Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=x2−2(k−1)x+2k2−8kf'(x) = x^2 - 2(k-1)x + 2k^2 - 8k
eşitliğini sağlamaktadır.

ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a,b][a, b] kapalı aralığıdır.

b−a=6b - a = 6 birim olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralığın uzunluğundan yola çıkılarak diskriminant 3636'ya eşitlenmiş ve buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek kk sayısının alabileceği en büyük değer 44 olarak bulunmuştur.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerdir. Bu aralığın uzunluğu olan b−a=6b-a = 6 birim ifadesi kökler farkı formülü olan Δ\sqrt{\Delta} değerine eşittir. Buradan diskriminantın 3636 olması gerektiği bulunur. Δ=−4k2+24k+4=36\Delta = -4k^2 + 24k + 4 = 36 eşitliği çözüldüğünde elde edilen k2−6k+8=0k^2-6k+8=0 denkleminin kökleri 22 ve 44 olup alabileceği en büyük değer 44 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin işareti ile azalanlık aralığı arasındaki ilişkiyi kurma
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [a,b][a, b] aralığının sınırları f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleridir.
Türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerde fonksiyon azalandır.
2
Kökler farkı ile diskriminant arasındaki ilişkiyi kullanarak diskriminantın değerini bulma
b−a=Δ=6  ⟹  Δ=36b - a = \sqrt{\Delta} = 6 \implies \Delta = 36 olur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı formülü kullanılır.
3
Diskriminantı kk parametresi cinsinden hesaplama
Δ=−4k2+24k+4\Delta = -4k^2 + 24k + 4 elde edilir.
Diskriminant formülü Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC şeklindedir.
4
kk değerlerini bulmak için elde edilen ifadeyi 3636'ya eşitleyip çözme
k2−6k+8=0  ⟹  k=4k^2 - 6k + 8 = 0 \implies k = 4 veya k=2k = 2 bulunur. En büyük değer 44'tür.
Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak kökler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınırları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği kökleridir.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru