cevap

Problemin bir Belirsizlik ortamı olduğunu ve bu ortamda her bir doğa durumu için en yüksek getiri referans alınarak oluşturulan pişmanlık matrisi üzerinden Savage (Minimax Pişmanlık) ölçütünün kullanılabileceğini belirten ifadedir.

Karar verme sürecinde doğa durumlarının gerçekleşme olasılıkları tamamen bilinmiyorsa ve karşılaştığımız durum akıllı bir rakibin hamlesi değilse, bu kesinlikle bir 'Belirsizlik' ortamıdır. Savage (Minimax Pişmanlık) ölçütü, belirsizlik ortamında kullanılan temel stratejilerden biridir. Bu ölçüt uygulanırken öncelikle her bir doğa durumu (sütun) için en yüksek getiri tespit edilir, ardından o sütundaki diğer tüm getiriler bu en yüksek değerden çıkarılarak bir fırsat kaybı (pişmanlık) matrisi oluşturulur. Son olarak her bir alternatif için maksimum pişmanlık belirlenip bunlar arasından en küçüğü seçilir. Doğru ifadede hem ortam tespiti hem de ölçütün hesaplama algoritması kusursuz şekilde tanımlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar verme ortamının özelliklerini metinden tespit etme.

Olasılıkların bilinmediği ve karşı tarafın rasyonel bir rakip olmadığı belirlenmiştir.

Yöneylem araştırmasında karar ortamı (Belirlilik, Belirsizlik, Risk, Çatışma) eldeki verinin kesinliğine ve rakibin niteliğine göre tanımlanır.

2

Tespit edilen özelliklere göre ortamı sınıflandırma.

Olasılık yok + Rasyonel rakip yok = Belirsizlik Ortamı.

Risk ortamı için olasılıklar, Çatışma ortamı için rasyonel rakip, Belirlilik ortamı için tek ve kesin bir doğa durumu gerekir.

3

Belirsizlik ortamında kullanılabilecek geçerli karar ölçütlerini değerlendirme.

Wald, Hurwicz, Laplace, Maximax ve Savage ölçütleri kullanılabilir. EOL ve Karar Ağaçları kullanılamaz.

Yöntemlerin gereksinimleri ortamın sunduğu verilerle uyuşmalıdır.

4

Seçeneklerdeki yöntem tanımlarının doğruluğunu kontrol etme.

Savage ölçütünün pişmanlık matrisi tanımı doğru verilmişken, Hurwicz ölçütündeki

\alpha

çarpanı kuralı ile EOL'nin olasılık gereksinimi hatalı tanımlanmıştır.

Kavramsal isimlendirme kadar yöntemin uygulanış biçiminin (algoritmasının) doğruluğu da teyit edilmelidir.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamlarının Sınıflandırılması ve Belirsizlik Ölçütleri

Soru 63Soru →

Bir teknoloji şirketi, piyasaya süreceği yeni yapay zeka servisi için üç farklı sunucu altyapısı yatırım alternatifini ( $Y_1, Y_2, Y_3$ ) değerlendirmektedir. Bu servise yönelik pazar talebinin "Düşük ( $D_1$ )", "Orta ( $D_2$ )" veya "Yüksek ( $D_3$ )" olacağı öngörülmektedir.

Pazar araştırmalarına göre bu talep durumlarının gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $0,2$ ; $0,5$ ve $0,3$ olarak tahmin edilmiştir.

Şirketin her bir yatırım alternatifi ve talep durumu kombinasyonu için hesapladığı kâr matrisi (milyon TL cinsinden) aşağıda verilmiştir:

Yatırım \ Durum	$D_1$ (Düşük)	$D_2$ (Orta)	$D_3$ (Yüksek)
$Y_1$	10	25	40
$Y_2$	5	35	60
$Y_3$	-15	20	100

Buna göre, karar vericinin Beklenen Fırsat Kaybı (Beklenen Pişmanlık - EOL) kriterine göre seçeceği yatırım alternatifi ve bu alternatifin Beklenen Fırsat Kaybı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Y_3

alternatifi seçilir ve Beklenen Fırsat Kaybı değeri

12,5

Milyon TL'dir.

Y_3

alternatifi seçilir ve Beklenen Fırsat Kaybı değeri

37

Milyon TL'dir.

Y_2

alternatifi seçilir ve Beklenen Fırsat Kaybı değeri

13

Milyon TL'dir.

Y_1

alternatifi seçilir ve Beklenen Fırsat Kaybı değeri

13,5

Milyon TL'dir.

Y_1

alternatifi seçilir ve Beklenen Fırsat Kaybı değeri

23

Milyon TL'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Y_3$ alternatifi seçilir ve Beklenen Fırsat Kaybı değeri $12,5$ Milyon TL'dir.

Cevap

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) kriterine göre

12,5

Milyon TL değeri ile

Y_3

alternatifi seçilir.

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) kriterini uygulamak için öncelikle kâr matrisinden Fırsat Kaybı Matrisi türetilir. Her sütunun (talep durumu) maksimum değerleri sırasıyla

D_1

için

10

,

D_2

için

35

ve

D_3

için

100

'dür. Her değer kendi sütununun maksimum değerinden çıkarılarak pişmanlıklar elde edilir. Sonrasında bu değerler durum olasılıklarıyla çarpılıp toplandığında her bir alternatifin EOL değeri bulunur:

EOL(Y_1) = 23

,

EOL(Y_2) = 13

ve

EOL(Y_3) = 12,5

Milyon TL. Karar vericinin amacı fırsat kaybını minimize etmek olduğundan, en düşük değere sahip olan

Y_3

alternatifi seçilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kar matrisinin her bir talep durumu (sütun) için maksimum kâr değerini belirle.

D_1

için maksimum

10

,

D_2

için maksimum

35

,

D_3

için maksimum

100

olarak bulunur.

Fırsat kaybı (pişmanlık) matrisini oluşturmak için, her bir doğa durumunda elde edilebilecek en iyi sonuçtan diğer alternatiflerin ne kadar saptığı hesaplanmalıdır.

2

Her sütundaki kâr değerlerini o sütunun maksimum değerinden çıkararak Fırsat Kaybı Matrisini oluştur.

Y_1

için pişmanlıklar:

(10-10)=0

,

(35-25)=10

,

(100-40)=60

.

Y_2

için pişmanlıklar:

(10-5)=5

,

(35-35)=0

,

(100-60)=40

.

Y_3

için pişmanlıklar:

(10-(-15))=25

,

(35-20)=15

,

(100-100)=0

.

Herhangi bir durum gerçekleştiğinde seçilmiş olan alternatifin getirdiği kâr ile o durumda seçilebilecek en iyi alternatifin kârı arasındaki fark fırsat kaybını verir.

3

Her alternatif için hesaplanan fırsat kayıplarını ilgili durumun gerçekleşme olasılığı ile çarparak Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerlerini hesapla.

EOL(Y_1) = 0(0,2) + 10(0,5) + 60(0,3) = 0 + 5 + 18 = 23

.

EOL(Y_2) = 5(0,2) + 0(0,5) + 40(0,3) = 1 + 0 + 12 = 13

.

EOL(Y_3) = 25(0,2) + 15(0,5) + 0(0,3) = 5 + 7,5 + 0 = 12,5

.

Bir alternatifin ortalama pişmanlık riskini (Beklenen Fırsat Kaybı) ölçmek için matematiksel beklenen değer hesabı uygulanır.

4

Hesaplanan EOL değerleri arasından en küçük olanı seçerek optimal kararı belirle.

Minimum EOL değeri

12,5

Milyon TL ile

Y_3

alternatifine aittir.

Beklenen Fırsat Kaybı kriterine göre rasyonel amaç, karşılaşılabilecek pişmanlık miktarını (fırsat kaybını) minimize etmektir.

Anahtar Kavram

Risk Altında Karar Verme: Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) Kriteri

Soru 64Soru →

Orman Genel Müdürlüğü, yaklaşan yaz sezonu için orman yangınlarına müdahale kapasitesini planlamak amacıyla helikopter kiralama stratejisini belirleyecektir. Üç farklı strateji ( $S_1, S_2, S_3$ ) ve yaz sezonundaki olası yangın yoğunluğu durumlarına (Düşük, Orta, Yüksek) göre hesaplanan öngörülen toplam maliyet matrisi (kiralama ve olası hasar maliyetleri toplamı, Milyon TL) aşağıda verilmiştir.

Strateji	Düşük Yoğunluk	Orta Yoğunluk	Yüksek Yoğunluk
$S_1$ : Dar Kapsamlı	20	80	150
$S_2$ : Temel Kapsamlı	40	50	90
$S_3$ : Geniş Kapsamlı	70	70	75

Yangın yoğunluğu durumlarının gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $0,30$ , $0,40$ ve $0,30$ olarak tahmin edilmektedir.

Karar verici, optimal stratejiyi belirlemek için Beklenen Fırsat Kaybı (Beklenen Pişmanlık - EOL) ölçütünü kullanacaktır.

Buna göre, her bir stratejiye ait Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerleri ve seçilmesi gereken optimal strateji aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\text{EOL}(S_1) = 34,5 \ ; \ \text{EOL}(S_2) = 10,5 \ ; \ \text{EOL}(S_3) = 23,0 \ \rightarrow \ \text{Optimal Strateji: } S_2

\text{EOL}(S_1) = 15,0 \ ; \ \text{EOL}(S_2) = 39,0 \ ; \ \text{EOL}(S_3) = 26,5 \ \rightarrow \ \text{Optimal Strateji: } S_1

\text{EOL}(S_1) = 83,0 \ ; \ \text{EOL}(S_2) = 59,0 \ ; \ \text{EOL}(S_3) = 71,5 \ \rightarrow \ \text{Optimal Strateji: } S_2

\text{EOL}(S_1) = 63,0 \ ; \ \text{EOL}(S_2) = 19,0 \ ; \ \text{EOL}(S_3) = 1,5 \ \rightarrow \ \text{Optimal Strateji: } S_3

\text{EOL}(S_1) = 34,5 \ ; \ \text{EOL}(S_2) = 10,5 \ ; \ \text{EOL}(S_3) = 23,0 \ \rightarrow \ \text{Optimal Strateji: } S_1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{EOL}(S_1) = 34,5 \ ; \ \text{EOL}(S_2) = 10,5 \ ; \ \text{EOL}(S_3) = 23,0 \ \rightarrow \ \text{Optimal Strateji: } S_2$

Cevap

Her bir strateji için EOL değerleri sırasıyla 34,5, 10,5 ve 23,0 olarak bulunur. Minimum fırsat kaybına sahip olan S_2 stratejisi optimaldir.

Verilen tablo bir maliyet matrisidir. Fırsat kaybı (pişmanlık) matrisi oluşturulurken, maliyet minimize edilmek istendiğinden, her bir sütunun (doğa durumunun) en düşük maliyet değeri baz alınır (Sütun minimumları sırasıyla 20, 50 ve 75). Matristeki değerlerden bu minimumlar çıkarıldığında elde edilen yeni pişmanlık matrisi değerleri ilgili olasılıklarla çarpılarak toplanır.

\text{EOL}(S_1) = 0+12+22,5 = 34,5

;

\text{EOL}(S_2) = 6+0+4,5 = 10,5

ve

\text{EOL}(S_3) = 15+8+0 = 23,0

bulunur. Fırsat kaybı minimize edilmesi gereken bir ölçüt olduğu için en düşük değere sahip olan S2 stratejisi optimal karardır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar probleminin yönünü ve matris yapısını belirlemek.

Matris bir 'toplam maliyet' matrisidir. Bu nedenle her bir doğa durumu (sütun) için en iyi sonuç, o sütundaki en küçük maliyet değeridir.

Fırsat kaybı (pişmanlık) matrisini doğru kurabilmek için kazanç (maksimizasyon) mu yoksa maliyet (minimizasyon) mü çalışıldığı tespit edilmelidir.

2

Sütun (doğa durumu) minimumlarını bulmak.

Düşük yoğunluk için min = 20, Orta yoğunluk için min = 50, Yüksek yoğunluk için min = 75 olarak belirlenir.

Bir karar alıcının yaşayacağı fırsat kaybı, o doğa durumunda elde edebileceği en iyi sonuç ile seçtiği strateji arasındaki farktır.

3

Fırsat kaybı (EOL) matrisini oluşturmak.

S_1

için: (20-20=0), (80-50=30), (150-75=75).

S_2

için: (40-20=20), (50-50=0), (90-75=15).

S_3

için: (70-20=50), (70-50=20), (75-75=0) şeklinde yeni matris elde edilir.

Maliyet matrisinde her değerden, bulunduğu sütunun minimumu çıkarılarak pişmanlık (fırsat kaybı) matrisi elde edilir.

4

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerlerini olasılıklar ile hesaplamak.

\text{EOL}(S_1) = 0(0,3) + 30(0,4) + 75(0,3) = 0 + 12 + 22,5 = 34,5

.

\text{EOL}(S_2) = 20(0,3) + 0(0,4) + 15(0,3) = 6 + 0 + 4,5 = 10,5

.

\text{EOL}(S_3) = 50(0,3) + 20(0,4) + 0(0,3) = 15 + 8 + 0 = 23,0

.

Her bir stratejinin uzun dönem ortalama pişmanlığını bulmak için pişmanlık değerleri gerçekleşme olasılıkları ile çarpılıp toplanır.

5

Optimal kararı seçmek.

Bulunan değerler (34,5, 10,5 ve 23,0) arasından en küçük değere sahip olan

S_2

stratejisi optimal strateji olarak seçilir.

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) ölçütü her zaman minimize edilmeye çalışılır.

Anahtar Kavram

Maliyet matrisleri üzerinden Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) hesaplaması ve minimizasyon yönlü riskli karar verme

Soru 65Soru →

Bir enerji üretim şirketi, rüzgâr türbinlerinin bakım stratejisini belirlemek için karar analizi yapmaktadır. Şirket, yaklaşan yoğun rüzgâr sezonundaki rüzgâr şiddeti senaryolarına (Normal, Şiddetli, Fırtına) göre üç farklı bakım sözleşmesi alternatifini ( $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ ) değerlendirmektedir. Karar tablosunda verilen değerler, alternatiflerin olası durumlarda şirkete getireceği maliyetleri (bin TL cinsinden) göstermektedir.

Bakım Alternatifi	Normal Rüzgâr ( $S_1$ )	Şiddetli Rüzgâr ( $S_2$ )	Fırtına ( $S_3$ )
$A_1$ (Kapsamlı)	120	80	60
$A_2$ (Standart)	90	90	90
$A_3$ (Minimum)	60	110	130

Rüzgâr durumlarının gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $P(S_1) = 0,40$ , $P(S_2) = 0,40$ ve $P(S_3) = 0,20$ olarak tahmin edilmektedir.

Buna göre, şirket yönetiminin rüzgâr şiddetini önceden kesin olarak tahmin edebilen bir meteorolojik erken uyarı sistemi için ödemeye razı olacağı en yüksek tutar (Tam Bilginin Beklenen Değeri - EVPI) kaç bin TL'dir?

90

68

22

24

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Doğru cevap 22'dir. Tam bilginin beklenen değeri, risk altındaki minimum maliyet ile tam bilgi altındaki maliyetin farkıdır.

Verilen problem bir maliyet matrisi olduğundan öncelikle risk altında beklenen minimum maliyet (Min EMV) bulunmalıdır.

A_2

alternatifinin beklenen maliyeti olan 90 bin TL mevcut en iyi (minimum) karardır. Kesin bir uyarı sistemi kullanılması durumunda ise şirket her rüzgâr durumu için ilgili sütundaki en düşük maliyetli seçimi yapacaktır (

S_1

'de 60,

S_2

'de 80,

S_3

'te 60). Bu durumda beklenen maliyet (EVwPI) 68 bin TL'ye düşer. Sistemin şirkete sağlayacağı fayda (tasarruf)

90 - 68 = 22

bin TL olur.

Adım Adım Çözüm

1

Risk Altında Beklenen Parasal Değerlerin (EMV) hesaplanması ve maliyet fonksiyonu gereği en küçük değerin (Min EMV) seçilmesi.

EMV(A_1) = 0,4(120) + 0,4(80) + 0,2(60) = 48 + 32 + 12 = 92

EMV(A_2) = 0,4(90) + 0,4(90) + 0,2(90) = 36 + 36 + 18 = 90

EMV(A_3) = 0,4(60) + 0,4(110) + 0,2(130) = 24 + 44 + 26 = 94

Min

EMV = 90

(

A_2

alternatifi).

Maliyet minimizasyon problemi olduğundan, her alternatifin beklenen değeri hesaplanıp en küçük maliyete sahip alternatif belirlenmelidir.

2

Tam Bilgi Altında Beklenen Değerin (EVwPI) hesaplanması.

S_1

'de minimum maliyet

A_3

'te (60),

S_2

'de

A_1

'de (80),

S_3

'te

A_1

'de (60) elde edilir.

EVwPI = 0,4(60) + 0,4(80) + 0,2(60) = 24 + 32 + 12 = 68

.

Eğer rüzgârın şiddeti önceden kesin bilinirse, şirket her durum için o duruma ait en düşük maliyetli seçeneği tercih edecektir.

3

Tam Bilginin Beklenen Değerinin (EVPI) bulunması.

EVPI = Min EMV - EVwPI = 90 - 68 = 22

bin TL.

Tam bilginin değeri, kusursuz bilgi sayesinde mevcut belirsizlik ortamına kıyasla sağlanacak maliyet tasarrufuna (farka) eşittir.

Anahtar Kavram

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI)

Alternatif Yöntem

Fırsat Kaybı (EOL) Matrisi Yöntemi: Her rüzgâr durumu için en düşük maliyet referans (0) alınır ve diğer alternatiflerin bu referanstan farkları (fırsat kayıpları) hesaplanır. EVPI, hesaplanan EOL değerlerinin beklenen değerlerinin minimumuna eşittir. Bu problemde her bir alternatif için EOL sırasıyla

A_1

: 24,

A_2

: 22,

A_3

: 26 olarak bulunur. Minimum EOL doğrudan EVPI'yi (22) verir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 66Soru →

Bir gümrük muhafaza müdürlüğü, limana gelen konteynerlerin denetimi için 3 farklı strateji (A, B ve C) geliştirmiştir. Kaçakçılık yöntemlerine dair geçmiş yıllara ait verilerin yetersizliği nedeniyle senaryoların (S1, S2, S3) gerçekleşme olasılıkları bilinememektedir. Ayrıca, bu senaryolar aktif bir rakibin bilinçli hamleleri değil, kontrol edilemeyen bağımsız dış faktörler olarak değerlendirilmektedir.

Karar verici, iyimserlik katsayısını ( $\alpha$ ) $0,4$ olarak belirlemiş ve analizini Hurwicz ölçütüne göre yapmaya karar vermiştir. Farklı senaryolara göre oluşacak maliyetler (milyon TL) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Strateji	S1	S2	S3
A	120	50	40
B	90	70	60
C	100	80	40

Buna göre, yöneticinin içinde bulunduğu karar verme ortamı ve Hurwicz ölçütüne göre seçmesi gereken optimal strateji ile hesaplanan maliyet değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Belirsizlik Ortamı; Strateji C, Maliyet: 76

Belirsizlik Ortamı; Strateji C, Maliyet: 64

Risk Ortamı; Strateji C, Maliyet: 76

Çatışma Ortamı; Strateji B, Maliyet: 90

Belirsizlik Ortamı; Strateji A, Maliyet: 72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirsizlik Ortamı; Strateji C, Maliyet: 76

Cevap

Belirsizlik Ortamı; Strateji C, Maliyet: 76

Soruda olasılıkların bilinmediği ve aktif bir rakibin bulunmadığı açıkça belirtilmiştir; bu durum literatürde 'Belirsizlik Ortamı' olarak sınıflandırılır. Tablonun bir maliyet tablosu olması nedeniyle karar vericinin 'en iyi' (iyimser) durumu o satırdaki en düşük maliyet, 'en kötü' (kötümser) durumu ise en yüksek maliyettir. Verilen

\alpha = 0,4

iyimserlik katsayısı en iyi sonuca, kalan

0,6

ise en kötü sonuca çarpılır. Strateji C için hesaplama yapıldığında:

(0,4 \times 40) + (0,6 \times 100) = 16 + 60 = 76

bulunur. A stratejisi 88, B stratejisi 78 değerini verdiğinden en düşük maliyetli optimal seçenek Strateji C'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar verme ortamının sınıflandırılması.

Ortam 'Belirsizlik Ortamı'dır.

Senaryoların gerçekleşme olasılıklarının bilinmemesi risk ortamını, durumun aktif bir rakibe (oyuncu) karşı oynanmaması ise çatışma ortamını eler.

2

Hurwicz ölçütü için en iyi (iyimser) ve en kötü (kötümser) sonuçların belirlenmesi.

A: İyimser(40), Kötümser(120). B: İyimser(60), Kötümser(90). C: İyimser(40), Kötümser(100).

Tablo bir 'Maliyet' matrisidir. Maliyette en düşük değer en iyi (iyimser), en yüksek değer en kötü (kötümser) durumdur.

3

Her strateji için Hurwicz beklenen maliyetinin hesaplanması.

A = 88, B = 78, C = 76

H = (İyimserlik Katsayısı * En İyi Sonuç) + (Kötümserlik Katsayısı * En Kötü Sonuç) formülü kullanılır. Katsayılar: İyimser (0,4) ve Kötümser (1 - 0,4 = 0,6).
A = (0,4 * 40) + (0,6 * 120) = 16 + 72 = 88
B = (0,4 * 60) + (0,6 * 90) = 24 + 54 = 78
C = (0,4 * 40) + (0,6 * 100) = 16 + 60 = 76

4

Optimal stratejinin seçilmesi.

Strateji C seçilir.

Maliyet minimizasyonu hedeflendiği için en düşük Hurwicz değerine sahip olan Strateji C (76) optimal karardır.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamlarının Sınıflandırılması ve Maliyet Matrislerinde Hurwicz Ölçütü

Soru 67Soru →

Bir teknoloji şirketi, yeni geliştireceği yapay zeka entegreli akıllı ev asistanı için üç farklı donanım mimarisinden ( $M_1, M_2, M_3$ ) birini seçecektir. Ürünün piyasaya sürülmesinden sonra karşılaşılabilecek üç farklı pazar benimseme senaryosuna ( $S_1$ : Yavaş, $S_2$ : Beklenen, $S_3$ : Hızlı) göre elde edilecek net kâr değerleri (milyon TL cinsinden) aşağıda verilmiştir:

Mimariler	Yavaş ( $S_1$ )	Beklenen ( $S_2$ )	Hızlı ( $S_3$ )
$M_1$	20	50	80
$M_2$	-20	60	120
$M_3$	40	50	60

Kâr maksimizasyonunu hedefleyen şirket yönetiminin, sırasıyla Hurwicz (iyimserlik katsayısı $\alpha = 0{}7$ ) ve Savage (Pişmanlık) ölçütlerine göre seçmesi gereken donanım mimarileri aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

M_2

ve

M_1

M_3

ve

M_1

M_2

ve

M_3

M_3

ve

M_2

M_1

ve

M_3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M_2$ ve $M_1$

Cevap

Şirket yönetiminin sırasıyla

M_2

ve

M_1

donanım mimarilerini seçmesi gerekir.

Soruda hedeflenen kâr maksimizasyonuna göre; Hurwicz ölçütünde her alternatifin maksimum getirisi

\alpha = 0{}7

ile, minimum getirisi ise

(1-\alpha) = 0{}3

ile çarpılarak toplanır. Hesaplandığında en yüksek değere 78 ile

M_2

donanım mimarisi ulaşır. Savage ölçütünde ise öncelikle her sütunun (pazar senaryosu) maksimum getirisi bulunarak (sırasıyla 40, 60 ve 120), matristeki diğer değerler bu maksimumlardan çıkarılır. Böylece fırsat kaybı matrisi elde edilir. Bu yeni matriste

M_1

'in alabileceği en büyük pişmanlık 40,

M_2

'nin 60 ve

M_3

'ün 60'tır. Savage kriterinin kuralı gereği bu maksimum pişmanlıklar arasından en küçüğü (minimax regret) seçilmelidir. Bu da 40 değeri ile

M_1

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Hurwicz ölçütü için her alternatifin en iyi (maksimum) ve en kötü (minimum) kâr değerlerini belirleme.

M_1

: Maks=80, Min=20 |

M_2

: Maks=120, Min=-20 |

M_3

: Maks=60, Min=40

Hurwicz ölçütü, bir karar alternatifinin alabileceği en iyi ve en kötü sonuçların ağırlıklı ortalamasına dayanır.

2

Hurwicz değerlerini iyimserlik formülü (

H = \alpha \times Maks + (1-\alpha) \times Min

) ile hesaplama (

\alpha = 0{}7

).

M_1 = (0{}7 \times 80) + (0{}3 \times 20) = 56 + 6 = 62

M_2 = (0{}7 \times 120) + (0{}3 \times -20) = 84 - 6 = 78

M_3 = (0{}7 \times 60) + (0{}3 \times 40) = 42 + 12 = 54

En yüksek Hurwicz değerini veren

M_2

(78), bu ölçüte göre en uygun donanım mimarisidir.

3

Savage (Pişmanlık) ölçütü için her pazar senaryosunun (sütunun) en yüksek kâr değerini (Maks) tespit etme.

S_1

(Yavaş) için Maks = 40,

S_2

(Beklenen) için Maks = 60,

S_3

(Hızlı) için Maks = 120.

Pişmanlık (fırsat kaybı) matrisini oluşturmak için, her doğa durumunda elde edilebilecek maksimum getirinin bilinmesi gerekir.

4

Fırsat kaybı matrisini oluşturma ve her alternatifin karşılaştığı maksimum pişmanlığı bulma.

Hücre değeri (Maks - İlgili Değer):

M_1

pişmanlıkları: (40-20=20, 60-50=10, 120-80=40)

\rightarrow

Maksimum Pişmanlık = 40

M_2

pişmanlıkları: (40-(-20)=60, 60-60=0, 120-120=0)

\rightarrow

Maksimum Pişmanlık = 60

M_3

pişmanlıkları: (40-40=0, 60-50=10, 120-60=60)

\rightarrow

Maksimum Pişmanlık = 60

Karar verici, herhangi bir donanım mimarisini seçtiğinde en fazla ne kadar kârdan mahrum kalacağını (maksimum pişmanlığı) hesaplar.

5

Maksimum pişmanlıklar arasından en küçüğünü (Minimax Regret) seçme.

Maksimum pişmanlık değerleri (40, 60, 60) içinden en küçüğü olan 40'ı veren

M_1

seçilir.

Savage ölçütü, karar sonrası yaşanabilecek en büyük pişmanlığı (fırsat kaybını) en aza indirmeyi (minimax) hedefler.

Anahtar Kavram

Belirsizlik Altında Karar Verme (Hurwicz ve Savage Kriterleri)

Alternatif Yöntem

Savage kriteri için matristeki negatif değerlere (-20) dikkat edilmelidir. Pişmanlık hesaplanırken bir durumun maksimum getirisi (Örn:

S_1

için 40) ile negatif bir değer çıkarıldığında (

40 - (-20) = 60

), matematiksel olarak toplama işlemi yapıldığı unutulmamalıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 68Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu il müdürlüğü, hizmet binalarının dijital altyapısını yenilemek için dört farklı yatırım projesi ( $P_1, P_2, P_3, P_4$ ) üzerinde çalışmaktadır. Gelecek dönemde gerçekleşmesi muhtemel üç farklı teknolojik entegrasyon senaryosu ( $S_1, S_2, S_3$ ) için projelerin kuruma getireceği maliyetler (milyon TL cinsinden) aşağıdaki karar matrisinde verilmiştir:

Proje	$S_1$	$S_2$	$S_3$
$P_1$	$40$	$50$	$60$
$P_2$	$25$	$60$	$80$
$P_3$	$70$	$45$	$50$
$P_4$	$55$	$55$	$55$

Senaryoların gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $P(S_1) = 0,5$ , $P(S_2) = 0,2$ ve $P(S_3) = 0,3$ 'tür.

Kurum, kararını Beklenen Fırsat Kaybı (Beklenen Pişmanlık) ölçütüne göre vermek istemektedir.

Buna göre, kurumun seçeceği proje ve bu projeye ait beklenen fırsat kaybı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

P_1