Artan bir (a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında a_4 + a_{16} = 40 a_7 \cdot a_{13} … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Artan bir

(a_n)

aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{16} = 40

a_7 \cdot a_{13} = 364

eşitlikleri verilmektedir.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f(x)$ doğrusal fonksiyonu, her $n$ pozitif tam sayısı için $f(n) = a_n$ eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(8)$ değeri kaçtır?

Doğrusal fonksiyonun 8 noktasındaki değeri olan 16'dır.

Soruda verilen aritmetik dizi özelliklerinden yararlanılarak

a_{10} = 20

bulunur. Ardından

a_7

a_{13}

terimleri

a_{10}

cinsinden yazılarak ortak farkın karesi

r^2 = 4

elde edilir. Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark

r = 2

olarak seçilir. Dizinin genel terimi

a_n = 2n

olarak bulunur. Her

n

pozitif tam sayısı için

f(n) = a_n

sağlandığından doğrusal fonksiyon

f(x) = 2x

olur. Buradan

f(8) = 16

değeri elde edilir.

Dizinin indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi bulunuz.

a_4 + a_{16} = 2 \cdot a_{10} = 40 \implies a_{10} = 20

Aritmetik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (

4 + 16 = 2 \cdot 10

a_7

a_{13}

terimlerini

a_{10}

ve ortak fark

r

cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.

a_7 = 20 - 3r

a_{13} = 20 + 3r

yazılır. Çarpımları:

(20 - 3r)(20 + 3r) = 400 - 9r^2 = 364 \implies 9r^2 = 36 \implies r^2 = 4

. Dizi artan olduğu için

r > 0 \implies r = 2

bulunur.

a_7

a_{13}

terimleri

a_{10}

terimine göre simetrik konumdadır (

10 - 7 = 13 - 10 = 3

). Aritmetik dizinin artan olması ortak farkın pozitif olmasını gerektirir.

Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon ilişkisini kurarak istenen değeri hesaplayınız.

a_n = a_{10} + (n - 10)r \implies a_n = 20 + 2(n - 10) = 2n

olur.

f(n) = a_n

olduğundan

f(x) = 2x

doğrusal fonksiyonu elde edilir. Buradan

f(8) = 2 \cdot 8 = 16

bulunur.

Aritmetik dizinin genel terimi, derecesi 1 olan (doğrusal) bir fonksiyondur.

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve doğrusal fonksiyon ilişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru