f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5 fonksiyonunun azalan olduğu en geni�� aralık aşağıdakilerd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geni�� aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Azalan olduğu en geniş aralık

(-\infty, 3]

aralığıdır.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = x^2(x-3)

olarak bulunur.

x=0

çift katlı kök olduğundan bu noktada türevin işareti değişmez ve türev

(-\infty, 3)

aralığında negatiftir. Süreklilikten dolayı fonksiyon

(-\infty, 3]

aralığında azalandır.

Fonksiyonun birinci türevi alınır.

f'(x) = x^3 - 3x^2

elde edilir.

Bir fonksiyonun artanlık veya azalanlık durumunu incelemek için türevinin işaretine bakılması gerekir.

Türevin kökleri bulunur.

x^2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0

(çift katlı kök) ve

x = 3

(tek katlı kök) olarak bulunur.

Türevin işaret değiştirebileceği kritik noktaları ve köklerin katlılık durumunu belirlemek için kökler bulunur.

Türevin işaret tablosu oluşturulur.

(-\infty, 3]

aralığında

f'(x) \leq 0

[3, \infty)

aralığında

f'(x) \geq 0

olduğu görülür.

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı belirlemek için türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler tespit edilir.

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıkta o fonksiyon azalandır. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmez.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru