Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + b
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark kaçtır?

  1. A
    −4-4
  2. B
    00
  3. C
    22
  4. 44Cevap
  5. E
    88

Cevap

Yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark 4'tür.
Fonksiyonun türevinin kökleri olan x=a−1x = a - 1 (yerel maksimum) ve x=a+1x = a + 1 (yerel minimum) noktaları fonksiyonda yerine yazıldığında, elde edilen yerel maksimum değeri a3−3a+2+ba^3 - 3a + 2 + b ve yerel minimum değeri a3−3a−2+ba^3 - 3a - 2 + b olmaktadır. Bu iki değerin farkı hesaplandığında parametreler sadeleşir ve sonuç 44 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları bulunuz.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=3(x2−2ax+a2−1)=3(x−a+1)(x−a−1)=0  ⟹  x1=a−1f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3(x^2 - 2ax + a^2 - 1) = 3(x - a + 1)(x - a - 1) = 0 \implies x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası adaylarıdır.
2
Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum ve minimum noktalarını belirleyiniz.
x=a−1x = a - 1 yerel maksimum noktası, x=a+1x = a + 1 yerel minimum noktasıdır.
Türevin başkatsayısı pozitif olduğundan, türevin işareti x=a−1x = a - 1 noktasında artıdan eksiye, x=a+1x = a + 1 noktasında ise eksiden artıya geçmektedir.
3
Bulunan noktaları fonksiyonda yerine yazıp yerel ekstremum değerlerini hesaplayınız ve farkını bulunuz.
f(a−1)=a3−3a+2+bf(a - 1) = a^3 - 3a + 2 + b ve f(a+1)=a3−3a−2+bf(a + 1) = a^3 - 3a - 2 + b elde edilir. Bu iki değerin farkı: f(a−1)−f(a+1)=(a3−3a+2+b)−(a3−3a−2+b)=4f(a - 1) - f(a + 1) = (a^3 - 3a + 2 + b) - (a^3 - 3a - 2 + b) = 4 bulunur.
Soruda istenen yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki farkı elde etmek için bu iki değer birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru