Karar ve Oyun Teorisi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir belediye fen işleri birimi, kış aylarında karla mücadele için gerekli olan tuz stok miktarını belirlemek istemektedir. Aşağıda, kararın verileceği dönemdeki kış şartlarına göre oluşabilecek ödeme (maliyet tasarrufu) matrisi verilmiştir:

Karar Alternatifi	Hafif Kış ( $S_1$ )	Sert Kış ( $S_2$ )
Az Stok ( $d_1$ )	$50$	$20$
Çok Stok ( $d_2$ )	$30$	$80$

Birim yetkilileri, kışın sert geçme olasılığına dair geçmiş bir veriye veya herhangi bir sayısal tahmin bilgisine sahip değildir. Buna göre, bu karar problemi aşağıdaki karar verme ortamlarından hangisine bir örnektir?

Belirsizlik Altında Karar Verme

Risk Altında Karar Verme

Belirlilik Altında Karar Verme

Çatışma Altında Karar Verme

Tam Bilgi Altında Karar Verme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirsizlik Altında Karar Verme

Cevap

Belirsizlik Altında Karar Verme

Verilen senaryoda karar verici, gelecekte ortaya çıkabilecek 'Hafif Kış' ve 'Sert Kış' gibi doğal durumları bilmekte ancak bu durumların gerçekleşme olasılıklarına dair hiçbir sayısal veriye sahip değildir. Literatürde, olasılıkların bilinmediği bu tip durumlar 'Belirsizlik Altında Karar Verme' ortamı olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin bilgi düzeyini analiz et.

Doğal durumlar (

S_1, S_2

) tanımlanmış ancak olasılıklar verilmemiştir.

Karar ortamını belirleyen temel kriter, gelecekteki durumlara dair olasılık bilgisinin varlığıdır.

2

Olasılık bilgisinin bulunmamasını teorik tanımla eşleştir.

Olasılıkların bilinmediği durum 'Belirsizlik' olarak adlandırılır.

Eğer olasılıklar biliniyor olsaydı 'Risk', sonuç kesin olsaydı 'Belirlilik' ortamı olurdu.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamlarının Bilgi Düzeyine Göre Sınıflandırılması

Daha Fazla Pratik

Belirsizlik altında karar verirken kullanılan Wald (Maximin) veya Maximax kriterlerini inceleyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 42Soru →

Bir bölge kalkınma ajansı, sürdürülebilir tarım çalışmaları kapsamında yeni bir sulama projesini değerlendirmektedir. Projenin net ekonomik faydası, gelecek dönemdeki iklim koşullarına (yağış durumuna) bağlıdır. Yapılan tahminlere göre, yağışın normalden fazla olması (bol yağış) olasılığı $0,40$ ; normalden az olması (yetersiz yağış) olasılığı ise $0,60$ olarak belirlenmiştir. Bol yağış durumunda projenin beklenen net faydası $500.000$ TL, yetersiz yağış durumunda ise $200.000$ TL olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, karar ağacı analizi çerçevesinde bu projenin beklenen parasal değeri (BPD) kaç TL'dir?

320.000

350.000

380.000

300.000

200.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 320.000

Cevap

Projenin beklenen parasal değeri 320.000 TL'dir.

Karar ağaçlarında şans düğümlerinden (daire) çıkan dalların beklenen değeri, o dallardaki getirilerin gerçekleşme olasılıkları ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur. Bu soruda

0,40

olasılıkla

500.000

TL ve

0,60

olasılıkla

200.000

TL getirileri toplandığında

320.000

TL sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğa durumları için olasılıkları ve bunlara karşılık gelen getirileri belirleyin.

Bol Yağış:

P_1 = 0,40

, Fayda:

500.000

TL; Yetersiz Yağış:

P_2 = 0,60

, Fayda:

200.000

TL.

Beklenen değer hesaplaması için her durumun olasılığı ve sonucu bilinmelidir.

2

Her bir doğa durumunun getirisi ile olasılığını çarparak beklenen değer bileşenlerini hesaplayın.

0,40 \times 500.000 = 200.000

TL ve

0,60 \times 200.000 = 120.000

TL.

Ağırlıklı ortalama mantığına göre her durumun toplam değere katkısı hesaplanır.

3

Elde edilen değerleri toplayarak projenin toplam beklenen parasal değerini (BPD) bulun.

200.000 + 120.000 = 320.000

TL.

Beklenen değer, tüm olası sonuçların olasılık ağırlıklı toplamıdır.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (BPD) / Expected Monetary Value (EMV)

İpuçları

1

Beklenen değer, sonuçların gerçekleşme olasılıklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır.

2

Her bir olasılığı ilgili getiriyle çarpın (

0,40

ile

500.000

'i,

0,60

ile

200.000

'i) ve sonuçları toplayın.

Tahmini Süre:45s

Soru 43Soru →

İki rakip lojistik firmasının ( $A$ ve $B$ ) bir ihale için belirledikleri stratejiler ve bu stratejilere bağlı kazanç-kayıp durumlarını gösteren ödeme matrisi aşağıda verilmiştir. Matristeki değerler satır oyuncusunun ( $A$ ) kazançlarını temsil eden sıfır toplamlı bir oyuna aittir.

$B_1$	$B_2$
$A_1$	$15$	$20$
$A_2$	$10$	$25$

Buna göre, bu oyunun eyer noktası (saddle point) strateji çifti ve oyunun değeri aşağıdakilerden hangisidir?

(A_1, B_1)

strateji çifti ve

15

değeri

(A_1, B_2)

strateji çifti ve

20

değeri

(A_2, B_1)

strateji çifti ve

10

değeri

(A_2, B_2)

strateji çifti ve

25

değeri

(A_1, B_1)

strateji çifti ve

0

değeri

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(A_1, B_1)$ strateji çifti ve $15$ değeri

Cevap

Oyunun eyer noktası

(A_1, B_1)

strateji çiftidir ve oyunun değeri

15

'dir.

Verilen matriste, birinci satırın en küçük değeri

15

ve ikinci satırın en küçük değeri

10

'dur. Bunların en büyüğü (maximin)

15

'dir. Birinci sütunun en büyük değeri

15

ve ikinci sütunun en büyük değeri

25

'dir. Bunların en küçüğü (minimax)

15

'dir. İki değer eşit olduğundan, eyer noktası

(A_1, B_1)

hücresindeki

15

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Satır oyuncusu (

A

) için her satırdaki en küçük değerleri (satır minimumları) belirleyin.

A_1

satırı için

15

,

A_2

satırı için

10

.

Satır oyuncusu, her stratejisi için karşılaşabileceği en kötü durumu (minimum kazancı) belirleyerek bunlar arasından en iyisini seçmeye çalışır.

2

Belirlenen satır minimumları arasından en büyüğünü (maximin) seçin.

\text{max}(15, 10) = 15

.

Maximin değeri, satır oyuncusunun garantilediği en düşük kazanç seviyesidir.

3

Sütun oyuncusu (

B

) için her sütundaki en büyük değerleri (sütun maksimumları) belirleyin.

B_1

sütunu için

15

,

B_2

sütunu için

25

.

Sütun oyuncusu, her stratejisi için karşılaşabileceği en büyük kaybı belirleyerek bu kaybı minimize etmeye çalışır.

4

Belirlenen sütun maksimumları arasından en küçüğünü (minimax) seçin.

\text{min}(15, 25) = 15

.

Minimax değeri, sütun oyuncusunun izin verdiği maksimum kayıp seviyesidir.

5

Maximin ve minimax değerlerini karşılaştırın.

15 = 15

olduğu için oyunun bir eyer noktası vardır ve bu değer

15

'dir. Bu değerin bulunduğu hücre

(A_1, B_1)

konumundadır.

Maximin ve minimax değerlerinin eşit olması, oyunun dengede (saf strateji çözümü) olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Sıfır toplamlı oyunlarda eyer noktası (saddle point), bir oyuncunun minimum kazancını maksimize ettiği (maximin), diğerinin ise maksimum kaybını minimize ettiği (minimax) ve bu iki değerin birbirine eşit olduğu noktadır.

Soru 44Soru →

Ticaret Bakanlığı, bir sınır kapısında "Akıllı Gümrük Tarama Sistemi" kurmak için üç farklı stratejiyi değerlendirmektedir. Gelecek 5 yıldaki ticaret hacminin $\%60$ olasılıkla "Yüksek", $\%40$ olasılıkla "Düşük" gerçekleşmesi beklenmektedir.

Seçenekler ve finansal veriler (milyon TL cinsinden bugünkü değer olarak) aşağıda verilmiştir:

* Strateji I (Tam Kapsamlı Sistem): İlk kuruluş maliyeti $120$ 'dir. Sistem, yüksek hacimde $300$ , düşük hacimde ise $100$ brüt gelir sağlayacaktır.
* Strateji II (Mevcut Durum): İlk yatırım maliyeti yoktur ( $0$ ). Yüksek hacimde $80$ brüt gelir elde edilir ancak kapasite aşımı nedeniyle $50$ ceza maliyeti oluşur. Düşük hacimde ise $60$ brüt gelir elde edilir ve ceza oluşmaz.
* Strateji III (Modüler Sistem): İlk kuruluş maliyeti $50$ 'dir.
* Hacim düşük gerçekleşirse, sistem mevcut haliyle çalışmaya devam eder ve $100$ brüt gelir sağlar.
* Hacim yüksek gerçekleşirse, kurum ikinci bir karar aşamasına gelir: Sistemi genişletmek veya mevcut haliyle bırakmak.
* Genişletme kararı alınırsa: $90$ ek yatırım maliyeti gerekir ve $300$ brüt gelir elde edilir.
* Genişletmeme kararı alınırsa: Ek yatırım gerekmez, $150$ brüt gelir elde edilir ancak kapasite yetersizliğinden dolayı $40$ ceza maliyeti oluşur.

Kurum, bu karar problemi için beklenen parasal değer (EMV) yaklaşımını kullanarak geriye doğru (backward induction) analiz yapmaktadır.

Buna göre, karar vericinin ticaret hacmi hakkındaki belirsizliği tamamen ortadan kaldıracak mükemmel bir pazar araştırmasına ödemeye razı olacağı en yüksek tutar (Tam Bilginin Beklenen Değeri - EVPI) kaç milyon TL'dir?

*(Not: Tüm hesaplamalar net fayda = brüt gelir - tüm maliyetler - cezalar şeklinde yapılmalıdır.)*

12

16

24

32

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

Doğru cevap 16'dır. Problemin çözümünde öncelikle tüm terminal uçlardaki net faydalar maliyetler ve cezalar düşülerek bulunmalıdır. Strateji III'ün yüksek hacim durumundaki sıralı kararı için

\max(300-90-50, 150-40-50) = \max(160, 60) = 160

değeri geriye doğru hesaplanır. Stratejilerin Beklenen Parasal Değerleri (EMV) sırasıyla:

EMV_I = 100

,

EMV_{II} = 42

,

EMV_{III} = 116

bulunur. En iyi mevcut strateji EMV'si

116

'dır. Tam bilgiye sahip olunduğu durumda (EVwPI), yüksek hacim için en iyi seçenek Strateji I (

180

), düşük hacim için en iyi seçenek Strateji II (

60

) olur.

EVwPI = 0.6 \times 180 + 0.4 \times 60 = 132

. Tam Bilginin Beklenen Değeri

EVPI = EVwPI - \text{Maksimum } EMV = 132 - 116 = 16

milyon TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm stratejiler için olası durumlardaki net faydaları (Net = Brüt Gelir - İlk Maliyet - Ek Maliyet - Ceza) hesapla.

Strateji I: Yüksek = 300 - 120 = 180, Düşük = 100 - 120 = -20.
Strateji II: Yüksek = 80 - 50 = 30, Düşük = 60 - 0 = 60.

Karar ağacının uç noktalarındaki (terminal) ödeme değerlerinin belirlenmesi gerekir.

2

Strateji III için sıralı karar düğümünü (backward induction) çözerek net faydaları belirle.

Düşük hacim net: 100 - 50 = 50.
Yüksek hacimde karar düğümü: Genişlet net = 300 - 90 - 50 = 160. Genişletmeme net = 150 - 40 - 50 = 60.
Maksimum(160, 60) = 160. Yani yüksek hacimde genişletme seçilir ve net değer 160 olur.

İkinci aşamadaki karar verici, kendisi için en yüksek net faydayı sağlayan alternatifi seçecektir.

3

Her bir stratejinin Beklenen Parasal Değerini (EMV) hesapla ve optimum stratejiyi bul.

EMV(I) = 0.6(180) + 0.4(-20) = 108 - 8 = 100.
EMV(II) = 0.6(30) + 0.4(60) = 18 + 24 = 42.
EMV(III) = 0.6(160) + 0.4(50) = 96 + 20 = 116.
Maksimum EMV = 116 (Strateji III).

Belirsizlik altında en iyi mevcut kararın (araştırma yapılmadan önceki) getirisini bulmak için EMV hesaplanır.

4

Tam Bilgi Altında Beklenen Değeri (EVwPI) hesapla.

Hacim Yüksek ise en iyi seçenek: Maksimum(180, 30, 160) = 180 (Strateji I).
Hacim Düşük ise en iyi seçenek: Maksimum(-20, 60, 50) = 60 (Strateji II).
EVwPI = 0.6(180) + 0.4(60) = 108 + 24 = 132.

Geleceğin kesin olarak bilinmesi durumunda her doğa durumu için en iyi karar verilecektir.

5

Tam Bilginin Beklenen Değerini (EVPI) hesapla.

EVPI = EVwPI - Maksimum EMV = 132 - 116 = 16 milyon TL.

Mükemmel bilgiye ödenecek maksimum tutar, tam bilginin getirdiği ekstra değerdir.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçları Analizinde Beklenen Değer ve Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI)

Alternatif Yöntem

EVPI aynı zamanda minimum Beklenen Fırsat Kaybına (EOL) eşittir. EOL matrisi oluşturularak da aynı sonuca ulaşılabilir. Yüksek hacim için maksimum getiri 180, Düşük hacim için 60'tır. Fırsat kayıpları - Yüksek Hacim: [I:0, II:150, III:20]. Düşük Hacim: [I:80, II:0, III:10]. Stratejilerin EOL değerleri:

EOL_I = 0.6(0)+0.4(80)=32

,

EOL_{II} = 0.6(150)+0.4(0)=90

,

EOL_{III} = 0.6(20)+0.4(10)=16

. En küçük EOL değeri 16 olup EVPI'ye eşittir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 45Soru →

Bir kamu kurumu, uygulanması planlanan yeni bir altyapı projesinin getirisini belirsizlik altında değerlendirmektedir. Yapılan ön fizibilite çalışmalarına göre projenin net ekonomik getirisinin $0.25$ olasılıkla $144$ milyon TL, $0.75$ olasılıkla ise $0$ TL olacağı öngörülmektedir.

Söz konusu projeyi değerlendiren iki farklı üst düzey yöneticiden;
* Birinci yöneticinin fayda fonksiyonu $U(x) = \sqrt{x}$ (riskten kaçınan),
* İkinci yöneticinin fayda fonksiyonu $V(x) = x^2$ (riski seven)
şeklinde modellenmiştir (Burada $x$ , milyon TL cinsinden net getiriyi göstermektedir).

Buna göre, her iki yöneticinin bu proje için hesaplanan kesinlik eşdeğerlerinin (certainty equivalent) toplamı ile projenin beklenen parasal değeri (EMV) arasındaki farkın mutlak değeri kaç milyon TL'dir?

9

36

45

63

81

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

İki yöneticinin kesinlik eşdeğerleri toplamı ile beklenen parasal değer arasındaki farkın mutlak değeri 45 milyon TL'dir.

Çözüm için üç ana parametrenin hesaplanması gerekir: 1) Projenin EMV'si (0.25*144 + 0.75*0 = 36). 2) Birinci yöneticinin kesinlik eşdeğeri CE_1 (Karekök fonksiyonunda beklenen fayda 3, karesi 9). 3) İkinci yöneticinin kesinlik eşdeğeri CE_2 (Kare fonksiyonunda beklenen fayda 5184, karekökü 72). Soru bu üç parametreyi |(CE_1 + CE_2) - EMV| şeklinde bağlamamızı istemektedir. İşlem uygulandığında |(9 + 72) - 36| = 45 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Projenin Beklenen Parasal Değerini (EMV) hesaplayın.

EMV = 0.25 \times 144 + 0.75 \times 0 = 36

milyon TL

Risk primi ve nihai fark hesaplaması için projenin objektif beklenen değerinin bulunması gerekir.

2

Birinci yöneticinin beklenen faydasını ve kesinlik eşdeğerini (

CE_1

) bulun.

E[U(X)] = 0.25 \times \sqrt{144} + 0.75 \times \sqrt{0} = 0.25 \times 12 = 3

. Buradan

U(CE_1) = 3 \implies \sqrt{CE_1} = 3 \implies CE_1 = 9

milyon TL.

Riskten kaçınan karar vericinin projeye atfettiği kesin tutarı (certainty equivalent) bulmak için fayda fonksiyonunun tersi alınır.

3

İkinci yöneticinin beklenen faydasını ve kesinlik eşdeğerini (

CE_2

) bulun.

E[V(X)] = 0.25 \times (144^2) + 0.75 \times (0^2) = 0.25 \times 20736 = 5184

. Buradan

V(CE_2) = 5184 \implies CE_2^2 = 5184 \implies CE_2 = 72

milyon TL.

Riski seven karar vericinin aynı projeye atfettiği kesin tutarı bulmak için kendi fayda fonksiyonu üzerinden aynı adımlar tekrarlanır.

4

İstenen nihai değeri formüle edin ve sonucu hesaplayın.

|(CE_1 + CE_2) - EMV| = |(9 + 72) - 36| = |81 - 36| = 45

Soruda istenen 'kesinlik eşdeğerleri toplamı ile beklenen parasal değer (EMV) arasındaki farkın mutlak değeri' koşulu yerine getirilir.

Anahtar Kavram

Fayda fonksiyonları kullanılarak kesinlik eşdeğeri (certainty equivalent) ve beklenen parasal değer (EMV) hesaplamaları

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 46Soru →

Bir kamu kurumu, yeni geliştirdiği bir e-devlet projesini doğrudan tüm ülkede uygulamaya geçirmek ya da iptal etmek konusunda karar verecektir. Projenin ülke genelinde yüksek talep görme olasılığı $0{}60$ ; düşük talep görme olasılığı ise $0{}40$ olarak tahmin edilmektedir.

- Proje tüm ülkede uygulanır ve yüksek talep görürse $100$ milyon TL net fayda elde edilecektir.
- Proje tüm ülkede uygulanır ve düşük talep görürse $50$ milyon TL net zarar oluşacaktır.
- Projenin iptal edilmesi durumunda herhangi bir fayda veya zarar oluşmayacaktır ( $0$ TL).

Kurum, nihai kararını vermeden önce $1$ milyon TL maliyetle projeyi belirli bir pilot bölgede test etme seçeneğine sahiptir. Pilot uygulamanın 'başarılı' veya 'başarısız' sonuçlanmasına göre pazar talebi olasılıkları güncellenmektedir. Kurum uzmanlarının yaptığı çalışmalara göre:
- Pilot uygulamanın 'Başarılı' sonuçlanma olasılığı $0{}60$ 'tır. Bu durumda, projenin ülke genelinde yüksek talep görme olasılığı $0{}80$ 'e çıkarken, düşük talep görme olasılığı $0{}20$ 'ye düşmektedir.
- Pilot uygulamanın 'Başarısız' sonuçlanma olasılığı $0{}40$ 'tır. Bu durumda, projenin ülke genelinde yüksek talep görme olasılığı $0{}30$ 'a düşerken, düşük talep görme olasılığı $0{}70$ 'e çıkmaktadır.

Buna göre, karar ağacı analizi kullanıldığında bu kurumun beklenen değerini (EMV) maksimize etmesi için izlemesi gereken optimal strateji ve bu stratejinin beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Doğrudan tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 40 milyon TL

Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 41 milyon TL

Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 42 milyon TL

Pilot uygulama yapmak ve pilotun sonucundan bağımsız olarak tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 39 milyon TL

Projeyi doğrudan iptal etmek; 0 milyon TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 41 milyon TL

Cevap

En uygun strateji 'Pilot uygulama yapmak ve sadece pilot başarılı olursa tüm ülkede uygulamaya geçirmek; 41 milyon TL' seçeneğidir.

Optimal stratejiyi bulmak için karar ağacını sondan başa doğru (geriye doğru tümevarım) çözmeliyiz. Doğrudan uygulamanın beklenen değeri

40

milyon TL'dir. Pilot test dalında, 'başarılı' senaryoda uygulama yapılarak

70

milyon TL beklenirken, 'başarısız' senaryoda uygulama beklenen zararı (

-5

milyon TL) getireceğinden projeyi iptal etmek (

0

TL) rasyoneldir. Pilot şans düğümünün brüt değeri

(0{}60 \times 70) + (0{}40 \times 0) = 42

milyon TL'dir.

1

milyon TL tutarındaki pilot testi maliyeti düşüldüğünde net beklenen fayda

41

milyon TL bulunur. Bu değer

40

milyon TL'den (doğrudan uygulama) büyük olduğu için en rasyonel strateji pilot test yapıp yalnızca başarılı olursa uygulamaya geçmektir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrudan tüm ülkede uygulama stratejisinin beklenen değerini (EMV) hesaplamak.

EMV = (0{}60 \times 100) + (0{}40 \times -50) = 60 - 20 = 40

milyon TL.

Karar ağacının test edilmeden doğrudan uygulamaya geçilen ilk ana dalının getirisini belirlemek.

2

Pilot testin 'Başarılı' olması durumundaki karar düğümünü değerlendirmek.

Uygulama kararı alınırsa:

(0{}80 \times 100) + (0{}20 \times -50) = 80 - 10 = 70

milyon TL. İptal kararı:

0

TL. Maksimum değer

70

milyon TL olduğu için 'Uygula' seçilir.

Geriye doğru tümevarım prensibiyle uç dallardaki en yüksek faydayı (optimal kararı) bulmak.

3

Pilot testin 'Başarısız' olması durumundaki karar düğümünü değerlendirmek.

Uygulama kararı alınırsa:

(0{}30 \times 100) + (0{}70 \times -50) = 30 - 35 = -5

milyon TL. İptal kararı:

0

TL. Maksimum değer

0

TL olduğu için 'İptal' seçilir.

Kötü senaryoda beklenen zarardan (-5) kaçınmak için iptal (0) seçeneğinin daha rasyonel olduğunu belirlemek.

4

Pilot test stratejisinin brüt ve net beklenen değerini hesaplamak.

Brüt

EMV = (0{}60 \times 70) + (0{}40 \times 0) = 42

milyon TL. Net

EMV = 42 - 1 = 41

milyon TL.

Test aşamasının şans düğümü değerini bulmak ve en başta yapılan test maliyetini bu değerden düşmek.

5

Alternatifleri karşılaştırmak ve optimal stratejiyi belirlemek.

41

milyon TL (Pilot Test)

> 40

milyon TL (Doğrudan Uygulama)

> 0

TL (Doğrudan İptal) olduğundan en uygun karar pilot test yapmaktır.

Kurumun nihai amacının beklenen değeri maksimize etmek olması.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçları Analizi ve Beklenen Değer (EMV)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, örneklem bilgisinin beklenen değeri (EVSI) yaklaşımı kullanılabilir. Kusursuz bilginin beklenen değeri (EVPI) veya test sürecinin getirdiği fazladan değer hesaplanarak pilot çalışmanın maliyetine (1 milyon TL) değip değmediği analiz edilebilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 47Soru →

Bir uluslararası hava yolu şirketi, filosuna katacağı yeni uçak tipini belirlemek için üç farklı modeli (Geniş Gövde, Dar Gövde, Karma) değerlendirmektedir. Şirketin elde edeceği kâr; küresel turizm talebinin "daralma", "durağan" veya "büyüme" eğiliminde olmasına bağlıdır. Şirket yönetimi, pazarın gelecekteki durumu hakkında herhangi bir olasılık dağılımı öngörememektedir.

Yönetim kurulu, her bir uçak modelinin farklı talep durumlarında sağlayacağı kârları hesaplamış; daha sonra her bir alternatif için en kötü talep koşulunda elde edilecek kârı tespit ederek, bu en düşük kârlar arasından en büyük değeri veren uçak modelini seçmeye karar vermiştir.

Yöneylem araştırması terminolojisine göre, bu şirketin içinde bulunduğu karar verme ortamı ve benimsediği karar ölçütü aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Belirsizlik ortamı – Wald (Maximin) ölçütü

Risk ortamı – Beklenen Değer ölçütü

Belirsizlik ortamı – Maximax (İyimserlik) ölçütü

Çatışma ortamı – Minimax ölçütü

Belirsizlik ortamı – Savage (Minimax Pişmanlık) ölçütü

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirsizlik ortamı – Wald (Maximin) ölçütü

Cevap

Şirketin içinde bulunduğu durum Belirsizlik ortamıdır ve kullandığı yöntem Wald (Maximin) ölçütüdür.

Karar teorisinde ortamlar; belirlilik, risk, belirsizlik ve çatışma olarak dörde ayrılır. Gelecekteki olayların olasılıklarının bilinmediği durumlar 'Belirsizlik Ortamı'dır. Bu ortamda karar verici karamsar bir tutum sergiliyorsa, her alternatifin verebileceği en kötü sonuçları (minimumları) bulur ve bu kötü sonuçların en iyisini (maksimumunu) tercih eder. Bu yönteme Wald veya Maximin (Kötümserlik) ölçütü adı verilir. Verilen senaryo bu iki kavramı da tam olarak karşılamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar verme ortamının metindeki verilere göre tespit edilmesi.

Ortam 'Belirsizlik Altında Karar Verme' olarak belirlenir.

Metinde yer alan 'herhangi bir olasılık dağılımı öngörememektedir' ifadesi, risk ortamını dışlayarak doğrudan belirsizlik ortamına işaret eder.

2

Karar vericinin uyguladığı seçim mantığının hangi ölçüte denk geldiğinin bulunması.

Ölçüt 'Wald (Maximin) Ölçütü' olarak tanımlanır.

Yönetim kurulunun önce 'en kötü talep koşulunda elde edilecek kârı' (minimum değerleri) tespit etmesi ve sonra bunlar arasından 'en büyük değeri' (maksimumu) seçmesi, Maximin (Kötümserlik) kuralının birebir tanımıdır.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamları ve Belirsizlik Altında Karar Ölçütleri

Soru 48Soru →

Enerji ve Tabii Kaynaklar Bakanlığı, yeni keşfedilen bir jeotermal alana kurulacak elektrik santralinin yatırım kapasitesini belirlemek için karar ağacı analizi yapmaktadır. Uzmanların yaptığı sismik ve jeolojik etütlere göre, ilgili alanın yüksek rezerve sahip olma olasılığı $\%60$ , düşük rezerve sahip olma olasılığı ise $\%40$ 'tır.

Bakanlığın önündeki seçeneklere ve bu seçeneklerin olası rezerv durumlarına göre sağlayacağı net getirilere (milyon TL) ilişkin tablo aşağıda verilmiştir:

Karar Alternatifi	Yüksek Rezerv ( $P = 0.60$ )	Düşük Rezerv ( $P = 0.40$ )
Yüksek Kapasiteli Santral	$500$	$-100$
Düşük Kapasiteli Santral	$200$	$100$
Yatırım Yapmamak	$0$	$0$

Tabloda yer alan ( $-$ ) işareti net zararı ifade etmektedir.

Buna göre, beklenen parasal değer (EMV) ölçütüne göre Bakanlığın alması gereken en uygun karar ve bu karara ait beklenen getiri değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

260

milyon TL'dir.

Düşük Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

160

milyon TL'dir.

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

140

milyon TL'dir.

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

340

milyon TL'dir.

Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri

500

milyon TL'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yüksek Kapasiteli Santral kurulmalıdır, beklenen parasal değeri $260$ milyon TL'dir.

Cevap

Beklenen parasal değere göre en kârlı alternatif olan 'Yüksek Kapasiteli Santral' yatırımı yapılmalıdır ve bu seçeneğin beklenen değeri

260

milyon TL'dir.

Karar ağaçları analizinde her bir karar alternatifinin beklenen parasal değeri (EMV), olası sonuçların getirilerinin kendi gerçekleşme olasılıklarıyla çarpılıp toplanması formülüyle hesaplanır. Yüksek Kapasiteli Santral için EMV:

(0.60 \times 500) + (0.40 \times -100) = 300 - 40 = 260

milyon TL'dir. Düşük Kapasiteli Santral için EMV:

(0.60 \times 200) + (0.40 \times 100) = 120 + 40 = 160

milyon TL'dir. Hiçbir şey yapmamanın değeri

0

TL'dir. En yüksek EMV değeri

260

milyon TL ile Yüksek Kapasiteli Santral seçeneğine ait olduğundan, doğru karar bu yönde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Yüksek Kapasiteli Santral (YKS) için beklenen parasal değeri (EMV) hesapla.

EMV(YKS) = (0.60 × 500) + (0.40 × -100) = 300 - 40 = 260 milyon TL.

Her bir doğa durumunun getirisi ile o durumun gerçekleşme olasılığı çarpılarak toplanır.

2

Düşük Kapasiteli Santral (DKS) için beklenen parasal değeri hesapla.

EMV(DKS) = (0.60 × 200) + (0.40 × 100) = 120 + 40 = 160 milyon TL.

Tüm alternatiflerin beklenen değerleri bulunarak birbirleriyle karşılaştırılabilir hâle getirilmelidir.

3

Yatırım Yapmamak seçeneğinin değerini belirle ve üç alternatifi karşılaştır.

EMV(Yatırım Yok) = 0. Karşılaştırma: 260 > 160 > 0. Seçilen Alternatif: YKS.

Rasyonel bir karar verici risk altında karar verirken beklenen getiriyi maksimize eden seçeneği tercih eder.

Anahtar Kavram

Risk altında karar verme ortamlarında karar ağaçları analizi ve beklenen parasal değer (EMV) ölçütünün kullanılması.

Soru 49Soru →

İki farklı devlet üniversitesi ( $U_1$ ve $U_2$ ), yeni açılacak lisansüstü programlara başarılı öğrencileri çekmek için rekabet etmektedir. Öğrenci havuzunun sabit olduğu bu sıfır toplamlı oyunda, $U_1$ üniversitesi $M_1, M_2, M_3$ olmak üzere üç farklı tanıtım stratejisi; $U_2$ üniversitesi ise $N_1, N_2, N_3, N_4$ olmak üzere dört farklı burs stratejisi belirlemiştir.

Aşağıdaki ödeme matrisinde satırlar $U_1$ üniversitesinin stratejilerini, sütunlar ise $U_2$ üniversitesinin stratejilerini göstermektedir. Matris içindeki değerler, $U_1$ üniversitesinin elde edeceği ek öğrenci yüzdelerini (kazançlarını) ifade etmektedir. $U_2$ üniversitesinin amacı ise bu değeri en aza indirmektir.

$U_1$ \ $U_2$	$N_1$	$N_2$	$N_3$	$N_4$
$M_1$	$20$	$15$	$18$	$16$
$M_2$	$10$	$12$	$14$	$10$
$M_3$	$8$	$10$	$22$	$18$

Bu rekabet durumu (oyun) ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Oyunun değeri

15

'tir ve

U_1

üniversitesi için en iyi (optimal) strateji

M_1

'dir.

Oyunun eyer noktası

(M_2, N_3)

strateji çiftidir ve bu noktada oyunun değeri

14

'tür.

Oyunun eyer noktası bulunmamaktadır, bu nedenle tarafların optimal sonuca ulaşması için karma stratejiler kullanması zorunludur.

U_1

üniversitesi

M_3

stratejisini seçtiğinde, en kötü ihtimalle

\%22

oranında ek öğrenci kazanmayı garanti altına alır.

U_2

üniversitesinin uygulayacağı optimal strateji

N_3

'tür, çünkü

U_1

'in kazancını maksimize eden değer bu sütunda yer alır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Oyunun değeri $15$ 'tir ve $U_1$ üniversitesi için en iyi (optimal) strateji $M_1$ 'dir.

Cevap

Oyunun değeri

15

'tir ve

U_1

üniversitesi için en iyi (optimal) strateji

M_1

'dir.

Sıfır toplamlı oyunlarda optimal strateji, satır oyuncusu için 'Maximin', sütun oyuncusu için 'Minimax' kuralı ile bulunur.

U_1

üniversitesinin stratejilerindeki satır minimumları sırasıyla

15, 10

ve

8

'dir. Bunların en büyüğü (Maximin)

15

'tir ve

M_1

stratejisine aittir.

U_2

üniversitesinin stratejilerindeki sütun maksimumları ise sırasıyla

20, 15, 22

ve

18

'dir. Bunların en küçüğü (Minimax)

15

'tir ve

N_2

stratejisine aittir. Maximin

=

Minimax

= 15

olduğundan, oyunun eyer noktası

(M_1, N_2)

'dir. Oyunun değeri

15

'tir ve

U_1

için en iyi strateji

M_1

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Satır oyuncusu (

U_1

) için her stratejinin en kötü (minimum) sonuçlarını belirlemek.

M_1

için

\min(20, 15, 18, 16) = 15

.

M_2

için

\min(10, 12, 14, 10) = 10

.

M_3

için

\min(8, 10, 22, 18) = 8

.

Satır oyuncusu, her stratejide kesinlikle elde edebileceği garanti kazanç sınırını bilmek ister.

2

Satır oyuncusunun garantilediği minimum kazançların en büyüğünü (Maximin) bulmak.

\max(15, 10, 8) = 15

. Bu değer

M_1

stratejisine aittir.

Satır oyuncusu, en kötü durumlar arasında kendisi için en yüksek kazancı veren (en iyi) seçeneği tercih eder.

3

Sütun oyuncusu (

U_2

) için her stratejinin en kötü (maksimum) sonuçlarını belirlemek.

N_1

için

\max(20, 10, 8) = 20

.

N_2

için

\max(15, 12, 10) = 15

.

N_3

için

\max(18, 14, 22) = 22

.

N_4

için

\max(16, 10, 18) = 18

.

Sütun oyuncusunun amacı satır oyuncusunun kazancını (kendi kaybını) en aza indirmektir. Bu yüzden önce maksimum kayıp potansiyellerini hesaplar.

4

Sütun oyuncusunun maksimum kayıplarının en küçüğünü (Minimax) bulmak.

\min(20, 15, 22, 18) = 15

. Bu değer

N_2

stratejisine aittir.

Sütun oyuncusu, karşılaşabileceği maksimum kayıplar arasından en düşük olanı seçerek riskini minimize eder.

5

Eyer noktasının varlığını kontrol etmek ve oyunun değerini belirlemek.

Maximin (

15

)

=

Minimax (

15

) olduğundan oyunun eyer noktası

(M_1, N_2)

strateji çiftidir ve oyunun değeri

15

'tir.

Maximin ve Minimax değerleri eşit olduğunda oyun saf stratejilerle dengeye ulaşır.

Anahtar Kavram

Oyun Teorisi Temel Kavramları: Maximin ve Minimax Kriterleri ile Eyer Noktası Analizi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

Bir kamu kurumu, hesaplarında atıl durumda bulunan $50$ milyon TL'lik fonu değerlendirmek için bir altyapı projesine yatırım yapmayı planlamaktadır.

Projenin başlangıç yatırım maliyeti $30$ milyon TL'dir ve bu tutar mevcut fondan peşin olarak karşılanacaktır.
- Eğer proje başarılı olursa, yatırım süreci sonunda kuruma $80$ milyon TL'lik bir nakit girişi sağlayacaktır (Böylece kurumun toplam varlığı, başlangıçtaki fondan yatırım maliyeti düşülüp bu nakit girişi eklendiğinde elde edilen düzeye ulaşacaktır).
- Eğer proje başarısız olursa, herhangi bir nakit girişi olmayacak ve yatırılan tutar tamamen kaybedilmiş olacaktır.

Kurum yöneticisinin risk tercihini yansıtan fayda fonksiyonu $U(W) = 100 - \frac{1000}{W}$ olarak tanımlanmıştır. Burada $W$ , kurumun milyon TL cinsinden o anki toplam net varlığını ifade etmektedir.

Buna göre, yöneticinin beklenen fayda (expected utility) teorisi kapsamında bu projeyi kabul edebilmesi için projenin başarılı olma olasılığı en az yüzde kaç olmalıdır?

25

37,5

60

75

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Projenin kabul edilebilmesi için başarılı olma olasılığı en az yüzde 75 olmalıdır.

Yöneticinin rasyonel olarak projeyi kabul etmesi için projenin beklenen faydasının, parayı kasada tutmanın kesin faydasından büyük veya ona eşit olması zorunludur. Fonun kasada kalması durumunda kesin fayda U(50) = 80'dir. Proje uygulanırsa, başarı durumunda toplam varlık 100 milyon TL'ye çıkacak (U(100) = 90), başarısızlık durumunda ise 20 milyon TL'ye düşecektir (U(20) = 50). Bu lotaryanın beklenen faydası E(U) = p(90) + (1-p)(50)'dir. Bu değerin 80'e eşitlendiği kritik eşik p = 0,75 (%75) olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yatırım yapılmaması (mevcut durum) halindeki toplam varlığın faydasının hesaplanması

Mevcut Varlık (

W_0

) = 50 milyon TL.

U(50) = 100 - \frac{1000}{50} = 100 - 20 = 80

.

Yöneticinin projeyi kabul etmesi için projenin beklenen faydası, yatırım yapılmadığındaki kesin faydaya eşit veya ondan büyük olmalıdır.

2

Yatırım yapılması durumunda olası nihai varlık (

W

) düzeylerinin belirlenmesi

Başarı durumunda varlık (

W_1

) =

50 - 30 + 80 = 100

milyon TL. Başarısızlık durumunda varlık (

W_2

) =

50 - 30 = 20

milyon TL.

Fayda fonksiyonu doğrudan net kâr/zarar üzerinden değil, karar sonrası oluşan toplam varlık (

W

) üzerinden tanımlanmıştır.

3

Olası varlık durumlarının faydalarının hesaplanması

Başarı durumu faydası:

U(100) = 100 - \frac{1000}{100} = 100 - 10 = 90

. Başarısızlık durumu faydası:

U(20) = 100 - \frac{1000}{20} = 100 - 50 = 50

.

Beklenen fayda denklemini kurmak için her bir sonucun getireceği fayda düzeyi bulunmalıdır.

4

Beklenen fayda (

E[U]

) denkleminin kurulması ve eşitsizliğin çözülmesi

E[U] = 90p + 50(1-p) \geq 80 \implies 40p + 50 \geq 80 \implies 40p \geq 30 \implies p \geq 0,75

(yani %75).

Belirsizlik altında karar verirken beklenen fayda maksimizasyonu prensibi gereği, alternatifin beklenen faydası mevcut durumun faydasını aşmalıdır.

Anahtar Kavram

Beklenen Fayda Teorisi ve Kesinlik Eşdeğeri

Soru 51Soru →

Bir lojistik firmasının operasyon müdürü, yeni bir filo yönetim yazılımı yatırımını değerlendirmektedir. Bu yatırımın getireceği yıllık net maliyet tasarrufu, piyasa koşullarına bağlı olarak belirsizlik içermektedir. Yapılan analizlere göre, maliyet tasarrufunun $\%75$ olasılıkla $100.000$ TL ve $\%25$ olasılıkla $36.000$ TL olacağı öngörülmektedir.

Müdürün parasal değerlere ( $x$ , bin TL cinsinden) ilişkin fayda fonksiyonu $U(x) = \sqrt{x}$ olarak modellenmiştir.

Buna göre, bu yatırım kararı için müdürün algıladığı kesinlik eşdeğeri (certainty equivalent) ve risk primi (risk premium) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

81.000

TL ve

3.000

TL

84.000

TL ve

0

TL

9.000

TL ve

75.000

TL

64.000

TL ve

4.000

TL

81.000

TL ve

84.000

TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $81.000$ TL ve $3.000$ TL

Cevap

Kesinlik eşdeğeri

81.000

TL ve risk primi

3.000

TL olan seçenektir.

Karar vericinin beklenen faydası (E(U)), olası kazançların faydalarının olasılıklarla çarpımının toplamıdır:

0,75\sqrt{100} + 0,25\sqrt{36} = 9

. Bu faydayı sağlayan kesin kazanç tutarı (CE),

\sqrt{CE} = 9

denkleminden

81

bin TL (

81.000

TL) olarak bulunur. Beklenen parasal değer (EMV) ise

0,75(100) + 0,25(36) = 84

bin TL'dir. Risk primi,

EMV - CE = 84 - 81 = 3

bin TL (

3.000

TL) olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen parasal değeri (EMV) hesapla.

EMV = 0,75 \times 100 + 0,25 \times 36 = 75 + 9 = 84

bin TL (

84.000

TL).

Risk primini bulmak için yatırımın ortalama getirisinin bilinmesi gerekir.

2

Yatırımın beklenen faydasını (E(U)) hesapla.

E(U) = 0,75 \times \sqrt{100} + 0,25 \times \sqrt{36} = 0,75 \times 10 + 0,25 \times 6 = 7,5 + 1,5 = 9

.

Kesinlik eşdeğerine ulaşmak için önce belirsizlik altındaki beklenen fayda düzeyi bulunmalıdır.

3

Kesinlik eşdeğerini (CE) bul.

U(CE) = 9 \implies \sqrt{CE} = 9 \implies CE = 81

bin TL (

81.000

TL).

Beklenen faydaya eşit fayda sağlayan kesin parasal tutar kesinlik eşdeğeridir.

4

Risk primini hesapla.

Risk Primi = EMV - CE = 84 - 81 = 3

bin TL (

3.000

TL).

Risk primi, karar vericinin riskten kaçınmak için beklenen değerden vazgeçmeye razı olduğu tutardır.

Anahtar Kavram

Kesinlik Eşdeğeri ve Risk Primi

Soru 52Soru →

Bir lojistik firması, yeni açılacak bir dağıtım merkezi için üç farklı lokasyon alternatifini ( $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ ) değerlendirmektedir. Karar sürecinde pazarın gelecekteki talep durumları (Düşük, Orta, Yüksek) dikkate alınmış ve firmaya ait doğrudan Fırsat Kaybı (Pişmanlık) matrisi aşağıdaki gibi oluşturulmuştur.

Talep durumlarının gerçekleşme olasılıkları sırasıyla; Düşük Talep için $0,40$ , Orta Talep için $0,50$ ve Yüksek Talep için $0,10$ olarak öngörülmektedir.

Lokasyon Alternatifi	Düşük Talep ( $P=0,40$ )	Orta Talep ( $P=0,50$ )	Yüksek Talep ( $P=0,10$ )
$L_1$	0	30	70
$L_2$	40	0	50
$L_3$	60	60	0

Firma yönetimi, pazar talebi hakkında kesin (tam) bilgi sağlayan bir pazar araştırması yaptırmayı düşünmektedir.

Buna göre, firmanın bu araştırma için ödemeyi kabul edebileceği maksimum tutar olan Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI) kaç birimdir?

7

21

50

54

61

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI), 21 birimdir.

Risk altında karar verme problemlerinde, Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI), matematiksel olarak her zaman minimum Beklenen Fırsat Kaybına (Min EOL) eşittir. Verilen matris zaten fırsat kaybı matrisi olduğu için doğrudan seçeneklerin beklenen değerleri alınır.

L_1

için

EOL = 22

,

L_2

için

EOL = 21

,

L_3

için

EOL = 54

olarak hesaplanır. Minimum değer

21

olduğu için

EVPI = 21

birim olur.

Adım Adım Çözüm

1

Teorik kuralı hatırlayın: Risk altında karar vermede Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI), her zaman minimum Beklenen Fırsat Kaybına (EOL) eşittir.

EVPI = \min(EOL)

denklemi kurulur.

Tablo doğrudan bir fırsat kaybı matrisi olarak verildiğinden, kâr matrisine dönüştürmeye gerek kalmadan kestirme yoldan çözüm yapılabilir.

2

L_1

alternatifi için Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerini hesaplayın.

EOL(L_1) = 0(0,40) + 30(0,50) + 70(0,10) = 0 + 15 + 7 = 22

Her bir sonucun fırsat kaybı değeri, gerçekleşme olasılığı ile çarpılarak toplanır.

3

L_2

alternatifi için Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerini hesaplayın.

EOL(L_2) = 40(0,40) + 0(0,50) + 50(0,10) = 16 + 0 + 5 = 21

Her bir sonucun fırsat kaybı değeri, gerçekleşme olasılığı ile çarpılarak toplanır.

4

L_3

alternatifi için Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerini hesaplayın.

EOL(L_3) = 60(0,40) + 60(0,50) + 0(0,10) = 24 + 30 + 0 = 54

Her bir sonucun fırsat kaybı değeri, gerçekleşme olasılığı ile çarpılarak toplanır.

5

Hesaplanan EOL değerleri arasından en küçük olanı (minimumu) seçin.

Minimum

EOL = \min(22, 21, 54) = 21

olarak bulunur. Dolayısıyla

EVPI = 21

birimdir.

Minimum pişmanlık veren seçenek rasyonel karardır ve bu seçenek için katlanılan beklenen fırsat kaybı, tam bilginin değerini yansıtır.

Anahtar Kavram

Tam Bilginin Beklenen Değeri ile Fırsat Kaybı Arasındaki Matematiksel Denklik

Alternatif Yöntem

Öğrenciler, fırsat kaybı matrisini kurgusal bir kâr matrisine çevirerek de soruyu çözebilir. Fırsat kaybı, 'Sütun Maksimum Kârı - Kâr' olarak tanımlandığından, her bir durum için sütun maksimum kârını

100

birim farz edelim.

L_1

için kârlar

(100, 70, 30)

,

L_2

için

(60, 100, 50)

,

L_3

için

(40, 40, 100)

şeklinde kurgusal bir kâr matrisi oluşturulup klasik

EVPI = EVwPI - MaxEMV

hesaplanırsa yine aynı sonuç (21) elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 53Soru →

Bir enerji dağıtım firması, önümüzdeki 5 yıllık altyapı yatırım planını hazırlarken üç farklı dış faktörü analize dâhil etmiştir:

I. Piyasada faaliyet gösteren en büyük rakip firmanın pazar payını artırmak için fiyat kırma stratejisi uygulaması.
II. İlgili bölgedeki rüzgâr santrallerinin üretim kapasitesini doğrudan etkileyecek meteorolojik şartların, geçmiş verilere dayalı istatistiksel analizler sonucunda %30 oranında kurak geçme ihtimali olması.
III. Henüz mecliste görüşülmeyen ve sektöre getireceği yükümlülükler hakkında hiçbir nesnel veriye veya geçmiş tecrübeye dayalı olasılık ataması yapılamayan yeni regülasyon taslağı.

Buna göre; firmanın I, II ve III numaralı durumları modellemek için yöneylem araştırmasında kullanması gereken karar verme ortamları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Çatışma, Risk, Belirsizlik

Çatışma, Belirsizlik, Risk

Belirsizlik, Risk, Çatışma

Risk, Belirsizlik, Çatışma

Belirlilik, Risk, Belirsizlik

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çatışma, Risk, Belirsizlik

Cevap

Doğru sıralama 'Çatışma, Risk, Belirsizlik' şeklinde olmalıdır.

Karar teorisinde ortamlar bilgi düzeyine göre dörde ayrılır. I. ifadede akılcı bir rakibin hamleleri analiz edildiğinden karar ortamı 'Çatışma'dır. II. ifadede geçmiş verilere dayanılarak doğa durumuna %30 olasılık atanabilmiştir, olasılıkların bilindiği bu durum 'Risk' ortamını tanımlar. III. ifadede ise doğa durumu (mevzuat) bilinmekle birlikte gerçekleşme olasılığına dair hiçbir atama yapılamamaktadır, bu da 'Belirsizlik' ortamının tam karşılığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

I. durumun karar ortamı analizi

Rasyonel bir rakibin pazar stratejisi değerlendirilmektedir.

Karşıt çıkarları olan akılcı karar vericilerin bulunduğu ve sonucun tarafların karşılıklı stratejilerine bağlı olduğu ortamlar 'çatışma' (oyun teorisi) ortamını ifade eder.

2

II. durumun karar ortamı analizi

Sonuçların ortaya çıkma olasılıkları (%30) geçmiş verilerle bilinmektedir.

Doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarının objektif (veri tabanlı) veya sübjektif olarak karar verici tarafından bilindiği ortamlar 'risk' ortamı olarak adlandırılır.

3

III. durumun karar ortamı analizi

Olasılık ataması yapılamayan, belirsiz bir yasal düzenleme durumu mevcuttur.

Karar vericinin olası doğa durumlarını bildiği ancak bunların gerçekleşme olasılıkları hakkında hiçbir fikrinin olmadığı veya veri eksikliğinden olasılık atayamadığı durumlar 'belirsizlik' ortamıdır.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamlarının Sınıflandırılması (Belirlilik, Risk, Belirsizlik, Çatışma)

Soru 54Soru →

Büyükşehir Belediyesi, artan atık yönetimi ihtiyacını karşılamak için yeni bir "Entegre Katı Atık Geri Dönüşüm Tesisi" kurma projesini değerlendirmektedir. Karar vericilerin önünde üç temel seçenek bulunmaktadır: Doğrudan tesisi kurmak, tesis kurulumundan önce bir pilot çalışma yapmak veya hiçbir şey yapmamak (projeyi iptal etmek).

Elde edilen finansal ve olasılıksal veriler şöyledir:
- Doğrudan Kurulum: Tesisin yatırım maliyeti $50$ Milyon TL'dir. Tesisin yüksek verimle çalışma (başarılı olma) olasılığı $\%50$ olup, bu durumda elde edilecek faaliyet gelirlerinin bugünkü değeri $150$ Milyon TL olacaktır. Düşük verimle çalışma (başarısız olma) durumunda ise faaliyet gelirlerinin bugünkü değeri $10$ Milyon TL'de kalacaktır.
- Pilot Çalışma: Pilot çalışmanın maliyeti $4$ Milyon TL'dir. Pilot çalışmanın olumlu sonuçlanma olasılığı $\%50$ , olumsuz sonuçlanma olasılığı ise $\%50$ 'dir.
- Eğer pilot çalışma olumlu sonuçlanır ve ardından tesis kurulursa, tesisin başarılı olma olasılığı $\%80$ 'e yükselmektedir.
- Eğer pilot çalışma olumsuz sonuçlanır ve ardından tesis kurulursa, tesisin başarılı olma olasılığı $\%20$ 'ye düşmektedir.
- Tesis Kurulum Kararı: Belediye, pilot çalışmanın sonucu ne olursa olsun tesisi kurup kurmama kararı vermekte serbesttir. Pilot çalışma sonrasında tesis kurulmasına karar verilirse, kurulum maliyeti yine $50$ Milyon TL'dir. Tesis kurulmazsa, herhangi bir gelir elde edilmez ve kurulum maliyetine katlanılmaz (sadece pilot çalışma maliyeti ödenmiş olur).

Karar ağacı analizi ve Beklenen Parasal Değer (EMV) ölçütü kullanılarak optimal karar belirlenecektir.

Buna göre, belediyenin elde edeceği en yüksek Beklenen Parasal Değer (EMV) ve optimal kararı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Pilot çalışma yapmak, EMV = 32 Milyon TL

Doğrudan tesis kurmak, EMV = 30 Milyon TL

Pilot çalışma yapmak, EMV = 36 Milyon TL

Doğrudan tesis kurmak, EMV = 80 Milyon TL

Pilot çalışma yapmak, EMV = 76 Milyon TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pilot çalışma yapmak, EMV = 32 Milyon TL

Cevap

En yüksek Beklenen Parasal Değer (EMV) 32 Milyon TL ile Pilot çalışma yapmak alternatifindedir.

Karar ağacı geriye doğru çözüldüğünde en yüksek beklenen değerin hangi alternatifte olduğu bulunur. Doğrudan kurulumun beklenen net değeri 30 Milyon TL'dir. Pilot çalışma yapılması durumunda, olumsuz bir sonuç gelirse belediye projeyi iptal ederek zararı önleyebilir. Bu iptal seçeneği göz önüne alındığında pilot çalışmanın getireceği şans düğümünün değeri 36 Milyon TL olur. Pilot çalışmanın 4 Milyon TL'lik maliyeti çıkarıldığında net EMV 32 Milyon TL bulunur. 32 > 30 olduğundan optimal karar pilot çalışma yapmaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrudan tesis kurma alternatifinin Beklenen Parasal Değeri (EMV) hesaplanır.

EMV_{Do\breve{g}rudan} = (0.50 \times (150 - 50)) + (0.50 \times (10 - 50)) = (0.50 \times 100) + (0.50 \times -40) = 50 - 20 = 30

Milyon TL.

Yatırım kararlarında faaliyet gelirinden yatırım maliyeti düşülerek net kazanç veya kayıplar üzerinden beklenen değer bulunur.

2

Pilot çalışma sonrasında elde edilen bilgiye göre 'Kur' veya 'Kurma' kararlarının değerleri hesaplanır.

Pilot Olumlu İse: Kurarsak EMV

= (0.80 \times 100) + (0.20 \times -40) = 80 - 8 = 72

Milyon TL. Kurmazsak

0

. Maksimum(72, 0)

= 72

Milyon TL.
Pilot Olumsuz İse: Kurarsak EMV

= (0.20 \times 100) + (0.80 \times -40) = 20 - 32 = -12

Milyon TL. Kurmazsak

0

. Maksimum(-12, 0)

= 0

Milyon TL.

Geriye doğru çözümleme (backward induction) prensibine göre karar düğümlerinde her zaman beklenen değeri en yüksek olan alternatif seçilir. Negatif beklenen değer durumunda zarardan kaçınmak için tesis kurulmaz.

3

Pilot çalışma şans düğümünün değeri ve net Beklenen Parasal Değeri hesaplanır.

Pilot Dalı Brüt EMV

= (0.50 \times 72) + (0.50 \times 0) = 36

Milyon TL. Net EMV

= 36 - 4

(Pilot Maliyeti)

= 32

Milyon TL.

Pilot çalışmanın nihai değerini bulmak için şans düğümündeki beklenen değerden pilot çalışmanın kendi maliyeti çıkarılır.

4

Tüm ana alternatifler karşılaştırılarak optimal karar belirlenir.

Doğrudan Kurulum (

30

Milyon TL), Pilot Çalışma (

32

Milyon TL) ve Hiçbir Şey Yapmamak (

0

Milyon TL) karşılaştırılır. En yüksek değer Pilot Çalışma alternatifindedir.

Beklenen Parasal Değer (EMV) kriterine göre her zaman değeri en yüksek olan seçenek rasyonel karar olarak kabul edilir.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçlarında Geriye Doğru Çözüm (Backward Induction) ve Beklenen Parasal Değer (EMV)

Soru 55Soru →

Bir Kamu İktisadi Teşebbüsü (KİT), yeni geliştirdiği endüstriyel bir ürün için gelecek yılın üretim hacmine karar verecektir. Talebin durumuna göre elde edilecek net kâr değerleri (milyon TL) ve talebin gerçekleşme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretim Alternatifleri	Düşük Talep ( $T_1$ ) $p=0,20$	Orta Talep ( $T_2$ ) $p=0,50$	Yüksek Talep ( $T_3$ ) $p=0,30$
Düşük Üretim ( $U_1$ )	$40$	$45$	$50$
Orta Üretim ( $U_2$ )	$20$	$70$	$80$
Yüksek Üretim ( $U_3$ )	$-10$	$50$	$120$

Buna göre, Beklenen Fırsat Kaybı (Beklenen Pişmanlık) ölçütüne göre karar verildiğinde seçilmesi gereken optimum alternatif ve bu alternatifin beklenen fırsat kaybı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

U_2

alternatifi;

16

U_2

alternatifi;

63

U_3

alternatifi;

20

U_1

alternatifi;

33,5

U_1

alternatifi;

4,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $U_2$ alternatifi; $16$

Cevap

Beklenen Fırsat Kaybı ölçütüne göre optimum seçenek, en düşük beklenen fırsat kaybı değerine sahip olan

U_2

alternatifidir ve bu değer

16

milyon TL'dir.

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) hesabı için öncelikle kar matrisinin her sütunundaki (doğa durumu) en büyük değer tespit edilir (

T_1

için

40

,

T_2

için

70

,

T_3

için

120

). Sütun elemanları bu maksimum değerden çıkarılarak fırsat kaybı matrisi elde edilir.

U_2

satırı için fırsat kayıpları sırasıyla

40-20=20

,

70-70=0

ve

120-80=40

olur. Bu değerler ilgili olasılıklarla (

0,20

,

0,50

,

0,30

) çarpılıp toplandığında

U_2

'nin beklenen fırsat kaybı

EOL(U_2) = (20 \times 0,20) + (0 \times 0,50) + (40 \times 0,30) = 4 + 0 + 12 = 16

bulunur. Diğer alternatiflerin değerleri hesaplandığında

EOL(U_1)=33,5

ve

EOL(U_3)=20

bulunur. Minimum beklenen fırsat kaybı

16

olduğu için optimum karar

U_2

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Kar matrisinden Fırsat Kaybı (Pişmanlık) matrisinin oluşturulması.

Her bir doğa durumu (sütun) için en yüksek kâr değeri belirlenir.

T_1

için

40

,

T_2

için

70

,

T_3

için

120

. Bu değerlerden o sütundaki diğer kâr değerleri çıkarılarak fırsat kayıpları bulunur.

Fırsat kaybı, belirli bir doğa durumunda en iyi kararı vermemiş olmaktan kaynaklanan kazanç kaybını ifade eder.

2

Fırsat Kaybı matrisi değerlerinin tabloya aktarılması.

U_1

için:

(40-40=0)

,

(70-45=25)

,

(120-50=70)

.

U_2

için:

(40-20=20)

,

(70-70=0)

,

(120-80=40)

.

U_3

için:

(40 - (-10) = 50)

,

(70-50=20)

,

(120-120=0)

.

Her bir alternatifin farklı durumlarda yaratacağı pişmanlık değerlerini görmek için gereklidir.

3

Her alternatif için Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerlerinin hesaplanması.

EOL(U_1) = (0,20 \times 0) + (0,50 \times 25) + (0,30 \times 70) = 0 + 12,5 + 21 = 33,5

.

EOL(U_2) = (0,20 \times 20) + (0,50 \times 0) + (0,30 \times 40) = 4 + 0 + 12 = 16

.

EOL(U_3) = (0,20 \times 50) + (0,50 \times 20) + (0,30 \times 0) = 10 + 10 + 0 = 20

.

Alternatiflerin risk altında uzun dönem ortalama fırsat kaybını bulmak için olasılıklarla ağırlıklandırılmış toplamları alınır.

4

Optimum alternatifin seçilmesi.

Minimum

EOL

değeri

16

olduğu için

U_2

alternatifi seçilir.

Beklenen Fırsat Kaybı ölçütünde amaç, olası kayıpların beklenen değerini minimize etmektir (Min EOL).

Anahtar Kavram

Beklenen Fırsat Kaybı (Expected Opportunity Loss - EOL)

Soru 56Soru →

Sağlık Bakanlığı Halk Sağlığı Genel Müdürlüğü, nadir görülen bir hastalık için ülke çapında uygulanacak yeni bir tarama programı stratejisini belirlemek üzere karar ağacı analizi yapmaktadır. Kurumun önünde üç temel seçenek bulunmaktadır:

1. Mevcut Standart Tarama: Kesin olarak $100$ Milyon TL net toplumsal fayda sağlamaktadır.
2. Doğrudan Yapay Zeka (YZ) Destekli Tarama: Başarılı olma olasılığı $\%60$ , başarısız olma olasılığı ise $\%40$ 'tır. Başarılı olursa $300$ Milyon TL fayda sağlayacak, başarısız olursa $-100$ Milyon TL (zarar) getirecektir.
3. Ön Pilot Çalışma Yapılması: $20$ Milyon TL başlangıç maliyetiyle bir pilot bölgede test yapılmasıdır.
- Pilot çalışmanın 'Olumlu' sonuçlanma olasılığı $\%50$ , 'Olumsuz' sonuçlanma olasılığı $\%50$ 'dir.
- Pilot çalışma 'Olumlu' sonuçlanırsa, ardından YZ Destekli Tarama uygulanması durumunda başarı olasılığı $\%90$ 'a çıkmakta (başarısızlık $\%10$ ) olmaktadır.
- Pilot çalışma 'Olumsuz' sonuçlanırsa, ardından YZ Destekli Tarama uygulanması durumunda başarı olasılığı $\%30$ 'a düşmekte (başarısızlık $\%70$ ) olmaktadır.
- Pilot çalışma sonrasında (sonuç ne olursa olsun) kurum, YZ Destekli Tarama ile Mevcut Standart Tarama ( $100$ Milyon TL) arasında nihai kararını verecektir.

Buna göre, beklenen parasal değer (EMV) ölçütüne göre geriye doğru tümevarım (backward induction) uygulandığında, kurumun seçmesi gereken en uygun strateji ve bu stratejinin net EMV değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 160 Milyon TL

Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 180 Milyon TL

Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 120 Milyon TL

Doğrudan Yapay Zeka (YZ) destekli taramaya geçilmesi; Net EMV = 140 Milyon TL

Mevcut standart taramaya devam edilmesi; Net EMV = 100 Milyon TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pilot çalışma yapılması; Net EMV = 160 Milyon TL

Cevap

En uygun strateji Pilot çalışma yapılmasıdır ve Net EMV değeri 160 Milyon TL'dir.

Karar ağacı geriye doğru çözüldüğünde; Standart Taramanın EMV'si 100, Doğrudan YZ'nin EMV'si 140'tır. Pilot çalışma dalında ise, 'Olumlu' sonuçta YZ tercih edilerek 260 Milyon TL, 'Olumsuz' sonuçta ise Standart tercih edilerek 100 Milyon TL garanti altına alınır. Bu dalın şans düğümü (0.5*260 + 0.5*100) = 180 Milyon TL değer üretir. 20 Milyon TL'lik pilot test maliyeti çıkarıldığında Net EMV 160 Milyon TL olur. En yüksek beklenen getiri Pilot Çalışma seçeneğindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrudan YZ Destekli Tarama seçeneğinin Beklenen Parasal Değerini (EMV) hesaplamak.

EMV =

(0.6 \times 300) + (0.4 \times -100) = 180 - 40 = 140

Milyon TL.

Şans düğümünde her bir sonucun getirisini kendi olasılığı ile çarparak toplam beklenen değeri buluruz.

2

Pilot çalışmanın 'Olumlu' ve 'Olumsuz' sonuçlanması durumlarındaki 2. aşama karar düğümlerini (Maksimum EMV) belirlemek.

Olumlu dalda:

\max((0.9 \times 300) + (0.1 \times -100), 100) = \max(260, 100) = 260

(YZ seçilir). Olumsuz dalda:

\max((0.3 \times 300) + (0.7 \times -100), 100) = \max(20, 100) = 100

(Standart seçilir).

Karar düğümlerinde (kare düğümler), karar verici alternatifler arasından en yüksek EMV'ye sahip olanı rasyonel olarak tercih eder.

3

Pilot çalışmanın ana şans düğümünün beklenen değerini hesaplayıp başlangıç maliyetini düşerek net EMV'yi bulmak.

Beklenen Değer =

(0.5 \times 260) + (0.5 \times 100) = 130 + 50 = 180

Milyon TL. Net EMV =

180 - 20 = 160

Milyon TL.

Pilot çalışmanın her iki dalının optimum getirileri kendi olasılıklarıyla çarpılır ve stratejinin net değerini bulmak için pilot çalışma maliyeti sonuçtan çıkarılır.

4

Başlangıçtaki üç ana alternatifin EMV değerlerini karşılaştırarak en uygun stratejiyi seçmek.

\max(100, 140, 160) = 160

. En yüksek değer Pilot Çalışma seçeneğine aittir.

Geriye doğru tümevarım kuralına göre kök karar düğümünde EMV'si en büyük olan alternatif nihai karar olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Karar Ağaçlarında Geriye Doğru Tümevarım (Backward Induction) ve Beklenen Değer

Soru 57Soru →

Bir ilaç şirketi, yaklaşan kış sezonu için üreteceği yeni bir grip aşısının üretim planlamasını yapmaktadır. Şirket, üç farklı üretim stratejisinden ( $S_1$ : Yüksek Kapasite, $S_2$ : Orta Kapasite, $S_3$ : Düşük Kapasite) birini seçecektir. Pazardaki talep durumu ise üç farklı senaryoda ( $N_1$ : Yüksek Talep, $N_2$ : Normal Talep, $N_3$ : Düşük Talep) gerçekleşebilir.

Bu durumlar için tahmin edilen olasılıklar sırasıyla $P(N_1) = 0.3$ , $P(N_2) = 0.5$ ve $P(N_3) = 0.2$ şeklindedir. Şirketin her bir strateji ve talep durumu kombinasyonu için hesapladığı kâr (milyon TL) ödeme matrisi aşağıda verilmiştir:

Üretim Stratejisi	Yüksek Talep ( $N_1$ )	Normal Talep ( $N_2$ )	Düşük Talep ( $N_3$ )
$S_1$	120	40	-20
$S_2$	80	70	10
$S_3$	40	40	30

Buna göre, bu karar problemi için tam bilginin beklenen değeri (EVPI) kaç milyon TL'dir?

16

20

25

61

77

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Tam bilginin beklenen değeri (EVPI) 16 milyon TL'dir.

Tam bilginin beklenen değeri (EVPI), tam bilgi altındaki beklenen getiri (EVwPI) ile risk altındaki maksimum beklenen getiri (Max EMV) arasındaki farktır.

Öncelikle her bir strateji için beklenen değerler (EMV) hesaplanır:
-

EMV(S_1) = 120(0.3) + 40(0.5) + (-20)(0.2) = 36 + 20 - 4 = 52

-

EMV(S_2) = 80(0.3) + 70(0.5) + 10(0.2) = 24 + 35 + 2 = 61

-

EMV(S_3) = 40(0.3) + 40(0.5) + 30(0.2) = 12 + 20 + 6 = 38

Maksimum EMV = 61 (

S_2

stratejisi).

Ardından tam bilgi altındaki beklenen değer (EVwPI) hesaplanır. Her durum için o durumdaki maksimum kâr seçilir:
-

N_1

için maksimum 120 (

S_1

)
-

N_2

için maksimum 70 (

S_2

)
-

N_3

için maksimum 30 (

S_3

)

EVwPI = 120(0.3) + 70(0.5) + 30(0.2) = 36 + 35 + 6 = 77

.

Son olarak:

EVPI = EVwPI - Max(EMV) = 77 - 61 = 16

bulunur. Alternatif olarak, Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) matrisi oluşturularak bulunan minimum EOL değeri de doğrudan 16 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Her strateji için risk altındaki beklenen değeri (EMV) hesaplamak

EMV(S_1) = 52

,

EMV(S_2) = 61

,

EMV(S_3) = 38

. Maksimum beklenen değer 61'dir.

Tam bilgi olmadan elde edilebilecek en yüksek beklenen kârı belirlemek için.

2

Tam bilgi altındaki beklenen değeri (EVwPI) hesaplamak

Her durum için en yüksek kâr değerleri:

N_1

için 120,

N_2

için 70,

N_3

için 30.

EVwPI = 120(0.3) + 70(0.5) + 30(0.2) = 77

.

Talep durumları önceden kesin olarak bilinseydi elde edilecek ortalama kârı hesaplamak için.

3

Tam bilginin beklenen değerini (EVPI) bulmak

EVPI = EVwPI - Max(EMV) = 77 - 61 = 16

.

Tam bilginin karar vericiye sağladığı ilave katkıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI)

Soru 58Soru →

Bir havayolu şirketi, yeni açılacak bir dış hat uçuş rotasında kullanılmak üzere kiralayacağı uçak tipine karar verecektir. Talebin "Düşük", "Orta" ve "Yüksek" olma olasılıkları sırasıyla $0.2$ , $0.5$ ve $0.3$ olarak tahmin edilmiştir. Üç farklı kiralama alternatifi ( $A_1$ : Dar Gövdeli, $A_2$ : Geniş Gövdeli, $A_3$ : Karma Filo) için elde edilecek net kâr matrisi (milyon TL) aşağıda verilmiştir:

Alternatif	Düşük Talep ( $0.2$ )	Orta Talep ( $0.5$ )	Yüksek Talep ( $0.3$ )
$A_1$	40	70	70
$A_2$	-10	50	140
$A_3$	20	80	100

Şirket yönetimi, kiralama kararını Beklenen Fırsat Kaybı (Beklenen Pişmanlık - EOL) ölçütüne göre verecektir.

Buna göre, her bir alternatifin beklenen fırsat kaybı (EOL) değerleri ve seçilmesi gereken en uygun alternatif aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

EOL(

A_1

) = 26, EOL(

A_2

) = 25, EOL(

A_3

) = 16 (Seçim:

A_3

)

EOL(

A_1

) = 64, EOL(

A_2

) = 65, EOL(

A_3

) = 74 (Seçim:

A_3

)

EOL(

A_1

) = 6, EOL(

A_2

) = 75, EOL(

A_3

) = 26 (Seçim:

A_1

)

EOL(

A_1

) = 20, EOL(

A_2

) = 21, EOL(

A_3

) = 30 (Seçim:

A_1

)

EOL(

A_1

) = 80, EOL(

A_2

) = 80, EOL(

A_3

) = 60 (Seçim:

A_3

)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: EOL( $A_1$ ) = 26, EOL( $A_2$ ) = 25, EOL( $A_3$ ) = 16 (Seçim: $A_3$ )

Cevap

EOL(

A_1

) = 26, EOL(

A_2

) = 25, EOL(

A_3

) = 16 değerleri elde edilir ve en küçük değere sahip olan Karma Filo alternatifi (

A_3

) seçilir.

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) ölçütünde karar vermek için öncelikle her bir doğa durumu (sütun) için en yüksek kâr değeri (Düşük: 40, Orta: 80, Yüksek: 140) bulunur. Matristeki her bir değer, bulunduğu sütunun en yüksek değerinden çıkarılarak Fırsat Kaybı matrisi elde edilir. Bu kayıplar ilgili durumun olasılıkları (

0.2

,

0.5

,

0.3

) ile çarpılıp toplanır. A1 için

0+5+21=26

, A2 için

10+15+0=25

, A3 için

4+0+12=16

bulunur. EOL ölçütünde amaç kaybı minimize etmek olduğundan en düşük değere sahip olan Karma Filo (

A_3

) alternatifi seçilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir doğa durumu (sütun) için elde edilebilecek en yüksek kâr (getiri) değerini belirle.

Düşük Talep için en yüksek 40 (

A_1

), Orta Talep için 80 (

A_3

), Yüksek Talep için 140'tır (

A_2

).

Fırsat kaybı (pişmanlık) matrisini oluşturmak için o durum gerçekleştiğinde alınabilecek en iyi sonucun referans alınması gerekir.

2

Her bir kâr değerini, bulunduğu sütunun en yüksek değerinden çıkararak Fırsat Kaybı (Pişmanlık) matrisini oluştur.

A_1

için: (40-40=0), (80-70=10), (140-70=70).

A_2

için: (40-(-10)=50), (80-50=30), (140-140=0).

A_3

için: (40-20=20), (80-80=0), (140-100=40).

Bu işlem, "Eğer bu durumu önceden bilseydim en iyi seçimi yapardım, şu anki seçimimle ne kadar kâr kaçırdım?" sorusunun matematiksel karşılığıdır.

3

Elde edilen matristeki kayıp değerlerini doğa durumu olasılıklarıyla çarparak her alternatifin Beklenen Fırsat Kaybını (EOL) hesapla.

EOL(

A_1

) = (0.2 * 0) + (0.5 * 10) + (0.3 * 70) = 0 + 5 + 21 = 26
EOL(

A_2

) = (0.2 * 50) + (0.5 * 30) + (0.3 * 0) = 10 + 15 + 0 = 25
EOL(

A_3

) = (0.2 * 20) + (0.5 * 0) + (0.3 * 40) = 4 + 0 + 12 = 16

Belirsizlik altında risk hesaplanırken, beklenen değeri bulmak için olasılıklarla ağırlıklandırılmış ortalama alınır.

4

Karar ölçütüne uygun olan alternatifi seç.

Min(26, 25, 16) = 16 olduğundan en uygun alternatif

A_3

'tür.

Fırsat kaybı (pişmanlık) bir maliyet unsuru olduğu için bu ölçütte amaç beklenen değeri en aza indirmektir (Minimizasyon).

Anahtar Kavram

Beklenen Fırsat Kaybı (Expected Opportunity Loss - EOL) Karar Kriteri

Alternatif Yöntem

Matematiksel bir kural olarak Tam Bilgi Altında Beklenen Değer (EVPI), her alternatif için Beklenen Parasal Değer (EMV) ile Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) toplamına eşittir (EVPI = EMV + EOL). Önce tüm EMV değerleri, ardından tek bir EVPI değeri hesaplanarak çıkartma işlemiyle doğrudan EOL değerlerine de ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 59Soru →

Bir devlet hastanesi yönetimi, yıllık bütçe planlaması kapsamında belirli bir tıbbi sarf malzemesinin tedariki için üç farklı sözleşme stratejisini (Aylık Alım, 6 Aylık Sözleşme, Yıllık Sözleşme) değerlendirmektedir. Hastanenin söz konusu malzeme için talebi düşük, orta veya yüksek seviyede gerçekleşebilmektedir. Yönetim tarafından yapılan analizler sonucunda, farklı talep durumlarına ve sözleşme stratejilerine göre hesaplanan yıllık tahmini maliyetler (bin TL) ve talep olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sözleşme Stratejisi	Düşük Talep ( $0,30$ )	Orta Talep ( $0,50$ )	Yüksek Talep ( $0,20$ )
Aylık Alım ( $S_1$ )	50	120	200
6 Aylık Sözleşme ( $S_2$ )	80	100	140
Yıllık Sözleşme ( $S_3$ )	110	110	110

Buna göre, hastane yönetiminin talep durumunu önceden kesin olarak bilmesi durumunda elde edeceği tam bilginin beklenen değeri (EVPI) kaç bin TL'dir?

15

28

87

102

115

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15

Verilen tablo bir maliyet matrisidir. Öncelikle belirsizlik altındaki en iyi karar için her stratejinin beklenen değeri (EMV) hesaplanır:

S_1

için

115

,

S_2

için

102

ve

S_3

için

110

. En düşük maliyet

S_2

stratejisine aittir (EVwoPI =

102

). Tam bilgi sağlandığında her durum için en düşük maliyetli seçenekler tercih edilir (Düşük:

50

, Orta:

100

, Yüksek:

110

). Bu durumda tam bilgi altındaki beklenen değer (EVwPI)

0,3(50) + 0,5(100) + 0,2(110) = 87

olur. Tam bilginin beklenen değeri (EVPI), EVwoPI ile EVwPI arasındaki farktır:

102 - 87 = 15

. Aynı sonuç fırsat kaybı (EOL) matrisi oluşturularak da bulunabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir strateji için beklenen değeri (EMV) hesaplayın ve en iyi (minimum) stratejiyi bulun.

EMV(S1) = 0,3(50) + 0,5(120) + 0,2(200) = 115. EMV(S2) = 0,3(80) + 0,5(100) + 0,2(140) = 102. EMV(S3) = 0,3(110) + 0,5(110) + 0,2(110) = 110. Minimum beklenen maliyet EVwoPI = 102'dir.

Tablodaki veriler maliyet olduğu için en düşük beklenen maliyeti veren strateji seçilmelidir.

2

Her bir doğa durumu (talep seviyesi) için en düşük maliyeti belirleyin.

Düşük Talepte minimum = 50, Orta Talepte minimum = 100, Yüksek Talepte minimum = 110.

Tam bilgiye sahip olunduğunda, gerçekleşecek her durum için maliyeti en aza indiren strateji önceden seçilir.

3

Tam bilgi altındaki beklenen değeri (EVwPI) hesaplayın.

EVwPI = 0,3(50) + 0,5(100) + 0,2(110) = 15 + 50 + 22 = 87.

Kesin bilinen durumların en düşük maliyetleri olasılıklarıyla çarpılarak tam bilgi altındaki maliyet bulunur.

4

Tam bilginin beklenen değerini (EVPI) hesaplayın.

EVPI = |EVwoPI - EVwPI| = 102 - 87 = 15.

Tam bilginin değeri, belirsizlik altındaki en iyi beklenen maliyet ile tam bilgi sağlandığındaki maliyetin farkıdır.

Anahtar Kavram

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI) ve Maliyet Matrisleri

Alternatif Yöntem

Soruyu Fırsat Kaybı (Beklenen Pişmanlık - EOL) matrisi oluşturarak da çözebilirsiniz. Maliyet matrisi olduğu için her bir durumdaki 'Gerçekleşen Maliyet - O Durumdaki Minimum Maliyet' işlemiyle EOL matrisi hesaplanır.
- Düşük Talep için min=50:

S_1=0

,

S_2=30

,

S_3=60

- Orta Talep için min=100:

S_1=20

,

S_2=0

,

S_3=10

- Yüksek Talep için min=110:

S_1=90

,

S_2=30

,

S_3=0

Beklenen Fırsat Kayıpları hesaplandığında:

EOL(S_1) = 0,3(0) + 0,5(20) + 0,2(90) = 28

EOL(S_2) = 0,3(30) + 0,5(0) + 0,2(30) = 15

EOL(S_3) = 0,3(60) + 0,5(10) + 0,2(0) = 23

EVPI, daima minimum EOL değerine eşit olduğundan cevap

15

'tir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 60Soru →

Ulusal bir perakende zinciri, tedarik zinciri süreçlerini optimize etmek amacıyla yeni bir envanter yönetim sistemi altyapısı kurmayı planlamaktadır. Şirket yönetimi üç farklı sistem alternatifi ( $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ ) üzerinde durmaktadır. Bu yatırımdan elde edilecek net getiri, gelecek yılki e-ticaret talep düzeyine (Yüksek, Orta, Düşük) bağlı olarak değişecektir. Yönetim, pazar araştırmaları sonucunda e-ticaret talebinin %40 olasılıkla yüksek ( $S_1$ ), %50 olasılıkla orta ( $S_2$ ) ve %10 olasılıkla düşük ( $S_3$ ) olacağını öngörmektedir.

Farklı talep durumlarında alternatif sistemlerin sağlayacağı öngörülen net kazançlar (milyon TL cinsinden) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sistem Alternatifleri	$S_1$ (Yüksek)	$S_2$ (Orta)	$S_3$ (Düşük)
$A_1$ : Bulut Tabanlı Sistem	200	150	80
$A_2$ : Yapay Zeka Destekli Sistem	350	100	-50
$A_3$ : Yerel (On-Premise) Sistem	120	140	110

Pazar araştırma şirketinin, gelecek yılki talep düzeyi hakkında kesin (tam) bilgi sağlayacak bir rapor sunması söz konusudur.

Buna göre, şirket yönetiminin bu kesin bilgi raporu için ödemeye razı olacağı maksimum tutar (Tam Bilginin Beklenen Değeri - EVPI) kaç milyon TL'dir?

31

63

41

185

226

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

41

Tam bilginin beklenen değeri (EVPI), Tam Bilgi Altındaki Beklenen Değer (EVwPI) ile Maksimum Beklenen Değer (Max EMV) arasındaki farka eşittir. Hesaplamalar sonucunda EVwPI = 226 milyon TL ve risk altındaki en iyi karar olan

A_2

'nin beklenen değeri (Max EMV) = 185 milyon TL olarak bulunur. Bu nedenle, bilginin değeri: EVPI =

226 - 185 = 41

milyon TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir talep durumu için en yüksek getiriyi belirleyerek Tam Bilgi Altındaki Beklenen Değeri (EVwPI) hesaplayın.

S_1

için maksimum 350 (

A_2

),

S_2

için maksimum 150 (

A_1

),

S_3

için maksimum 110 (

A_3

).
EVwPI =

350(0.4) + 150(0.5) + 110(0.1) = 140 + 75 + 11 = 226

.

Tam bilginin sağladığı teorik maksimum getiriyi bulmak için her durumun en iyi sonucunun o durumun olasılığıyla çarpılması gerekir.

2

Mevcut risk ortamında her bir alternatif için Beklenen Değeri (EMV) hesaplayıp maksimum olanı bulun.

EMV(

A_1

) =

200(0.4) + 150(0.5) + 80(0.1) = 80 + 75 + 8 = 163

EMV(

A_2

) =

350(0.4) + 100(0.5) - 50(0.1) = 140 + 50 - 5 = 185

EMV(

A_3

) =

120(0.4) + 140(0.5) + 110(0.1) = 48 + 70 + 11 = 129

Maksimum EMV = 185 (

A_2

).

Ek bilgi alınmadığında karar vericinin risk altında elde edebileceği en yüksek beklenen getiriyi belirlemek için gereklidir.

3

Tam Bilginin Beklenen Değerini (EVPI), EVwPI değerinden Maksimum EMV değerini çıkararak hesaplayın.

EVPI =

226 - 185 = 41

milyon TL.

Kesin (tam) bilginin parasal değeri, tam bilginin getirdiği toplam değer ile mevcut durumdaki en iyi kararın beklenen değeri arasındaki farka eşittir.

Anahtar Kavram

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI) ve Fırsat Kaybı (EOL) Matrisi Analizi

Alternatif Yöntem

EVPI aynı zamanda Minimum Beklenen Fırsat Kaybına (Min EOL) eşittir. Ödeme matrisinden her sütunun (talep durumunun) maksimum değerinden ilgili satırdaki değerler çıkarılarak EOL matrisi oluşturulur.

A_2

(Yapay Zeka) alternatifi için fırsat kayıpları sırasıyla:

S_1

'de

350-350=0

,

S_2

'de

150-100=50

,

S_3

'te

110-(-50)=160

'tır. EOL(

A_2

) =

0(0.4) + 50(0.5) + 160(0.1) = 0 + 25 + 16 = 41

olarak minimum beklenen fırsat kaybını ve doğrudan EVPI değerini verir.

Tahmini Süre:2m 30s

Karar ve Oyun Teorisi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap