Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi olan f… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $f'(x) = 0$ denkleminin gerçek sayılardaki köklerinin kümesi $\{-1, 3, 8\}$ 'dir.
* $f'$ fonksiyonunun grafiği, $x = 3$ noktasında $x$ eksenine teğet olup bu noktanın civarında $x$ ekseninin üst tarafındadır.
* $x > 8$ için $f'(x) < 0$ ve $x < -1$ için $f'(x) < 0$ 'dır.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 2x)$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

$(-\infty, -2] \cup [1, 4]$ Cevap
B
$(-\infty, -2] \cup [1, 3] \cup [4, \infty)$
C
$[-2, 1] \cup [4, \infty)$
D
$[-2, 4]$
E
$[-2, 1] \cup [3, 4]$

Cevap

(-\infty, -2] \cup [1, 4]

aralığıdır.

Bileşke fonksiyonun türevi

g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x)

şeklinde elde edilir. Bu ifadenin kökleri ve katlılık durumları incelendiğinde;

x = -2

x = 4

tek katlı,

x = -1

x = 3

çift katlı,

x = 1

ise tek katlı (3. dereceden) kök olarak bulunur. İşaret tablosu en sağdan negatif işaretle başlanarak doldurulduğunda, türevin pozitif veya sıfır olduğu bölgelerin

(-\infty, -2]

[1, 4]

aralıkları olduğu görülür. Dolayısıyla en geniş artanlık aralığı bu iki aralığın birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

Bileşke fonksiyonun türevini alma

g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x)

Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar�� bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.

Türevin sıfır olduğu kritik noktaları (kökleri) bulma

g'(x) = 0 \implies 2(x-1) = 0

veya

f'(x^2 - 2x) = 0

2(x-1) = 0 \implies x = 1

(1. dereceden/tek katlı kök)

2)

f'(t) = 0

denkleminin kökleri

t = -1

(tek katlı),

t = 3

(çift katlı) ve

t = 8

(tek katlı) olarak verilmiştir. Buradan

t = x^2 - 2x

yazarak kökleri bulalım:

*

x^2 - 2x = -1 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1

(çift katlı denklem kökü)
*

x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x = 3

x = -1

x^2 - 2x = 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4

x = -2

İşaret tablosu oluşturmak için türevin tüm köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirlemeliyiz.

K��klerin toplam katlılık derecelerini belirleme

x = -2

x = 4

noktaları tek katlı köklerdir (toplam katları 1).
*

x = -1

x = 3

noktaları çift katlı köklerdir. Çünkü

t = 3

f'(t)

fonksiyonunun çift katlı kökü olduğundan, buradan gelen

x = 3

x = -1

kökleri

g'(x)

için de çift katlı olur.
*

x = 1

noktası için:

2(x-1)

çarpanından tek katlı kök (üs 1) gelirken,

f'(x^2 - 2x)

kısmından

(x-1)^2

çarpanından dolayı çift katlı kök (üs 2) gelmektedir. Toplamda

x = 1

kökünün derecesi

1 + 2 = 3

(tek katlı) olur.

Hangi noktalarda türevin işaret değiştireceğini belirlemek için köklerin tek veya çift katlı olduğunu netleştirmeliyiz.

Türevin işaret tablosunu oluşturma

Kökler küçükten büyüğe:

-2, -1, 1, 3, 4

En sağdaki bölgeyi (

x > 4

için) inceleyelim:

x > 4 \implies x-1 > 0

t = x^2 - 2x > 8

olur. Soruda

t > 8

için

f'(t) < 0

verildiğinden

f'(x^2-2x) < 0

olur. Dolayısıyla

g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) < 0

(negatif) olur.

İşaret tablosu sağdan sola:
*

(4, \infty)

aralığında:

-

x = 4

tek katlı kökünden geçerken işaret değişir:

+

(3, 4)

aralığında:

+

x = 3

çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez:

+

(1, 3)

aralığında:

+

x = 1

tek katlı (3. derece) kökünden geçerken işaret değişir:

-

(-1, 1)

aralığında:

-

x = -1

çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez:

-

(-2, -1)

aralığında:

-

x = -2

tek katlı kökünden geçerken işaret değişir:

+

Türevin işaret tablosunu oluşturarak fonksiyonun artan (

g'(x) \geq 0

) ve azalan (

g'(x) \leq 0

) olduğu aralıkları tam olarak belirleriz.

Artan aralıkların birleşimini yazma

Türevin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar:

(-\infty, -2]

[1, 4]

(Burada

x = 3

noktasında türev sıfırdır ancak işaret değiştirmediği için aralık bölünmez ve

[1, 4]

olarak birleştirilir).

En geniş artanlık aralığı:

(-\infty, -2] \cup [1, 4]

Sürekli bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artandır. Uç noktalar kapalı aralık olarak dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması, işaret tablosunda tek ve çift katlı köklerin analizi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru