Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Her xx gerçek sayısı için artan olan
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Fonksiyonun her gerçek sayı için artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük ya da eşit (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) olmasını gerektirir. Türev fonksiyonu olan f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 ifadesi 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin daima sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük ya da eşit olması gerekir (Δ≤0\Delta \leq 0). Buradan 4(a−2)2−16≤0  ⟹  (a−2)2≤4  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤44(a-2)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-2)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 bulunur. Bu aralıktaki tam sayı değerleri 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1 fonksiyonunun türevini alınız.
f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 elde edilir.
Bir fonksiyonun artanlık veya azalanlık durumu, birinci türevinin işareti incelenerek belirlenir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun her xx gerçek sayısı için artan olma koşulunu yazınız.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 yani 3x2−6(a−2)x+12≥03x^2 - 6(a-2)x + 12 \geq 0 olmalıdır. Bu eşitsizlik 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun bir aralıkta artan olması için türevinin o aralıkta sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 eşitsizliğinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanması koşulunu uygulayınız.
Baş katsayısı pozitif (1>01 > 0) olan ikinci dereceden bir ifadenin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır: Δ≤0\Delta \leq 0.
Δ=[−2(a−2)]2−4⋅1⋅4=4(a−2)2−16≤0\Delta = [-2(a-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(a-2)^2 - 16 \leq 0 olur.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği (parabol) daima xx ekseninin üzerinde veya teğet olmalıdır, bu da reel kökün olmaması veya çift katl�� kök olması (diskriminantın sıfıra eşit veya küçük olması) anlamına gelir.
4
4(a−2)2−16≤04(a-2)^2 - 16 \leq 0 eşitsizliğini çözerek aa değerlerinin aralığını ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulunuz.
(a−2)2≤4  ⟹  ∣a−2∣≤2  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤4(a-2)^2 \leq 4 \implies |a-2| \leq 2 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 0+1+2+3+4=100+1+2+3+4=10 olarak bulunur.
Eşitsizlik çözüldükten sonra sınır değerler dahil edilerek tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonları için bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması (Δ≤0\Delta \leq 0) şartına denk gelir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru