f gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, h(x) = f(x^2 + x) \neşitliği veriliyor. f'(2) = 5 olduğuna göre, h'(1) değeri kaçtır?

f gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, h(x) = f(x^2 + x) \ne… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f$ gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

h(x) = f(x^2 + x)

eşitliği veriliyor.

$f'(2) = 5$ olduğuna göre, $h'(1)$ değeri kaçtır?

A
5
B
8
C
10
15Cevap
E
25

Cevap

15 değeri doğrudur.

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre,

h(x) = f(g(x))

ise

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

olur. Burada

g(x) = x^2 + x

olarak seçildiğinde

g'(x) = 2x + 1

olur. Dolayısıyla

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)

elde edilir.

x = 1

için

h'(1) = f'(2) \cdot 3

olur. Bize

f'(2) = 5

olarak verildiğinden,

h'(1) = 5 \cdot 3 = 15

bulunur. Bu nedenle 15 cevabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (x^2 + x)'

yani

h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)

elde edilir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alındıktan sonra içteki fonksiyonun türevi ile çarpılması gerekir.

Elde edilen türev denkleminde x yerine 1 yazılır.

h'(1) = f'(1^2 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)

yani

h'(1) = f'(2) \cdot 3

elde edilir.

Bizden istenen

h'(1)

değerini hesaplamak için denklemde

x = 1

noktası değerlendirilir.

Verilen

f'(2) = 5

değeri yerine yazılarak çarpma işlemi tamamlanır.

h'(1) = 5 \cdot 3 = 15

bulunur.

Soruda verilen sayısal değerler kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken, dıştaki fonksiyonun türevi içine dokunulmadan yazılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru