Examkin

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

36 soru

Tüm türler36Çoktan seçmeli18Sayısal18
Soru 1Soru →

(an)(a_n) bir aritmetik dizi olmak üzere,

a5+a15=32a_5 + a_{15} = 32

olduğuna göre, bu dizinin a10a_{10} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Dizinin onuncu terimi 16 değerine eşittir.
Aritmetik dizilerde ap+aq=as+ata_p + a_q = a_s + a_t eşitliği p+q=s+tp + q = s + t durumu için her zaman geçerlidir. Sorumuzda 5+15=10+105 + 15 = 10 + 10 olduğundan, a5+a15=a10+a10=2⋅a10a_5 + a_{15} = a_{10} + a_{10} = 2 \cdot a_{10} yazılabilir. Bize a5+a15=32a_5 + a_{15} = 32 olarak verildiği için, 2⋅a10=322 \cdot a_{10} = 32 eşitliğinden a10=16a_{10} = 16 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizideki terimlerin indisleri arasındaki ilişkiyi belirleme
5+15=10+10=205 + 15 = 10 + 10 = 20 bağıntısı elde edilir.
Bir aritmetik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
2
İndis özelliğini kullanarak terimler arasında denklem kurma
a5+a15=2⋅a10a_5 + a_{15} = 2 \cdot a_{10} denklemi kurulur.
İndislerin toplamı eşit olduğundan, a5a_5 ve a15a_{15} terimlerinin toplamı, a10a_{10} teriminin 2 katına eşittir.
3
Verilen toplam değerini denklemde yerine yazarak bilinmeyen terimi hesaplama
32=2⋅a10⇒a10=1632 = 2 \cdot a_{10} \Rightarrow a_{10} = 16 bulunur.
a5+a15a_5 + a_{15} toplamı 3232 olarak verildiği için denklem çözülerek a10a_{10} elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide herhangi bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki (indisleri toplamı o terimin indisinin iki katı olan) terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir.
Soru 2Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a1+a11=16a_1 + a_{11} = 16

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu aritmetik dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: an=2n−4a_n = 2n - 4

Cevap

Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan dizi
Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan seçenek doğrudur. Aritmetik dizilerin indis özelliğine göre, birinci terim ile on birinci terimin toplamı, altıncı terimin iki katına eşittir (a1+a11=2a6a_1 + a_{11} = 2a_6). Bize verilen toplam 16 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi 8 olmalıdır (a6=8a_6 = 8). Genel terimi an=2n−4a_n = 2n - 4 olan dizide nn yerine 6 yazıldığında a6=2(6)−4=8a_6 = 2(6) - 4 = 8 değeri elde edilir ve koşul sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizide indis özellikleri kullanılarak ortanca terim belirlenir.
a1+a11=2a6  ⟹  16=2a6  ⟹  a6=8a_1 + a_{11} = 2a_6 \implies 16 = 2a_6 \implies a_6 = 8 bulunur.
Bir aritmetik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Burada 1+11=6+61 + 11 = 6 + 6 olduğundan a1+a11=2a6a_1 + a_{11} = 2a_6 eşitliği geçerlidir.
2
Seçeneklerde verilen genel terim formüllerinde n=6n = 6 yazılarak hangisinin a6=8a_6 = 8 değerini verdiği kontrol edilir.
a6=2(6)−4=8a_6 = 2(6) - 4 = 8 eşitliğini sağlayan genel terim an=2n−4a_n = 2n - 4 olarak bulunur.
Soruda verilen koşulu sağlayan dizinin 6. terimi 8 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide indis özellikleri ve genel terim ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde a2=5a_2 = 5 ve a5=17a_5 = 17 olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Dizinin 10. teriminin değeri 37'dir.
Dizinin terimleri arasındaki sabit artış miktarı (ortak fark) r=4r = 4 olarak hesaplanır. 10. terimi bulmak için 5. terime 5 kez ortak fark eklenerek 37 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen terimler arasındaki farkı kullanarak dizinin ortak farkını (rr) belirleme
r=4r = 4
Aritmetik dizilerde herhangi iki terim arasındaki ilişki ak=ap+(k−p)ra_k = a_p + (k-p)r formülüyle ifade edilir. Burada a5=a2+3ra_5 = a_2 + 3r yazılarak ortak fark bulunur.
2
Bulunan ortak fark yardımıyla 10. terimi (a10a_{10}) hesaplama
a10=37a_{10} = 37
Dizinin 10. terimi, 5. terime ortak farkın 5 katı eklenerek (a10=a5+5ra_{10} = a_5 + 5r) hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki fark sabittir ve herhangi iki terim arasındaki fark, ortak farkın indis farkı katına eşittir.
Soru 4Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde her nn pozitif tam sayısı için
an+1−an=4a_{n+1} - a_n = 4
eşitliği sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4n−14n - 1

Cevap

Dizinin genel terimi olan 4n - 1 ifadesi
Dizinin tanımından ardışık terimlerin farkının ortak farkı verdiği bilinir; buradan ortak fark 4'tür. İlk terim 3 ve ortak fark 4 olduğunda, genel terim formülü uygulandığında sonuç 4n - 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin tanımından faydalanarak dizinin ortak farkını (rr) bulma.
an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r olduğundan, dizinin ortak farkı r=4r = 4 olarak belirlenir.
Bir aritmetik dizide ardışık herhangi iki terim arasındaki fark sabit olup dizinin ortak farkına eşittir.
2
İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazma.
an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n - 1) \cdot r formülünde a1=3a_1 = 3 ve r=4r = 4 değerleri yerine yazıldığında an=3+(n−1)⋅4a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 elde edilir.
Aritmetik dizinin genel terimi, ilk terim ve ortak farka bağlı standart formül ile ifade edilir.
3
Elde edilen cebirsel ifadeyi sadeleştirerek genel terimi bulma.
an=3+4n−4⇒an=4n−1a_n = 3 + 4n - 4 \Rightarrow a_n = 4n - 1 elde edilir.
Parantez dağıtılarak benzer terimler toplandığında genel terimin n'e bağlı doğrusal yapısı ortaya çıkar.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki ilişkiden ortak farkın bulunması ve genel terim formülünün doğrusal fonksiyon yapısıyla ilişkilendirilmesi.
Soru 5Soru →

Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−3x - 3, 99 ve 2x+32x + 3 olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Bir aritmetik dizide ardışık terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir. Bu özellikten yararlanarak (x−3)+(2x+3)=2×9(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9 eşitliği elde edilir. Buradan benzer terimler toplanınca 3x=183x = 18 ve her iki taraf 3'e bölündüğünde x=6x = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizi özelliğini kullanarak denklem kurma
(x−3)+(2x+3)=2×9(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9
Bir aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabit olduğundan, birinci ve üçüncü terimin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri toplama ve denklemi sadeleştirme
3x=183x = 18
xx ile 2x2x toplanarak 3x3x elde edilir, −3-3 ile +3+3 birbirini götürür. Sağ taraftaki 2×92 \times 9 çarpımı ise 18 yapar.
3
Bilinmeyen xx değerini yalnız bırakma
x=6x = 6
Eşitliğin her iki tarafı 3'e bölünür.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki
Soru 6Soru →

Ortak farkı pozitif bir tam sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a5=14a_5 = 14

olduğu bilinmektedir. Bu dizinin kk ve mm terimleri için (k>mk > m),

ak2−am2=480a_k^2 - a_m^2 = 480

ve bu terimlerin indisleri arasında

k+m=16k + m = 16

ilişkisi bulunmaktadır.

Buna göre, rr dizinin ortak farkı olmak üzere, r⋅k⋅mr \cdot k \cdot m çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

İstenen çarpımın değeri 110'dur.
İki kare farkı özdeşliğinden elde edilen (ak−am)(ak+am)=480(a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480 ifadesinde ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8=2(14+3r)a_k + a_m = 2a_8 = 2(14+3r) eşitlikleri yazılır. Elde edilen (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240 denkleminde k−mk-m farkının pozitif çift tam sayı olması gerektiği ve rr'nin pozitif tam sayı olduğu bilgisi kullanıldığında, bu koşulları sağlayan tek değer çiftinin k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 olduğu belirlenir. Buradan k=11k=11 ve m=5m=5 bulunarak, çarpım 110110 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
ak2−am2=(ak−am)(ak+am)=480a_k^2 - a_m^2 = (a_k - a_m)(a_k + a_m) = 480
İfadeleri ortak fark ve terimler toplamı cinsinden analiz edebilmek için çarpanlara ayırmak gerekir.
2
Dizi terimlerinin farkını ve toplamını ortak fark ile indisler cinsinden yazın.
ak−am=(k−m)ra_k - a_m = (k-m)r ve ak+am=2a8a_k + a_m = 2a_8
Aritmetik dizide ardışık olmayan terimlerin farkı indis farkı ile ortak farkın çarpımına, terimlerin toplamı ise indislerinin aritmetik ortalamasının iki katına eşittir.
3
a8a_8 terimini bilinen a5a_5 terimi ve ortak fark cinsinden yazarak ana denklemi kurun.
a8=14+3ra_8 = 14 + 3r ve (k−m)r(14+3r)=240(k-m)r(14+3r) = 240
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir denklem elde etmek için.
4
İndislerin tam sayı olma özelliklerini ve rr'nin pozitif tam sayı koşulunu kullanarak denklem sistemini çözün.
k−m=6k-m = 6 ve r=2r = 2
k+m=16k+m=16 çift olduğundan k−mk-m de çift olmalıdır. 240240 sayısının bölenleri arasında rr'yi pozitif tam sayı yapan tek durum k−m=6k-m=6 ve r=2r=2 ikilisine aittir.
5
İndisleri bulun.
k=11k = 11 ve m=5m = 5
k+m=16k+m=16 ve k−m=6k-m=6 denklemlerinin ortak çözümünü yapmak için.
6
İstenen çarpım değerini hesaplayın.
2⋅11⋅5=1102 \cdot 11 \cdot 5 = 110
Soru kökünde talep edilen çarpıma ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indislerin aritmetik ortalama özelliği, terimler farkı ve ortak fark ilişkisi ile iki kare farkı özdeşliği.
Soru 7Soru →

Ortak farkı pozitif bir gerçel sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizi için,
S15−S12=75S_{15} - S_{12} = 75
a9⋅a19−a7⋅a21=96a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = 96

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −1-1'dir.
Dizinin ardışık toplamı olan S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 eşitliğinde, indislerin ortalaması kullanılarak a14=25a_{14} = 25 değeri elde edilir. İkinci denklemde terimler a14a_{14} ve ortak fark olan rr türünden yazıldığında kareler farkı sadeleşerek 24r2=9624r^2 = 96 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur. Son olarak genel terim formülü a14=a1+13ra_{14} = a_1 + 13r eşitliğinde veriler yerine yazılarak ilk terim −1-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 15 terim toplamı ile ilk 12 terim toplamı arasındaki farkı terimler cinsinden ifade etme
S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 elde edilir.
SnS_n ifadesi ilk nn terim toplamını belirttiğinden, ilk 15 terimin toplamından ilk 12 terimin toplamı çıkarıldığında geriye kalan son üç terim (a13,a14,a15a_{13}, a_{14}, a_{15}) kalır.
2
Aritmetik dizilerde indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi hesaplama
a13+a15=2a14a_{13} + a_{15} = 2a_{14} olduğu için 3a14=75⇒a14=253a_{14} = 75 \Rightarrow a_{14} = 25 bulunur.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse, terimlerin toplamları da eşittir. Burada 13+15=2×1413 + 15 = 2 \times 14 bağıntısı kullanılmıştır.
3
Çarpım terimlerini ortanca terim (a14a_{14}) ve ortak fark (rr) cinsinden yazma
a9=a14−5ra_9 = a_{14} - 5r, a19=a14+5ra_{19} = a_{14} + 5r, a7=a14−7ra_7 = a_{14} - 7r, a21=a14+7ra_{21} = a_{14} + 7r şeklinde ifade edilir.
Terimlerin a14a_{14} terimine olan uzaklıkları indis farkları üzerinden simetrik olarak yazılmıştır.
4
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak ortak farkı (rr) bulma
a9⋅a19−a7⋅a21=(a142−25r2)−(a142−49r2)=24r2=96⇒r2=4⇒r=2a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = (a_{14}^2 - 25r^2) - (a_{14}^2 - 49r^2) = 24r^2 = 96 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 bulunur.
İki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve dizinin ortak farkının pozitif olduğu belirtildiği için r=2r = 2 olarak alınmıştır.
5
Genel terim formülüyle ilk terimi (a1a_1) hesaplama
a14=a1+13r⇒25=a1+13⋅2⇒a1=−1a_{14} = a_1 + 13r \Rightarrow 25 = a_1 + 13 \cdot 2 \Rightarrow a_1 = -1 bulunur.
Bir aritmetik dizide genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği, iki terimin aritmetik ortalaması ve genel terim özellikleri
Soru 8Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3⋅a19−a6⋅a16=−39a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = -39

ve

a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
Verilen iki denklem çözüldüğünde ortak farkın karesi r2=1r^2 = 1 olarak bulunur. İkinci denklemden a1+10r=12a_1 + 10r = 12 bağıntısı elde edilir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif kalabilmesi için ortak farkın negatif olmaması (r=1r = 1) gerekir, çünkü negatif bir ortak fark diziyi bir noktadan sonra negatif terimli yapacaktır. r=1r = 1 için a1=2a_1 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ortak fark rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazalım.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a19=a1+18ra_{19} = a_1 + 18r, a6=a1+5ra_6 = a_1 + 5r ve a16=a1+15ra_{16} = a_1 + 15r olur.
Verilen çarpımları tek bir bilinmeyenli terimler cinsinden ifade etmek.
2
Çarpımların farkını hesaplayalım.
a3⋅a19−a6⋅a16=(a12+20a1r+36r2)−(a12+20a1r+75r2)=−39r2a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = (a_1^2 + 20a_1r + 36r^2) - (a_1^2 + 20a_1r + 75r^2) = -39r^2 elde edilir.
Ortak farkın karesini bulmak için cebirsel sadeleştirme yapmak.
3
Elde edilen farkı verilen −39-39 değerine eşitleyelim.
−39r2=−39  ⟹  r2=1  ⟹  r=1-39r^2 = -39 \implies r^2 = 1 \implies r = 1 veya r=−1r = -1 bulunur.
Dizinin ortak farkının alabileceği değerleri belirlemek.
4
a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile rr arasındaki ilişkiyi bulalım.
(a1+r)+(a1+19r)=24  ⟹  2a1+20r=24  ⟹  a1+10r=12(a_1 + r) + (a_1 + 19r) = 24 \implies 2a_1 + 20r = 24 \implies a_1 + 10r = 12 elde edilir.
İlk terim ile ortak farkı ilişkilendiren doğrusal denklemi kurmak.
5
Dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılar olma koşulunu iki rr durumu için inceleyelim.
Eğer r=−1r = -1 ise a1=22a_1 = 22 olur ancak bu durumda a23=22+22(−1)=0a_{23} = 22 + 22(-1) = 0 ve sonraki terimler negatif olur. Eğer r=1r = 1 ise a1=2a_1 = 2 olur ve tüm terimler (an=n+1a_n = n+1) pozitif kalır. Dolayısıyla a1=2a_1 = 2 olmalıdır.
Sonsuz elemanlı dizinin tüm terimlerinin pozitif olmasını sağlayan geçerli ilk terim değerini seçmek.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri ve tüm terimlerinin pozitif olma koşulunun ortak farkın işaretine etkisi.
Soru 9Soru →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi, f(x)f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, an=f(n)a_n = f(n) biçiminde tanımlanmıştır.

Bu dizi için,
a1+a3=20a_1 + a_3 = 20
f(a1)=25f(a_1) = 25

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ortak farkının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Ortak farkın alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Soruda verilen a1+a3=20a_1 + a_3 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 ve dolayısıyla a1=10−ra_1 = 10 - r bulunur. f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğinde genel terim f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x-1)r ifadesi kullanılarak (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 ikinci dereceden denkleme ulaşılır. Bu denklemin kökleri (ortak farkın alabileceği değerler) 3 ve 5 olup, toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin genel terimi ile doğrusal fonksiyon arasındaki ilişkiyi belirleme
f(x)=a1+(x−1)rf(x) = a_1 + (x - 1)r
Genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r olup an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlandığı için fonksiyon da doğrusal yapıdadır.
2
Verilen terim toplamından a1a_1 terimini ortak fark rr cinsinden ifade etme
a1=10−ra_1 = 10 - r
a1+a3=2a2=20a_1 + a_3 = 2a_2 = 20 eşitliğinden a2=10a_2 = 10 bulunur. a1=a2−ra_1 = a_2 - r bağıntısından a1=10−ra_1 = 10 - r elde edilir.
3
f(a1)=25f(a_1) = 25 eşitliğini kullanarak rr parametresine bağlı bir denklem kurma
r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0
f(a1)=a1+(a1−1)r=25f(a_1) = a_1 + (a_1 - 1)r = 25 denkleminde a1=10−ra_1 = 10 - r yazıldığında (10−r)+(9−r)r=25(10 - r) + (9 - r)r = 25 elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde r2−8r+15=0r^2 - 8r + 15 = 0 denklemine ulaşılır.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek ortak farkın alabileceği değerleri ve toplamını bulma
r=3r = 3 veya r=5r = 5; toplam = 8
r2−8r+15=(r−3)(r−5)=0r^2 - 8r + 15 = (r - 3)(r - 5) = 0 denkleminin kökleri r=3r = 3 ve r=5r = 5 olup, alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin doğrusal fonksiyon yapısı ve indis özellikleri
Soru 10Soru →
Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde ortak fark pozitif bir gerçel sayıdır. Bu dizinin terimleri arasında,
a5+a9=34a_5 + a_9 = 34
a32+a112=706a_3^2 + a_{11}^2 = 706
e��itlikleri sağlandığına göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 55 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerde simetrik indislerin aritmetik ortalaması ortadaki terimi verir (a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7). Buradan a7=17a_7 = 17 bulunur. a3a_3 ve a11a_{11} terimleri sırasıyla a7−4ra_7 - 4r ve a7+4ra_7 + 4r şeklinde yazılıp kareleri toplandığında çapraz terimler birbirini götürür ve 2(172+16r2)=7062(17^2 + 16r^2) = 706 denklemi elde edilir. Buradan r2=4r^2 = 4 ve pozitiflik şartından r=2r = 2 bulunur. Son olarak a1=a7−6r=17−12=5a_1 = a_7 - 6r = 17 - 12 = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İndis simetrisini kullanarak a7a_7 terimini belirleme
a7=17a_7 = 17
a5+a9=2a7a_5 + a_9 = 2a_7 bağıntısı aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki simetriden kaynaklanır.
2
a3a_3 ve a11a_{11} terimlerini a7a_7 ve ortak fark rr türünden yazma
a3=17−4ra_3 = 17 - 4r ve a11=17+4ra_{11} = 17 + 4r
Bilinmeyen sayısını azaltmak için terimleri a7a_7 referans alınarak ifade etmek kolaylık sağlar.
3
Kareler toplamı eşitliğinde yerine yazarak ortak fark rr'yi bulma
r=2r = 2
(17−4r)2+(17+4r)2=2(289+16r2)=706(17-4r)^2 + (17+4r)^2 = 2(289 + 16r^2) = 706 denkleminden r2=4r^2 = 4 ve pozitif ortak fark şartından r=2r=2 elde edilir.
4
a1a_1 ilk terimini hesaplama
a1=5a_1 = 5
a7=a1+6ra_7 = a_1 + 6r genel terim formülünden yararlanılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması ve genel terim özellikleri.
Soru 11Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=px+qf(x) = px + q doğrusal fonksiyonu veriliyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için
an=f(n)a_n = f(n)
bn=f(2n−1)b_n = f(2n - 1)
biçiminde tanımlanıyor.
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) birer aritmetik dizi olmak üzere,
a3+b4=28a_3 + b_4 = 28
a7−b2=8a_7 - b_2 = 8
eşitlikleri sağlanmaktad��r.

Buna göre, a10+b5a_{10} + b_5 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Dizilerin doğrusal fonksiyon tanımından yola çıkılarak elde edilen terimler yerine yazıldığında toplamın sonucu 46 bulunur.
Doğrusal fonksiyonun tanımından an=f(n)a_n = f(n) ve bn=f(2n−1)=a2n−1b_n = f(2n-1) = a_{2n-1} olduğu görülür. Buna göre b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 olur. Verilen eşitliklerden a3+a7=28a_3 + a_7 = 28 ve a7−a3=8a_7 - a_3 = 8 elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde a7=18a_7 = 18 ve a3=10a_3 = 10 bulunur. Dizinin ortak farkı rr olmak üzere a7−a3=4r  ⟹  8=4r  ⟹  r=2a_7 - a_3 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2 olur. Bizden istenen a10+b5a_{10} + b_5 ifadesi, b5=a9b_5 = a_9 olduğundan a10+a9a_{10} + a_9 toplamına eşittir. a9=a7+2r=18+4=22a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22 ve a10=a9+r=22+2=24a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24 olup, bu iki terimin toplamı 24+22=4624 + 22 = 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin terimleri arasındaki ilişkiyi doğrusal fonksiyon yardımıyla belirleme.
bn=a2n−1b_n = a_{2n-1} ilişkisi elde edilir. Buradan b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 olur.
bnb_n dizisi f(2n−1)f(2n-1) olarak tanımlandığından ve an=f(n)a_n = f(n) olduğundan, bnb_n dizisinin her bir terimi (an)(a_n) dizisinin tek indisli terimlerine karşılık gelir.
2
Verilen denklem sistemini (an)(a_n) dizisinin terimleri cinsinden yazıp çözme.
a3+a7=28a_3 + a_7 = 28 ve a7−a3=8a_7 - a_3 = 8 denklemleri elde edilir. Bu denklemler taraf tarafa toplandığında 2a7=36  ⟹  a7=182a_7 = 36 \implies a_7 = 18 ve buradan a3=10a_3 = 10 bulunur.
Elde edilen b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 değerleri soruda verilen eşitliklerde yerine yazılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturulur.
3
(an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkını (rr) bulma.
a7−a3=4r  ⟹  18−10=4r  ⟹  8=4r  ⟹  r=2a_7 - a_3 = 4r \implies 18 - 10 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2 bulunur.
Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve indisler farkı ortak farkın katını verir (ap−aq=(p−q)ra_p - a_q = (p-q)r).
4
İstenen a10+b5a_{10} + b_5 toplamını hesaplama.
b5=a9b_5 = a_9 olduğundan istenen ifade a10+a9a_{10} + a_9 toplamıdır. a9=a7+2r=18+4=22a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22 ve a10=a9+r=22+2=24a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24 olup, 24+22=4624 + 22 = 46 bulunur.
b5b_5 teriminin (an)(a_n) cinsinden karşılığı bulunur ve ortak fark yardımıyla bilinmeyen terimler hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve indis özellikleri ile doğrusal fonksiyonlar arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a1⋅a7−a42=−36a_1 \cdot a_7 - a_4^2 = -36
a2⋅a4=45a_2 \cdot a_4 = 45

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 17'dir.
Dizinin genel terim formülü kullanılarak birinci denklemden ortak fark r=2r = 2 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında ilk terim a1=3a_1 = 3 elde edilir. Bu değerlerle dizinin sekizinci terimi a8=a1+7r=17a_8 = a_1 + 7r = 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki terimleri ilk terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden ifade etmek.
−9r2=−36-9r^2 = -36 eşitliği elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak ve ortak farkı doğrudan bulabilmek için.
2
Elde edilen denklemden ortak farkı (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden r>0r > 0 olmalıdır (r=−2r = -2 elenir).
3
İkinci denklemde terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp r=2r = 2 değerini yerine koymak.
(a1+2)(a1+6)=45(a_1 + 2)(a_1 + 6) = 45 denklemi elde edilir.
İlk terim olan a1a_1 değerini belirlemek için.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözmek.
a1=3a_1 = 3 bulunur.
Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan negatif kök olan a1=−11a_1 = -11 elenir.
5
Bulunan a1a_1 ve rr değerleriyle sekizinci terimi (a8a_8) hesaplamak.
a8=3+7⋅2=17a_8 = 3 + 7 \cdot 2 = 17 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terim formülü olan a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r bağıntısını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimlerin genel terim formülü kullanılarak ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen denklemlerin çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Birinci denklemde a1=a4−3ra_1 = a_4 - 3r ve a7=a4+3ra_7 = a_4 + 3r yazılarak (a4−3r)(a4+3r)−a42=−36  ⟹  a42−9r2−a42=−36  ⟹  9r2=36  ⟹  r=2(a_4 - 3r)(a_4 + 3r) - a_4^2 = -36 \implies a_4^2 - 9r^2 - a_4^2 = -36 \implies 9r^2 = 36 \implies r = 2 şeklinde daha hızlı bir sadeleştirme yapılabilir. Benzer şekilde ikinci denklemde a2=a3−2a_2 = a_3 - 2 ve a4=a3+2a_4 = a_3 + 2 yazılarak a32−4=45  ⟹  a3=7a_3^2 - 4 = 45 \implies a_3 = 7 bulunur. Buradan da a8=a3+5r=7+10=17a_8 = a_3 + 5r = 7 + 10 = 17 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=mx+nf(x) = mx + n doğrusal fonksiyonu için, her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı olmak üzere bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri ile ff fonksiyonu arasında
f(a2)=26f(a_2) = 26
f(a5)=53f(a_5) = 53
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, ortak farkı pozitif olan bu (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 185

Cevap

İlk 10 terim toplamı olan 185 değeri doğrudur.
Dizinin genel terimi doğrusal bir fonksiyon olduğundan an=mn+na_n = mn + n şeklinde yazılabilir. f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 eşitliklerinden yararlanarak ortak fark m=3m = 3 ve sabit terim n=2n = 2 bulunur. Buradan dizinin genel terimi an=3n+2a_n = 3n + 2 elde edilir. İlk 10 terimin toplamı ise S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim ifadesini doğrusal fonksiyon cinsinden yazmak
an=f(n)=mn+na_n = f(n) = mn + n elde edilir. Bu aritmetik dizide ortak fark r=mr = m'dir.
Dizinin genel terimini fonksiyonun katsayıları cinsinden tanımlayabilmek için.
2
Verilen f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 değerlerini kullanarak denklem sistemi oluşturmak
a2=2m+na_2 = 2m + n ve a5=5m+na_5 = 5m + n olur. Buradan f(a2)=m(2m+n)+n=2m2+mn+n=26f(a_2) = m(2m + n) + n = 2m^2 + mn + n = 26 ve f(a5)=m(5m+n)+n=5m2+mn+n=53f(a_5) = m(5m + n) + n = 5m^2 + mn + n = 53 denklemleri elde edilir.
Fonksiyonun katsayıları olan mm ve nn değerlerini belirleyebilmek için.
3
Oluşan denklem sistemini çözerek katsayıları bulmak
İki denklemin farkından 3m2=27  ⟹  m2=93m^2 = 27 \implies m^2 = 9 elde edilir. Ortak farkı pozitif dendiği için m=3m = 3 olur. Denklemde yerine yazıldığında 2(9)+4n=26  ⟹  4n=8  ⟹  n=22(9) + 4n = 26 \implies 4n = 8 \implies n = 2 bulunur.
Genel terimin katsayılarını tek bir değere indirgemek için.
4
Dizinin genel terimini yazıp ilk 10 terim toplamını hesaplamak
Genel terim an=3n+2a_n = 3n + 2 olur. İlk terim a1=5a_1 = 5, 10. terim a10=32a_{10} = 32 değerleridir. Toplam formülüyle S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 elde edilir.
Soru kökündeki ilk 10 terim toplamı (S10S_{10}) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve aritmetik dizi toplam formülü
Soru 14Soru →

Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3+a8+a13+a18=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 56
a6⋅a15=115a_6 \cdot a_{15} = 115

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −5-5 olarak bulunur.
Verilen terimlerin indis toplamları eşit olduğundan (3+18=8+13=6+15=213+18 = 8+13 = 6+15 = 21), denklem 2(a6+a15)=56  ⟹  a6+a15=282(a_6+a_{15}) = 56 \implies a_6+a_{15}=28 şeklinde sadeleşir. Çarpımları 115 ve toplamları 28 olan sayılar 5 ile 23'tür. Ortak farkı pozitif (artan dizi) olduğu için a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23 bulunur. Buradan ortak fark r=2r = 2 ve ilk terim a1=a6−5r=−5a_1 = a_6 - 5r = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis özelliklerini kullanarak ilişkilendirme yapılması
a3+a18=a8+a13=a6+a15a_3 + a_{18} = a_8 + a_{13} = a_6 + a_{15}
Aritmetik dizilerde indislerinin toplamı eşit olan terimlerin toplamları da birbirine eşittir (3+18=8+13=6+15=213 + 18 = 8 + 13 = 6 + 15 = 21 olduğu için).
2
Verilen toplam denkleminden a6+a15a_6 + a_{15} değerinin çekilmesi
a6+a15=28a_6 + a_{15} = 28
a3+a8+a13+a18=2(a6+a15)=56a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 2(a_6 + a_{15}) = 56 eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
Toplamları 28 ve çarpımları 115 olan terimlerin belirlenmesi
a6=5a_6 = 5 ve a15=23a_{15} = 23
x2−28x+115=0  ⟹  (x−5)(x−23)=0x^2 - 28x + 115 = 0 \implies (x-5)(x-23) = 0 denkleminin kökleri 5 ve 23'tür. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim daha küçük olmalıdır.
4
Dizinin ortak farkının (rr) hesaplanması
r=2r = 2
a15−a6=9r  ⟹  23−5=9r  ⟹  18=9ra_{15} - a_6 = 9r \implies 23 - 5 = 9r \implies 18 = 9r eşitliği çözülür.
5
İlk terimin (a1a_1) bulunması
a1=−5a_1 = -5
a6=a1+5r  ⟹  5=a1+5(2)  ⟹  a1=5−10a_6 = a_1 + 5r \implies 5 = a_1 + 5(2) \implies a_1 = 5 - 10 işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği ve genel terim formülü
Soru 15Soru →
(an)(a_n) bir aritmetik dizi olmak üzere, her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için (bn)(b_n) dizisi
bn=a2n+1b_n = a_{2n+1}
biçiminde tanımlanıyor.
a5+b8=20a_5 + b_8 = 20
a8+b5=26a_8 + b_5 = 26
olduğuna göre, (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
Verilen tanımlardan hareketle (bn)(b_n) dizisinin terimleri (an)(a_n) cinsinden ifade edildiğinde a5+a17=20a_5 + a_{17} = 20 elde edilir. İndis özellikleri kullanılarak a11=10a_{11} = 10 bulunur. İkinci denklemden a8=16a_8 = 16 ve dizinin ortak farkı r=−2r = -2 olarak bulunur. (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 terim toplamı için sınır değerleri olan b1=a3=26b_1 = a_3 = 26 ve b10=a21=−10b_{10} = a_{21} = -10 hesaplanır. Aritmetik dizi toplam formülünden doğru yanıt 80 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
(bn)(b_n) dizisinin terimlerini (an)(a_n) dizisi cinsinden yazarak denklemleri düzenlemek.
b5=a11b_5 = a_{11} ve b8=a17b_8 = a_{17} bulunur. Buradan denklemler;
a5+a17=20a_5 + a_{17} = 20
a8+a11=26a_8 + a_{11} = 26
haline gelir.
(bn)=a2n+1(b_n) = a_{2n+1} tanımı gereği n=5n=5 için b5=a11b_5 = a_{11} ve n=8n=8 için b8=a17b_8 = a_{17} eşitlikleri elde edilir.
2
Aritmetik dizilerde indisler toplamının eşitliği özelliğini kullanarak a11a_{11} terimini bulmak.
a5+a17=2a11  ⟹  2a11=20  ⟹  a11=10a_5 + a_{17} = 2a_{11} \implies 2a_{11} = 20 \implies a_{11} = 10 elde edilir.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir (5+17=11+11=225 + 17 = 11 + 11 = 22 olduğundan a5+a17=a11+a11a_5 + a_{17} = a_{11} + a_{11}).
3
İkinci denklemde a11a_{11} değerini yerine yazarak a8a_8 terimini ve dizinin ortak farkı rr değerini bulmak.
a8+10=26  ⟹  a8=16a_8 + 10 = 26 \implies a_8 = 16 olur.
Ortak fark rr için:
a11=a8+3r  ⟹  10=16+3r  ⟹  3r=−6  ⟹  r=−2a_{11} = a_8 + 3r \implies 10 = 16 + 3r \implies 3r = -6 \implies r = -2 bulunur.
Dizinin ardışık olmayan terimleri arasındaki ilişkiyi kurarak ortak farkı elde etmek için ak=ap+(k−p)ra_k = a_p + (k-p)r bağıntısı kullanılır.
4
(bn)(b_n) dizisinin ilk terimi b1b_1 ve 10. terimi b10b_{10} değerlerini hesaplamak.
b1=a3=a11−8r=10−8(−2)=26b_1 = a_3 = a_{11} - 8r = 10 - 8(-2) = 26
b10=a21=a11+10r=10+10(−2)=−10b_{10} = a_{21} = a_{11} + 10r = 10 + 10(-2) = -10 bulunur.
(bn)(b_n) dizisinin terimlerinin toplamını bulmak için sınır değerleri olan ilk ve son terimleri (an)(a_n) dizisi üzerinden hesaplarız.
5
Aritmetik dizi toplam formülünü uygulayarak (bn)(b_n) dizisinin ilk 10 teriminin toplamını hesaplamak.
S10′=102(b1+b10)=5(26−10)=5⋅16=80S'_{10} = \frac{10}{2} (b_1 + b_{10}) = 5(26 - 10) = 5 \cdot 16 = 80 elde edilir.
İlk terimi ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark hesabı ve ilk n terim toplamı formülü
Soru 16Soru →
Artan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, bu dizinin terimleri arasında
a2⋅a8=a52−36a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 36
ve
a10=r⋅a2a_{10} = r \cdot a_2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Dizinin ilk terimi 14'tür.
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisinden a2⋅a8=a52−9r2a_2 \cdot a_8 = a_5^2 - 9r^2 elde edilir. Bu ifade ilk denklemde yerine yazıldığında r=2r = 2 bulunur. İkinci denklemde rr yerine 2 yazılıp çözüldüğünde a1=14a_1 = 14 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
a2a_2 ve a8a_8 terimlerini ortadaki terim olan a5a_5 ve ortak fark rr cinsinden ifade edip çarpım eşitliğinden ortak farkı hesaplamak.
r=2r = 2
Dizinin artan olduğu belirtildiğinden ortak fark r>0r > 0 olmalıdır. 9r2=369r^2 = 36 denkleminden r=2r = 2 elde edilir.
2
İkinci denklemde r=2r = 2 yazarak terimleri a1a_1 cinsinden ifade edip denklemi çözmek.
a1=14a_1 = 14
a10=2a2  ⟹  a1+9r=2(a1+r)a_{10} = 2a_2 \implies a_1 + 9r = 2(a_1 + r) denkleminde r=2r = 2 yazıldığında a1=14a_1 = 14 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre dönüştürülmesi ve genel terim formülünün uygulanması.
Soru 17Soru →

Azalan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a10+a16=45a_4 + a_{10} + a_{16} = 45
a6⋅a14−a8⋅a12=−108a_6 \cdot a_{14} - a_8 \cdot a_{12} = -108

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Dizinin ilk terimi 42'dir.
Verilen birinci eşitlikten indislerin aritmetik ortalaması kullanılarak onuncu terim 15 olarak hesaplanır. İkinci eşitlikte terimler onuncu terim cinsinden yazıldığında kareler farkı sadeleşmesiyle ortak farkın karesi 9 elde edilir. Dizinin azalan olması nedeniyle ortak fark -3 seçilir. Genel terim formülüyle birinci terim 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde indis simetrisi özelliğini kullanarak onuncu terimi bulunuz.
a4+a16=2a10a_4 + a_{16} = 2a_{10} olduğundan, 2a10+a10=3a10=45⇒a10=152a_{10} + a_{10} = 3a_{10} = 45 \Rightarrow a_{10} = 15 elde edilir.
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.
2
İkinci denklemdeki terimleri onuncu terim ve ortak fark olan rr cinsinden yazarak ortak farkı hesaplayınız.
a6=a10−4ra_6 = a_{10} - 4r, a14=a10+4ra_{14} = a_{10} + 4r, a8=a10−2ra_8 = a_{10} - 2r ve a12=a10+2ra_{12} = a_{10} + 2r olarak yazılır. Buradan,
(a10−4r)(a10+4r)−(a10−2r)(a10+2r)=−108(a_{10} - 4r)(a_{10} + 4r) - (a_{10} - 2r)(a_{10} + 2r) = -108
(a102−16r2)−(a102−4r2)=−108(a_{10}^2 - 16r^2) - (a_{10}^2 - 4r^2) = -108
−12r2=−108⇒r2=9-12r^2 = -108 \Rightarrow r^2 = 9 bulunur.
Terimleri merkezi bir terime göre simetrik yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Dizinin azalan olma koşulunu dikkate alarak ortak fark değerini belirleyiniz.
Dizi azalan olduğundan ortak fark negatif olmalıdır. Dolayısıyla r=−3r = -3 olur.
Azalan aritmetik dizilerde ortak fark sıfırdan küçüktür.
4
Bulunan onuncu terim ve ortak fark değerlerini genel terim formülünde yerine yazarak birinci terimi hesaplayınız.
a10=a1+9r⇒15=a1+9(−3)⇒15=a1−27⇒a1=42a_{10} = a_1 + 9r \Rightarrow 15 = a_1 + 9(-3) \Rightarrow 15 = a_1 - 27 \Rightarrow a_1 = 42 bulunur.
Aritmetik dizinin genel terimi an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı
Soru 18Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a5+a9+a13=36a_5 + a_9 + a_{13} = 36

ve

a3⋅a15=108a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntıları vardır.

Bu dizinin ortak farkı pozitif bir tam sayı olduğuna göre, dizinin birinci terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin birinci terimi (a1a_1) 4 olarak bulunur.
Verilen aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri kullanılarak a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24 toplamına ulaşılır. Çarpımları 108 ve toplamları 24 olan sayılar 6 ve 18'dir. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır ve a3=6a_3 = 6, a15=18a_{15} = 18 olmalıdır. Buradan ortak fark r=1r = 1 ve birinci terim a1=4a_1 = 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin indis özelliklerini kullanarak a9a_9 ve a3+a15a_3 + a_{15} değerlerini bulunuz.
a9=12a_9 = 12 ve a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24
Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Buradan a5+a13=2a9a_5 + a_{13} = 2a_9 yazılabilir. Soru kökündeki ilk bağıntıdan a5+a9+a13=3a9=36  ⟹  a9=12a_5 + a_9 + a_{13} = 3a_9 = 36 \implies a_9 = 12 olur. Benzer şekilde a3+a15=2a9=24a_3 + a_{15} = 2a_9 = 24 elde edilir.
2
a3a_3 ve a15a_{15} terimlerinin toplam ve çarpım değerlerinden faydalanarak bu terimleri bulunuz.
a3=6a_3 = 6 ve a15=18a_{15} = 18
a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24 ve a3⋅a15=108a_3 \cdot a_{15} = 108 bağıntılar��nı sağlayan sayılar x2−24x+108=0x^2 - 24x + 108 = 0 denkleminin kökleridir. Bu denklem çarpanlarına (x−6)(x−18)=0(x-6)(x-18) = 0 olarak ayrılır. Ortak farkı pozitif olan bir aritmetik dizi artan olacağından, küçük indisli terim daha küçük olmalıdır. Dolayısıyla a3=6a_3 = 6 ve a15=18a_{15} = 18 olur.
3
Dizinin ortak farkını (rr) ve birinci terimini (a1a_1) hesaplayınız.
r=1r = 1 ve a1=4a_1 = 4
Terimler arasındaki farktan ortak fark a15−a3=12r  ⟹  18−6=12r  ⟹  r=1a_{15} - a_3 = 12r \implies 18 - 6 = 12r \implies r = 1 olarak bulunur. Birinci terim ise a3=a1+2r  ⟹  6=a1+2(1)  ⟹  a1=4a_3 = a_1 + 2r \implies 6 = a_1 + 2(1) \implies a_1 = 4 şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis kuralları, genel terim formülü ve ortak fark özellikleri
Soru 19Soru →

Ortak farkı rr olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk terimi a1a_1'dir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=r⋅x+a1f(x) = r \cdot x + a_1 doğrusal fonksiyonu için her nn pozitif tam sayısı adına

f(n)=an+4f(n) = a_n + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri arasında

a3+a9=30a_3 + a_9 = 30

bağıntısı olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri −5-5'tir.
Ortak fark r=4r = 4 olarak belirlendikten sonra, a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 denkleminde yerine yazıldığında 2a1+40=30  ⟹  2a1=−10  ⟹  a1=−52a_1 + 40 = 30 \implies 2a_1 = -10 \implies a_1 = -5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(n)f(n) fonksiyonu ile ana_n dizisi arasındaki ilişkiyi yazarak ortak fark rr'yi belirleme.
r=4r = 4
an=a1+(n−1)r=rn+a1−ra_n = a_1 + (n - 1)r = rn + a_1 - r genel terimi f(n)=rn+a1f(n) = rn + a_1 ifadesinde yerine yazıldığında, f(n)−an=rf(n) - a_n = r elde edilir. Soruda f(n)=an+4f(n) = a_n + 4 olarak verildiğinden r=4r = 4 bulunur.
2
a3+a9=30a_3 + a_9 = 30 indis özelliğini kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden bir denklem elde etme.
a1+5r=15a_1 + 5r = 15
Aritmetik dizide a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r ve a9=a1+8ra_9 = a_1 + 8r olduğundan, bu terimlerin toplamı a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 olur. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde a1+5r=15a_1 + 5r = 15 denklemi bulunur.
3
Bulunan r=4r = 4 değerini denklemde yerine yazarak a1a_1 değerini hesaplama.
a1=−5a_1 = -5
a1+5(4)=15  ⟹  a1+20=15  ⟹  a1=−5a_1 + 5(4) = 15 \implies a_1 + 20 = 15 \implies a_1 = -5 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi
Soru 20Soru →
Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a2+a10=16a_2 + a_{10} = 16
a5⋅a7=60a_5 \cdot a_7 = 60

eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -36

Cevap

Dizinin birinci terimi ile on birinci teriminin çarpımı -36'dır.
Dizinin terimlerinin indis simetrisi kullanılarak 6. terim a6=8a_6 = 8 ve ortak farkın karesi r2=4r^2 = 4 olarak elde edilir. İstenen a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpım ifadesi de 6. terime göre simetrik yazılıp iki kare farkı uygulandığında a62−25r2a_6^2 - 25r^2 ifadesine ulaşılır. Değerler yerine yazıldığında sonuç −36-36 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a10=16a_2 + a_{10} = 16 toplamı üzerinden dizinin 6. terimini (a6a_6) belirlemek.
a6=8a_6 = 8
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. 2+10=6+62 + 10 = 6 + 6 olduğundan a2+a10=2a6a_2 + a_{10} = 2a_6 eşitliği geçerlidir.
2
a5⋅a7=60a_5 \cdot a_7 = 60 çarpım eşitliğinden yararlanarak dizinin ortak farkının karesini (r2r^2) bulmak.
r2=4r^2 = 4
a5=a6−ra_5 = a_6 - r ve a7=a6+ra_7 = a_6 + r olarak yazıldığında, çarpımları iki kare farkı oluşturur: (a6−r)(a6+r)=a62−r2(a_6 - r)(a_6 + r) = a_6^2 - r^2. Değerler yerine konduğunda 82−r2=60  ⟹  64−r2=608^2 - r^2 = 60 \implies 64 - r^2 = 60 elde edilir.
3
İstenen a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpım ifadesini a6a_6 ve rr cinsinden yazmak.
a1⋅a11=a62−25r2a_1 \cdot a_{11} = a_6^2 - 25r^2
a1=a6−5ra_1 = a_6 - 5r ve a11=a6+5ra_{11} = a_6 + 5r ifadelerinin çarpımı iki kare farkı özdeşliği gereği a62−(5r)2=a62−25r2a_6^2 - (5r)^2 = a_6^2 - 25r^2 sonucunu verir.
4
Elde edilen a6=8a_6 = 8 ve r2=4r^2 = 4 değerlerini son ifadede yerine yazıp hesaplama yapmak.
−36-36
a1⋅a11=82−25⋅4=64−100=−36a_1 \cdot a_{11} = 8^2 - 25 \cdot 4 = 64 - 100 = -36 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre simetrik olarak ifade edilmesi ve iki kare farkı özdeşliği uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Tüm terimleri birinci terim a1a_1 ve ortak fark rr cinsinden yazıp iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı ve zaman gerektirir.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Aritmetik Dizi ve Özellikleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin