Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4xy = x^2 - 4x eğrisi ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    −323-\frac{32}{3}
  2. B
    1603\frac{160}{3}
  3. 323\frac{32}{3}Cevap
  4. D
    323+C\frac{32}{3} + C
  5. E
    563\frac{56}{3}

Cevap

İstenen alan 323\frac{32}{3} birimkaredir.
Parabolün xx-eksenini kestiği noktalar x=0x=0 ve x=4x=4 olup bu aralıkta parabol xx-ekseninin altındadır. Bu nedenle alan, −∫04(x2−4x) dx-\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx integraline eşittir ve sonucu 323\frac{32}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları belirlemek için denklemi sıfıra eşitleriz.
x2−4x=0  ⟹  x(x−4)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x = 0 ve x=4x = 4 bulunur.
Bu noktalar belirli integralin alt ve üst sınırlarını oluşturur.
2
Parabolün [0,4][0, 4] aralığındaki konumunu belirleriz.
[0,4][0, 4] aralığ��nda y=x2−4xy = x^2 - 4x değerleri negatif olduğundan grafik xx-ekseninin altındadır.
Eğrinin xx-ekseninin altında kalması durumunda alan formülünde integralin önüne eksi işareti konulmalıdır.
3
Alan formülünü yazar ve integral hesabı gerçekleştiririz.
Alan=−∫04(x2−4x) dx=−[x33−2x2]04Alan = -\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{0}^{4}
Alanı bulmak için integralin mutlak değerini alırız.
4
Sınır değerlerini yerine yazarak alanı buluruz.
Alan=−((643−32)−0)=−(−323)=323Alan = -\left( \left(\frac{64}{3} - 32\right) - 0 \right) = -\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} birimkare.
Sınır değerlerin farkı alınarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin xx-ekseninin altında kalan bölgesinin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti getirilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru