Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=∣x2−2x∣y = |x^2 - 2x| eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. 136\frac{13}{6}Cevap
  2. B
    92\frac{9}{2}
  3. C
    72\frac{7}{2}
  4. D
    2
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 13/6 birimkaredir.
Verilen iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Sınırlı alanlar [0,1][0, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarında oluşur. [0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde kaldığı için ∫01(2x−x2−x)dx=1/6\int_0^1 (2x-x^2 - x) dx = 1/6 olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde kalır ve bu integral x=2x=2 noktasında parçalanarak hesaplandığında 2 birimkare bulunur. İkisinin toplamı 13/6 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulmak için ∣x2−2x∣=x|x^2 - 2x| = x denklemini çözelim.
x≥2x \ge 2 veya x≤0x \le 0 için x2−2x=x⇒x(x−3)=0⇒x=0x^2 - 2x = x \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=3x = 3. 0<x<20 < x < 2 için −(x2−2x)=x⇒x(x−1)=0⇒x=1-(x^2 - 2x) = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1. Böylece kesim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Sınırlı bölgelerin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla kesim noktalarını bulmamız gerekir.
2
Bölgelerin alan formüllerini integral cinsinden yazalım.
[0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde olduğundan alan S1=∫01(∣x2−2x∣−x) dxS_1 = \int_{0}^{1} (|x^2 - 2x| - x) \, dx olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde olduğundan alan S2=∫13(x−∣x2−2x∣) dxS_2 = \int_{1}^{3} (x - |x^2 - 2x|) \, dx olur.
Alan hesaplanırken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
[0,1][0, 1] aralığındaki S1S_1 alanını hesaplayalım.
[0,1][0, 1] aralığında x2−2x≤0x^2 - 2x \le 0 olduğundan ∣x2−2x∣=2x−x2|x^2 - 2x| = 2x - x^2 olur. S1=∫01(2x−x2−x) dx=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16S_1 = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
Belirli integral alma kuralları uygulanarak ilk bölgenin alanı bulunur.
4
[1,3][1, 3] aralığındaki S2S_2 alanını hesaplayalım. x=2x = 2 noktası mutlak değerin kritik noktası olduğundan integrali bu noktadan parçalayalım.
S2=∫12(x−(2x−x2)) dx+∫23(x−(x2−2x)) dx=∫12(x2−x) dx+∫23(3x−x2) dx=[x33−x22]12+[3x22−x33]23=(23−(−16))+(92−103)=56+76=2S_2 = \int_{1}^{2} (x - (2x - x^2)) \, dx + \int_{2}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_2^3 = \left( \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) \right) + \left( \frac{9}{2} - \frac{10}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2 birimkaredir.
İntegralin sınırları içindeki mutlak değer ifadesinin işareti kritik noktaya göre değiştiğinden parçalı entegrasyon uygulanır.
5
Toplam alanı hesaplayalım.
S1+S2=16+2=136S_1 + S_2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} birimkare elde edilir.
İki ayrı sınırlı bölgenin alanlarının toplamı istenen sonucu verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması ve mutlak değerli integrallerde kritik noktalara göre parçalama yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru