Examkin

Soru

Zorluk: KolayArtan ve Azalan Fonksiyonlar
f(x)=(x−3)3+2f(x) = (x - 3)^3 + 2

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

  1. R\mathbb{R}Cevap
  2. B
    [3,∞)[3, \infty)
  3. C
    R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\}
  4. D
    (3,∞)(3, \infty)
  5. E
    (−∞,3](-\infty, 3]

Cevap

Tüm gerçek sayılar kümesi (R\mathbb{R})
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 ifadesi, tüm gerçek sayılar için sıfırdan büyük veya eşittir (f′(x)≥0f'(x) \geq 0). Türevin sıfır olduğu tek nokta x=3x = 3 olup bu nokta izole bir noktadır. Dolayısıyla, fonksiyon tüm gerçek sayılar kümesinde artandır. Bu nedenle doğru cevap tüm gerçek sayılar kümesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 elde edilir.
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu noktalar (kökler) bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.
3(x−3)2=0⇒x=33(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 çift katlı köktür. x=3x = 3 dışındaki tüm gerçek sayılar için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
(x−3)2(x - 3)^2 ifadesi bir tam kare olduğundan x≠3x \neq 3 için daima pozitiftir. Çift katlı köklerde işaret değişmez.
3
Türevin işaretine göre fonksiyonun artan olduğu en geniş aralık belirlenir.
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 koşulu tüm x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanır ve f′(x)=0f'(x) = 0 yapan x=3x = 3 noktası izole bir noktadır. Dolayısıyla fonksiyon tüm gerçek sayılarda artandır.
Türevin sıfır olduğu izole noktalar sürekli fonksiyonlarda artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işareti incelenir. Sürekli bir fonksiyon için türevi sıfır yapan izole noktalar artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru