Examkin

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

32 soru

Soru 1Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=(x−1)2−4f(x) = (x-1)^2 - 4 parabolü ile koordinat eksenlerinin dördüncü bölgede sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Dördüncü bölgede parabol x-ekseninin altında yer aldığından, alan değeri integralin negatif işaretlisine eşittir. Parabolün eksenleri kestiği noktalar (0,−3)(0, -3) ve (3,0)(3, 0) olduğundan sınırlar 00 ile 33 arasındadır. İntegral hesaplandığında alan 9 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta için x=0  ⟹  f(0)=(0−1)2−4=−3x = 0 \implies f(0) = (0-1)^2 - 4 = -3. x-eksenini kestiği pozitif nokta için f(x)=0  ⟹  (x−1)2=4  ⟹  x−1=2  ⟹  x=3f(x) = 0 \implies (x-1)^2 = 4 \implies x-1 = 2 \implies x = 3 bulunur.
Dördüncü bölgedeki bölgenin sınırlarını (integral sınırlarını) belirlemek için kesim noktaları gereklidir.
2
İntegral sınırlarını belirleyerek alan ifadesini yazalım.
Dördüncü bölgede xx değerleri 00 ile 33 arasındadır ve bu aralıkta parabol grafiği x-ekseninin altındadır (f(x)≤0f(x) \leq 0). Bu nedenle alan: A=∫03−f(x) dx=∫03(4−(x−1)2) dxA = \int_0^3 -f(x) \, dx = \int_0^3 (4 - (x-1)^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti konulur.
3
İntegral işlemini gerçekleştirelim.
A=[4x−(x−1)33]03A = \left[ 4x - \frac{(x-1)^3}{3} \right]_0^3 olur. Sınırları yerine yazarsak: A=(4(3)−(3−1)33)−(4(0)−(0−1)33)=(12−83)−(0−−13)=12−83−13=12−3=9A = \left( 4(3) - \frac{(3-1)^3}{3} \right) - \left( 4(0) - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \left( 12 - \frac{8}{3} \right) - \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = 12 - \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = 12 - 3 = 9 birimkare bulunur.
Belirli integralin hesaplanmasıyla aranan alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

x-ekseninin altında kalan bir eğrinin sınırlandırdığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin negatif işaretlisine eşittir.
Soru 2Soru →

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} tanımlı ve sürekli bir fonksiyondur. y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında;
- [0,2][0, 2] aralığında kalan bölgenin alanı 6 birimkare,
- [2,4][2, 4] aralığında kalan bölgenin alanı 8 birimkare
olarak verilmiştir.

∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2

olduğuna göre,

∫12f(4−2x) dx+∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx + \int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

-5
Verilen alan değerlerinden integral değerlerinin mutlak değerleri elde edilir: [0,2][0, 2] aralığındaki integralin mutlak değeri 6, [2,4][2, 4] aralığındaki integralin mutlak değeri ise 8'dir. Bu iki integralin toplamı -2 olduğundan, birinci integral 6 ve ikinci integral -8 olmalıdır. Birinci integralde u=4−2xu = 4-2x ve ikinci integralde x≤0x \le 0 için ∣x∣=−x|x| = -x yazılarak v=2−xv = 2-x değişken değiştirmeleri yapıldığında, ifadelerin değerleri sırasıyla 3 ve -8 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı -5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alan ve integral arasındaki ilişkiyi kurarak alt aralıklardaki integral değerlerini belirlemek.
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 ve ∫24f(x) dx=−8\int_{2}^{4} f(x) \, dx = -8
[0,2][0, 2] aralığındaki alan 66 ve [2,4][2, 4] aralığındaki alan 88 birimkaredir. Belirli integrallerin mutlak değerleri bu alanlara eşittir. Toplam integral ∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2 olduğuna göre, ∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=−2\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = -2 eşitliğini sağlayan tek durum birinci integralin pozitif (6), ikincisinin ise negatif (-8) olmasıdır.
2
Birinci integralde ∫12f(4−2x) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx için değişken değiştirme uygulamak.
∫12f(4−2x) dx=3\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx = 3
u=4−2xu = 4 - 2x dönüşümü yapılırsa du=−2 dxdu = -2 \, dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=0u=0 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫02f(u) du=12(6)=3\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \, du = \frac{1}{2} (6) = 3 haline gelir.
3
İkinci integralde ∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx ifadesinde mutlak değeri aralığa göre açıp değişken değiştirme uygulamak.
∫−20f(∣x∣+2) dx=−8\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx = -8
x∈[−2,0]x \in [-2, 0] aralığında olduğundan x≤0x \le 0 ve dolayısıyla ∣x∣=−x|x| = -x olur. İntegral ∫−20f(2−x) dx\int_{-2}^{0} f(2 - x) \, dx halini alır. v=2−xv = 2 - x dönüşümü yapılırsa dv=−dxdv = -dx olur. Sınırlar x=−2x=-2 için v=4v=4 ve x=0x=0 için v=2v=2 olur. İntegral ∫24f(v) dv=−8\int_{2}^{4} f(v) \, dv = -8 olarak hesaplanır.
4
Bulunan integral değerlerini toplamak.
3+(−8)=−53 + (-8) = -5
İstenen ifade iki integralin toplamı olduğundan elde edilen sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan arasındaki işaret ilişkisi ve belirli integralde değişken değiştirme yöntemi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 3Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4xy = x^2 - 4x eğrisi ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\frac{32}{3}

Cevap

İstenen alan 323\frac{32}{3} birimkaredir.
Parabolün xx-eksenini kestiği noktalar x=0x=0 ve x=4x=4 olup bu aralıkta parabol xx-ekseninin altındadır. Bu nedenle alan, −∫04(x2−4x) dx-\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx integraline eşittir ve sonucu 323\frac{32}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları belirlemek için denklemi sıfıra eşitleriz.
x2−4x=0  ⟹  x(x−4)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x = 0 ve x=4x = 4 bulunur.
Bu noktalar belirli integralin alt ve üst sınırlarını oluşturur.
2
Parabolün [0,4][0, 4] aralığındaki konumunu belirleriz.
[0,4][0, 4] aralığ��nda y=x2−4xy = x^2 - 4x değerleri negatif olduğundan grafik xx-ekseninin altındadır.
Eğrinin xx-ekseninin altında kalması durumunda alan formülünde integralin önüne eksi işareti konulmalıdır.
3
Alan formülünü yazar ve integral hesabı gerçekleştiririz.
Alan=−∫04(x2−4x) dx=−[x33−2x2]04Alan = -\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{0}^{4}
Alanı bulmak için integralin mutlak değerini alırız.
4
Sınır değerlerini yerine yazarak alanı buluruz.
Alan=−((643−32)−0)=−(−323)=323Alan = -\left( \left(\frac{64}{3} - 32\right) - 0 \right) = -\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} birimkare.
Sınır değerlerin farkı alınarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin xx-ekseninin altında kalan bölgesinin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti getirilir.
Soru 4Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınarak bir eğri elde ediliyor. Bu eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenerek yeni bir CC eğrisi oluşturuluyor.

Buna göre, f(x)f(x) parabolü ile CC eğrisi arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

Parabol ile elde edilen eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 13\frac{1}{3} birimkaredir.
Parabolün y=xy=x doğrusuna göre simetriği x=4−y2x = 4-y^2 eğrisidir. Bu eğrinin xx-ekseninde negatif yönde 4 birim (x→x+4x \to x+4) ve yy-ekseninde pozitif yönde 4 birim (y→y−4y \to y-4) ötelenmesiyle x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 denklemine sahip CC eğrisi elde edilir. Bu iki eğri x=0x = 0 ve x=−1x = -1 apsisli noktalarda kesişir. [−1,0][-1, 0] aralığında üstteki eğri y=4−x2y = 4-x^2 ve alttaki eğri y=4−−xy = 4-\sqrt{-x} olduğundan, aralarındaki farkın [−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali alındığında alan 13\frac{1}{3} birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınır.
x=4−y2x = 4 - y^2 eğrisi elde edilir.
Bir eğrinin y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınırken denklemdeki xx ve yy değişkenlerinin yerleri değiştirilir.
2
Elde edilen eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenir.
x+4=4−(y−4)2  ⟹  x=−(y−4)2x + 4 = 4 - (y - 4)^2 \implies x = -(y - 4)^2 eğrisi elde edilir.
xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim öteleme için xx yerine x+4x + 4, yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim öteleme için yy yerine y−4y - 4 yazılır.
3
f(x)f(x) parabolü ile yeni oluşturulan CC eğrisinin kesim noktaları belirlenir.
x=−1x = -1 ve x=0x = 0 kesim noktalarıdır.
y=4−x2y = 4 - x^2 denklemi x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 denkleminde yerine yazılırsa: x=−((4−x2)−4)2  ⟹  x=−x4  ⟹  x4+x=0  ⟹  x(x3+1)=0x = -((4 - x^2) - 4)^2 \implies x = -x^4 \implies x^4 + x = 0 \implies x(x^3 + 1) = 0 bulunur. Gerçel kökler x=0x = 0 ve x=−1x = -1 olarak elde edilir.
4
[−1,0][-1, 0] aralığında sınırlandırılan bölgenin alanı için belirli integral kurulur ve hesaplanır.
Alan 13\frac{1}{3} birimkaredir.
[−1,0][-1, 0] aralığında x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 eğrisi düzenlendiğinde y=4−−xy = 4 - \sqrt{-x} elde edilir. Bu aralıkta 4−x2≥4−−x4 - x^2 \ge 4 - \sqrt{-x} olduğundan alan integrali: ∫−10((4−x2)−(4−−x))dx=∫−10(−x−x2)dx\int_{-1}^0 \left( (4 - x^2) - (4 - \sqrt{-x}) \right) dx = \int_{-1}^0 \left( \sqrt{-x} - x^2 \right) dx olur. u=−xu = -x dönüşümüyle integral ∫01(u−u2)du=[23u3/2−u33]01=23−13=13\int_0^1 (\sqrt{u} - u^2) du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan alanın hesaplanması, yansıma ve öteleme dönüşümleri.

Alternatif Yöntem

Alanı y-eksenine göre integre ederek bulmak da mümkündür. İlgili aralık y∈[3,4]y \in [3, 4] olacaktır. Bu aralıkta sağdaki eğri x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 ve soldaki eğri x=−4−yx = -\sqrt{4-y}'dir. Dolayısıyla alan integralimiz ∫34(−(y−4)2−(−4−y))dy=∫34(4−y−(y−4)2)dy\int_3^4 \left( -(y-4)^2 - (-\sqrt{4-y}) \right) dy = \int_3^4 \left( \sqrt{4-y} - (y-4)^2 \right) dy olarak kurulur ve aynı şekilde 13\frac{1}{3} sonucunu verir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 5Soru →

Şekilde y=(x−2)2−1y = (x-2)^2 - 1 parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre, parabol ile xx-ekseni arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 43\frac{4}{3} birimkaredir.
Parabolün xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı, parabolün [1,3][1, 3] aralığındaki integralinin eksi ile çarpılmasına eşittir. Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak hesaplanan integral sonucunda alan 43\frac{4}{3} birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Boyalı bölgenin s��nırlarını belirleme ve alanı integral cinsinden ifade etme.
Bölge x=1x = 1 ile x=3x = 3 arasında ve xx-ekseninin altında yer aldığından, alan A=−∫13((x−2)2−1) dxA = -\int_1^3 ((x-2)^2 - 1) \, dx olarak yazılır.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmasını önlemek için integralin önüne eksi işareti konur.
2
Belirli integrali hesaplamak için u=x−2u = x-2 değişken değiştirmesini yapma.
du=dxdu = dx olur. x=1x=1 için u=−1u=-1 ve x=3x=3 için u=1u=1 sınırları elde edilir. İntegral A=−∫−11(u2−1) duA = -\int_{-1}^1 (u^2 - 1) \, du şekline dönüşür.
Değişken değiştirme yöntemi integral hesabını kolaylaştırır.
3
İntegrali hesaplayıp alan değerini bulma.
A=∫−11(1−u2) du=[u−u33]−11=(1−13)−(−1+13)=23−(−23)=43A = \int_{-1}^1 (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} birimkaredir.
Sınırlar yerine yazılıp integral hesaplanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısmının sınırladığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin mutlak değerine (veya integralin eksi ile çarpımına) eşittir.
Soru 6Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolü ile bu parabolün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği olan g(x)g(x) parabolü verilmiştir. Bu iki parabolün kesim noktaları ile tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı AA birimkare, paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ise BB birimkaredir. Buna göre, B−AB - A farkı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 163\frac{16}{3}

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ile bu parabollerin kesim ve tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanının farkı \frac{16}{3} birimkaredir.
Doğru seçenekte sunulan değer, simetrik parabol denklemlerinin doğru bulunması, kesim noktalarının doğru tespit edilmesi, köşegen uzunlukları 44 ve 88 olan eşkenar dörtgenin alanının 1616 olarak hesaplanması ve iki eğri arasında kalan alanın integral ile B=643B = \frac{64}{3} olarak bulunarak farklarının alınmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün denklemini bulma.
g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1
f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolünün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği g(x)=2(5)−f(x)=10−(9−x2)=x2+1g(x) = 2(5) - f(x) = 10 - (9 - x^2) = x^2 + 1 olarak elde edilir.
2
Parabollerin kesim noktalarını bulma.
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Kesim noktalarını bulmak için iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleriz: 9−x2=x2+1⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±29 - x^2 = x^2 + 1 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.
3
Köşeleri kesim noktaları ve tepe noktaları olan dörtgenin alanını (A) hesaplama.
A=16A = 16
Dörtgenin köşeleri P1(2,5)P_1(2, 5), P2(−2,5)P_2(-2, 5), T1(0,9)T_1(0, 9) ve T2(0,1)T_2(0, 1) noktalarıdır. Bu noktalar koordinat düzleminde bir eşkenar dörtgen oluşturur. Yatay köşegen uzunluğu ∣2−(−2)∣=4|2 - (-2)| = 4 birim, dikey köşegen uzunluğu ise ∣9−1∣=8|9 - 1| = 8 birimdir. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısı olduğundan A=4×82=16A = \frac{4 \times 8}{2} = 16 birimkaredir.
4
Paraboller arasında kalan sınırl�� bölgenin alanını (B) belirli integral yardımıyla hesaplama.
B=643B = \frac{64}{3}
İntegral sınırları kesim noktaları olan −2-2 ve 22'dir. Bu aralıkta f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x) olduğundan alan B=∫−22(f(x)−g(x)) dx=∫−22(8−2x2) dxB = \int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur. Fonksiyon çift olduğundan B=2∫02(8−2x2) dx=2[8x−2x33]02=2(16−163)=643B = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx = 2 \left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 16 - \frac{16}{3} \right) = \frac{64}{3} birimkare bulunur.
5
B - A farkını bulma.
163\frac{16}{3}
B−A=643−16=163B - A = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3} birimkaredir.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile iki eğri arasında kalan alanın hesabı, fonksiyonların simetri dönüşümleri ve geometrik alan ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Rhombus alanını integral kullanmadan koordinat geometrisi formülüyle bulmak ve iki parabol arasında kalan alanı Archimedes'in parabol kesmesi alan kuralını (Alan = 2/3 * taban * yükseklik) uygulayarak integral almadan pratik yoldan hesaplamak. Bu yöntemde paraboller arasındaki fark fonksiyonu h(x) = 8 - 2x^2 olup, kökleri -2 ve 2'dir. Taban uzunluğu 4 birim, tepe noktasındaki yükseklik 8 birimdir. Buradan Alan = 2/3 * 4 * 8 = 64/3 birimkare bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 7Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−6xf(x) = 3x^2 - 6x fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=3x = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Toplam alan hesaplanırken fonksiyonun xx-ekseninin altında kaldığı [0,2][0, 2] aralığındaki integralinin negatifi alınarak alan değeri pozitif yapılır ve üstünde kaldığı [2,3][2, 3] aralığındaki integral değeri ile toplanır. Bu durumda toplam alan 4+4=84 + 4 = 8 birimkare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözeriz.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 denklemi çözüldüğünde x=0x = 0 ve x=2x = 2 kökleri elde edilir.
Fonksiyonun hangi aralıklarda xx-ekseninin altında (negatif) veya üstünde (pozitif) kaldığını belirlemek için kökleri bulmamız gerekir.
2
İntegral sınırlarını belirleriz.
[0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan S1=∫02−f(x) dxS_1 = \int_{0}^{2} -f(x) \, dx olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan S2=∫23f(x) dxS_2 = \int_{2}^{3} f(x) \, dx olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağı için önüne eksi işareti konulmalıdır.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplarız.
S1=∫02(−3x2+6x) dx=[−x3+3x2]02=−8+12=4S_1 = \int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x) \, dx = [-x^3 + 3x^2]_0^2 = -8 + 12 = 4 birimkare olarak bulunur. S2=∫23(3x2−6x) dx=[x3−3x2]23=(27−27)−(8−12)=4S_2 = \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) \, dx = [x^3 - 3x^2]_2^3 = (27 - 27) - (8 - 12) = 4 birimkare olarak bulunur.
Her bir alt aralıktaki alan değerini integral alma kurallarını uygulayarak hesaplarız.
4
Bulunan alan değerlerini toplayarak toplam alanı elde ederiz.
Toplam Alan = S1+S2=4+4=8S_1 + S_2 = 4 + 4 = 8 birimkare bulunur.
Toplam alan, her iki bölgenin alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplama.
Soru 8Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=x2−1y = x^2 - 1 eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=2x = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.
Doğru cevap olan 2 değeri, fonksiyonun x-eksenini kestiği x=1x = 1 noktasından itibaren aralığın ikiye bölünmesi ve x-ekseninin altında kalan [0,1][0, 1] aralığındaki integral değerinin negatif işaretlisinin alınmasıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
x2−1=0⇒x=1x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 ve x=−1x = -1. [0,2][0, 2] aralığına düşen kesim noktası x=1x = 1'dir.
İntegral sınırları içerisindeki işaret değişim yerlerini belirlemek için.
2
Alan hesabı için [0,2][0, 2] aralığı, fonksiyonun negatif ve pozitif olduğu bölgelere göre [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] olarak iki alt aralığa ayrılır.
A=A1+A2=∫01∣x2−1∣ dx+∫12∣x2−1∣ dxA = A_1 + A_2 = \int_{0}^{1} |x^2 - 1| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 - 1| \, dx
x-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değeri negatif çıkacağı için alan hesaplanırken bu değerin mutlak değeri veya negatifi alınmalıdır.
3
[0,1][0, 1] aralığında x2−1≤0x^2 - 1 \leq 0 olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.
A1=∫01(1−x2) dx=[x−x33]01=1−13=23A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} birimkare.
Negatif bölgedeki alanın pozitif değerini bulmak için.
4
[1,2][1, 2] aralığında x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0 olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.
A2=∫12(x2−1) dx=[x33−x]12=(83−2)−(13−1)=23−(−23)=43A_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} birimkare.
Pozitif bölgedeki alanı bulmak için.
5
Elde edilen iki alan değeri toplanır.
A=A1+A2=23+43=2A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 birimkare.
Toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan alanın hesabı.
Soru 9Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu dd olarak verilmiştir. ff fonksiyonunun grafiği ile dd doğrusu arasında kalan sınırlı bölge, yy-ekseni tarafından iki alt bölgeye ayrılmaktadır. Buna göre, solda kalan bölgenin alanının sağda kalan bölgenin alanına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Soldaki bölgenin alanının sağdaki bölgenin alanına oranı 8'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi bulunur. Teğet doğrusunun denklemi y=9x−16y = 9x - 16 olarak elde edilir. Ardından, eğri ile teğet doğrusunun kesişim noktaları x3−3x=9x−16x^3 - 3x = 9x - 16 denkleminin çözülmesiyle x=2x = 2 (teğetlik noktası, çift katlı kök) ve x=−4x = -4 olarak bulunur. Sınırlı bölge [−4,2][-4, 2] aralığındadır. Bu bölgeyi yy-ekseni (x=0x=0 doğrusu) ikiye ayırdığı için, soldaki alan [−4,0][-4, 0] aralığında, sağdaki alan ise [0,2][0, 2] aralığında integral alınarak hesaplanır. [−4,2][-4, 2] aralığında eğri teğet doğrusunun üzerinde kaldığından, integrali alınacak fark fonksiyonu (x3−3x)−(9x−16)=x3−12x+16(x^3 - 3x) - (9x - 16) = x^3 - 12x + 16 olur. Soldaki alan ∫−40(x3−12x+16)dx=96\int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = 96 ve sağdaki alan ∫02(x3−12x+16)dx=12\int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = 12 olarak bulunur. Bu iki alanın oranı 96/12=896 / 12 = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin e��imini ve teğet noktası koordinatlarını bulun.
f(2)=23−3(2)=2f(2) = 2^3 - 3(2) = 2 olduğundan teğet noktası (2,2)(2, 2)'dir. Türev fonksiyonu f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 olup, x=2x = 2 noktasındaki teğet eğimi m=f′(2)=3(22)−3=9m = f'(2) = 3(2^2) - 3 = 9 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ve doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Teğet doğrusu dd'nin denklemini yazın.
Teğet doğrusunun denklemi y−2=9(x−2)  ⟹  y=9x−16y - 2 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 16 olarak elde edilir.
Eğri ile teğet doğrusu arasında kalan bölgenin sınırlarını ve alanını belirlemek için doğrunun cebirsel ifadesi gereklidir.
3
f(x)f(x) eğrisi ile dd doğrusunun kesim noktalarını bulun.
x3−3x=9x−16  ⟹  x3−12x+16=0x^3 - 3x = 9x - 16 \implies x^3 - 12x + 16 = 0 denklemi çözülür. x=2x = 2 noktası teğet noktası olduğundan denklemin çift katlı köküdür. Dolayısıyla denklem (x−2)2(x+4)=0(x-2)^2(x+4) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kesim noktaları x=2x = 2 ve x=−4x = -4 olarak bulunur.
Eğri ve doğrunun sınırladığı bölgenin sol ve sağ uç sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları bulunmalıdır.
4
yy-ekseninin solunda ve sağında kalan alanları belirli integral yardımıyla hesaplayın.
[−4,2][-4, 2] aralığında f(x)≥9x−16f(x) \ge 9x - 16 olduğundan fark fonksiyonu x3−12x+16x^3 - 12x + 16'dır. Soldaki alan S1=∫−40(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]−40=0−(64−96−64)=96S_1 = \int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^0 = 0 - (64 - 96 - 64) = 96 birimkare bulunur. Sağdaki alan S2=∫02(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]02=(4−24+32)−0=12S_2 = \int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_0^2 = (4 - 24 + 32) - 0 = 12 birimkare bulunur.
yy-ekseni x=0x = 0 doğrusu olduğundan sınırlı bölgeyi [−4,0][-4, 0] ve [0,2][0, 2] olmak üzere iki alt aralığa böler. Her bir alt bölgenin alanı belirli integral ile hesaplanır.
5
Bulunan alanların oranını hesaplayın.
Soldaki alanın sağdaki alana oranı S1S2=9612=8\frac{S_1}{S_2} = \frac{96}{12} = 8 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen oran, sol bölgenin alanının sağ bölgenin alanına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

İntegral alırken x3−12x+16=(x−2)2(x+4)x^3 - 12x + 16 = (x-2)^2(x+4) biçiminde çarpanlarına ayrılan ifadenin integrali, değişken değiştirme veya doğrudan polinom integrali ile hesaplanabilir. Ayrıca pratik bir yol olarak, üçüncü dereceden bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyon arasında kalan toplam alan A=k12(x2−x1)4A = \frac{k}{12}(x_2 - x_1)^4 formülüyle de kontrol edilebilir (burada kk başkatsayıdır). Bu soruda toplam alan 112⋅(2−(−4))4=129612=108\frac{1}{12} \cdot (2 - (-4))^4 = \frac{1296}{12} = 108 olarak bulunur. Bölgelerin alanları sırasıyla 96 ve 12 olduğundan toplamı doğrular.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 10Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−12xf(x) = 3x^2 - 12x parabolü ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

32
Parabolün kökleri olan 0 ve 4 sınırları arasında kalan bölge x-ekseninin altında yer alır. Bu nedenle alan, integral değerinin eksi işaretiyle çarpılmasıyla elde edilir. İntegral işlemi yapıldığında sonuç 32 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları belirlemek için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
3x2−12x=0  ⟹  3x(x−4)=03x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0 denklemi çözüldüğünde sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Eksenler arasında kalan sınırlı bölgenin başlangıç ve bitiş sınırlarını (integral sınırlarını) tespit etmek için.
2
İntegral alınacak aralıktaki fonksiyonun işaretini belirleyerek alan formülü kurulur.
x∈(0,4)x \in (0, 4) aralığı için f(x)<0f(x) < 0 olduğundan alan formülü Alan=−∫04(3x2−12x) dx\text{Alan} = -\int_{0}^{4} (3x^2 - 12x) \,dx olarak yazılır.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağından önüne eksi işareti konmalıdır.
3
Belirli integral hesaplanır.
−[x3−6x2]04=−((43−6⋅42)−0)=−(64−96)=32-\left[ x^3 - 6x^2 \right]_0^4 = -((4^3 - 6 \cdot 4^2) - 0) = -(64 - 96) = 32 birimkare bulunur.
Sınırlar yerine yazılarak net alan değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eğrinin x-ekseninin altında kaldığı aralıklarda belirli integral değerinin negatif çıkması ve alan hesabı yapılırken bu değerin mutlak değerinin (veya önüne eksi işareti getirilerek) kullanılması gerektiği.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

Dik koordinat düzleminde; birinci bölgede y=3x2y = 3x^2 eğrisi, y=12y = 12 doğrusu ve yy-ekseni ile sınırlandırılan bölge, orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile eşit alanlı iki bölgeye ayrılmaktadır.

Buna göre, mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğrunun eğimi olan m değeri 9 olarak bulunur.
Toplam alan integral yardımıyla 16 birimkare olarak bulunur. y = mx doğrusunun bu alanı 8'er birimkarelik iki parçaya bölmesi gerekir. Üst sınır doğrusu olan y = 12 ile y-ekseni arasında kalan dik üçgenin alanı 8 birimkareye eşitlendiğinde m = 9 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınırları verilen bölgenin kesim noktalarını belirlemek.
y=3x2y = 3x^2 eğrisi ile y=12y = 12 doğrusu ortak çözüldüğünde 3x2=12⇒x2=4⇒x=23x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 bulunur (birinci bölgede olduğumuz için x=2x = 2 alınır). Bölge x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığındadır.
Belirli integralin sınırlarını doğru tespit etmek amacıyla kesişim noktasının apsis değerini bulmamız gerekir.
2
Sınırlandırılmış bölgenin toplam alanını belirli integral yardım��yla hesaplamak.
Alan S=∫02(12−3x2) dx=[12x−x3]02=(24−8)−0=16S = \int_0^2 (12 - 3x^2) \, dx = \left[ 12x - x^3 \right]_0^2 = (24 - 8) - 0 = 16 birimkare olarak hesaplanır.
Bölgeyi iki eşit parçaya bölebilmek için öncelikle toplam alanın büyüklüğünü bilmemiz gerekir.
3
Eşit alanlı iki bölgeye ayrılma koşulunu ve doğrunun kesim noktasını analiz etmek.
Her bir alt bölgenin alanı 16/2=816 / 2 = 8 birimkare olmalıdır. y=mxy = mx doğrusu y=12y = 12 doğrusunu x=12mx = \frac{12}{m} noktasında keser. m≥6m \ge 6 durumu için bu kesişim noktası bölgenin içinde veya solunda kalır ve sol tarafta y-ekseni, y=12y = 12 ve y=mxy = mx arasında bir dik üçgen oluşur.
Geometrik olarak alan paylaşımını ifade etmek ve denklem kurmak için.
4
Oluşan dik üçgenin alanını 8 birimkareye eşitleyerek m değerini çözmek.
Dik üçgenin köşeleri (0,0)(0,0), (0,12)(0,12) ve (12m,12)(\frac{12}{m}, 12) noktalarıdır. Alanı 12×12×12m=72m\frac{1}{2} \times 12 \times \frac{12}{m} = \frac{72}{m} olur. Buradan 72m=8⇒m=9\frac{72}{m} = 8 \Rightarrow m = 9 elde edilir. 9≥69 \ge 6 olduğundan bu varsayım geçerlidir.
İstenen m parametresinin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak iki eğri arasında kalan alanı hesaplama ve analitik düzlemde geometrik alan paylaşımı uygulamaları.
Soru 12Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x parabolü, bu parabolün x=3x = 3 noktasındaki teğet doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Parabolün verilen noktadaki teğet doğrusu ile parabolün kendisi ve yy-ekseni arasında kalan bölgenin alanı 99 birimkaredir.
Parabolün x=3x = 3 noktasındaki teğetinin denklemi y=4x−9y = 4x - 9 olarak bulunur. Sınırlar x=0x = 0 (yy-ekseni) ile teğet noktası olan x=3x = 3 arasındadır. Bu aralıkta parabol her zaman teğet doğrusunun üstünde kaldığı için sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integral yardımıyla 99 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla bulma
y=4x−9y = 4x - 9 teğet doğrusu denklemi
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x için teğet noktasının apsisi x=3x=3 olup ordinatı f(3)=3f(3) = 3 olur. Türev f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olup teğet eğimi m=f′(3)=4m = f'(3) = 4 olarak elde edilir. Buradan teğet denklemi y−3=4(x−3)  ⟹  y=4x−9y - 3 = 4(x - 3) \implies y = 4x - 9 bulunur.
2
Sınırları ve integrali alınacak fark fonksiyonunu belirleme
Sınırlar [0,3][0, 3] ve integral fonksiyonu g(x)=x2−6x+9g(x) = x^2 - 6x + 9
Teğet noktası x=3x=3 ve yy-ekseni x=0x=0 olduğundan integral sınırları [0,3][0, 3] aralığıdır. Bu aral��kta parabol doğrunun üzerinde yer aldığından alan ∫03((x2−2x)−(4x−9))dx=∫03(x−3)2dx\int_{0}^{3} ((x^2 - 2x) - (4x - 9)) dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx integrali ile hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplama
99 birimkare
∫03(x−3)2dx=[(x−3)33]03=0−(−273)=9\int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9 elde edilir.

Anahtar Kavram

İki fonksiyon grafiği ve düşey doğrular arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 13Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=∣x2−2x∣y = |x^2 - 2x| eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 136\frac{13}{6}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 13/6 birimkaredir.
Verilen iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Sınırlı alanlar [0,1][0, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarında oluşur. [0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde kaldığı için ∫01(2x−x2−x)dx=1/6\int_0^1 (2x-x^2 - x) dx = 1/6 olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde kalır ve bu integral x=2x=2 noktasında parçalanarak hesaplandığında 2 birimkare bulunur. İkisinin toplamı 13/6 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulmak için ∣x2−2x∣=x|x^2 - 2x| = x denklemini çözelim.
x≥2x \ge 2 veya x≤0x \le 0 için x2−2x=x⇒x(x−3)=0⇒x=0x^2 - 2x = x \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=3x = 3. 0<x<20 < x < 2 için −(x2−2x)=x⇒x(x−1)=0⇒x=1-(x^2 - 2x) = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1. Böylece kesim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Sınırlı bölgelerin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla kesim noktalarını bulmamız gerekir.
2
Bölgelerin alan formüllerini integral cinsinden yazalım.
[0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde olduğundan alan S1=∫01(∣x2−2x∣−x) dxS_1 = \int_{0}^{1} (|x^2 - 2x| - x) \, dx olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde olduğundan alan S2=∫13(x−∣x2−2x∣) dxS_2 = \int_{1}^{3} (x - |x^2 - 2x|) \, dx olur.
Alan hesaplanırken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
[0,1][0, 1] aralığındaki S1S_1 alanını hesaplayalım.
[0,1][0, 1] aralığında x2−2x≤0x^2 - 2x \le 0 olduğundan ∣x2−2x∣=2x−x2|x^2 - 2x| = 2x - x^2 olur. S1=∫01(2x−x2−x) dx=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16S_1 = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
Belirli integral alma kuralları uygulanarak ilk bölgenin alanı bulunur.
4
[1,3][1, 3] aralığındaki S2S_2 alanını hesaplayalım. x=2x = 2 noktası mutlak değerin kritik noktası olduğundan integrali bu noktadan parçalayalım.
S2=∫12(x−(2x−x2)) dx+∫23(x−(x2−2x)) dx=∫12(x2−x) dx+∫23(3x−x2) dx=[x33−x22]12+[3x22−x33]23=(23−(−16))+(92−103)=56+76=2S_2 = \int_{1}^{2} (x - (2x - x^2)) \, dx + \int_{2}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_2^3 = \left( \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) \right) + \left( \frac{9}{2} - \frac{10}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2 birimkaredir.
İntegralin sınırları içindeki mutlak değer ifadesinin işareti kritik noktaya göre değiştiğinden parçalı entegrasyon uygulanır.
5
Toplam alanı hesaplayalım.
S1+S2=16+2=136S_1 + S_2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} birimkare elde edilir.
İki ayrı sınırlı bölgenin alanlarının toplamı istenen sonucu verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması ve mutlak değerli integrallerde kritik noktalara göre parçalama yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

Gerçel sayılar kümesinin uygun alt kümelerinde tanımlı f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 ve g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} fonksiyonlarının grafikleri, koordinat eksenleri ve y=5y = 5 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1243\frac{124}{3}

Cevap

İstenen sınırlı bölgenin alanı \frac{124}{3} birimkaredir.
Grafikler dik koordinat sisteminde çizildiğinde, aranan bölgenin alanı [0,26]×[0,5][0, 26] \times [0, 5] boyutlarındaki dikdörtgenden, sol üstte kalan ve alanı 163\frac{16}{3} olan bölge ile sağ altta kalan ve alanı 2503\frac{250}{3} olan bölgenin çıkarılmasıyla elde edilir. Bu fark 130−2663=1243130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların kesim noktalarını belirlemek için denklemleri kurarız.
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 eğrisi ile y=5y = 5 doğrusunun kesim noktasının apsisi: x2+1=5  ⟹  x=2x^2 + 1 = 5 \implies x = 2 olur (birinci bölgede çalışıldığından). g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} eğrisi ile y=5y = 5 doğrusunun kesim noktasının apsisi: \sqrt{x-1} = 5 \implies x - 1 = 25 \implies x = 26$ olur.
İntegral sınırlarını belirlemek ve bölgenin geometrik s��nırlarını anlamak için kesim noktaları gereklidir.
2
Aranan bölgenin alanını doğrudan x-eksenine göre entegre etmek yerine, [0,26]×[0,5][0, 26] \times [0, 5] dikdörtgeninin alanından istenmeyen bölgelerin alanlarını çıkarma stratejisini uygularız.
Çevreleyen dikdörtgenin alanı: 26×5=13026 \times 5 = 130 birimkaredir.
Bu yöntem, çok parçalı integral işlemlerinden kaçınarak çözümü kolaylaştırır.
3
Dikdörtgenin içinde kalan ama aradığımız bölgeye dahil olmayan iki yardımcı alanın (A1A_1 ve A2A_2) değerlerini hesaplarız.
Sol üstteki tamamlayıcı alan (A1A_1): yy-ekseni, y=5y = 5 doğrusu ve y=x2+1y = x^2 + 1 eğrisi aras��ndadır. f−1(y)=y−1f^{-1}(y) = \sqrt{y-1} kullanılarak: A1=∫15y−1 dy=[23(y−1)3/2]15=163A_1 = \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \left[ \frac{2}{3}(y-1)^{3/2} \right]_{1}^{5} = \frac{16}{3} birimkare.
Sağ alttaki tamamlayıcı alan (A2A_2): g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} eğrisi, xx-ekseni ve x=26x = 26 doğrusu arasındadır: A2=∫126x−1 dx=[23(x−1)3/2]126=2503A_2 = \int_{1}^{26} \sqrt{x-1} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} \right]_{1}^{26} = \frac{250}{3} birimkare.
İstenmeyen bu alanlar, ters fonksiyon ilişkisi ve temel belirli integral formülleriyle bulunur.
4
Dikdörtgenin toplam alanından bu iki alanı çıkartarak aradığımız alanı elde ederiz.
Alan = 130−(A1+A2)=130−(163+2503)=130−2663=1243130 - (A_1 + A_2) = 130 - \left( \frac{16}{3} + \frac{250}{3} \right) = 130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3} birimkare.
Hedef bölgenin alanı, dikdörtgen alanı ile diğer iki bölgenin farkına eşittir.

Anahtar Kavram

Ters fonksiyon ilişkileri ve dikdörtgen tamamlama (tamamlayıcı alan) yöntemiyle belirli integral yardımıyla alan hesabı.

Alternatif Yöntem

Aranan alan, y-eksenine göre integral alınarak da hesaplanabilir. y∈[0,5]y \in [0, 5] aralığında sağ sınır x=y2+1x = y^2 + 1 parabolü (g−1(y)g^{-1}(y)), sol sınır ise y∈[0,1]y \in [0, 1] için x=0x = 0 (y-ekseni) ve y∈[1,5]y \in [1, 5] için x=y−1x = \sqrt{y-1} (f−1(y)f^{-1}(y)) eğrisidir. Buradan alan integral ifadesi olarak:
Alan=∫01(y2+1) dy+∫15((y2+1)−y−1) dy\text{Alan} = \int_{0}^{1} (y^2 + 1) \, dy + \int_{1}^{5} \left( (y^2 + 1) - \sqrt{y-1} \right) \, dy
şeklinde kurulur. Bu ifade düzenlenerek:
Alan=∫05(y2+1) dy−∫15y−1 dy=1403−163=1243\text{Alan} = \int_{0}^{5} (y^2 + 1) \, dy - \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \frac{140}{3} - \frac{16}{3} = \frac{124}{3}
elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Doğru yanıt olan değer, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x eğrisinin xx-eksenini kestiği sınır noktaları olan −2,0,2-2, 0, 2 değerlerine göre iki ayrı bölge halinde hesaplanan alanların toplamıdır. [−2,0][-2, 0] aralığındaki alan 4 birimkare ve [0,2][0, 2] aralığındaki alan 4 birimkare olup toplamda 8 birimkare yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun grafiğinin xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözelim.
x(x−2)(x+2)=0x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Bu noktalar, integral hesaplamasında kullanacağımız sınırları ve bölgelerin sınırlarını belirler.
2
Fonksiyonun bu aralıklardaki işaretini inceleyerek hangi bölgenin xx-ekseninin üstünde, hangisinin altında kaldı��ını belirleyelim.
[−2,0][-2, 0] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 (eksenin üstünde) ve [0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0 (eksenin altında) olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanını hesaplarken integralin önüne eksi işareti koymamız gerekir.
3
Belirli integral yardımıyla alanları ayrı ayrı hesaplayalım.
[−2,0][-2, 0] aralığındaki alan A1=∫−20(x3−4x) dx=[x44−2x2]−20=4A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = 4 birimkare. [0,2][0, 2] aralığındaki alan A2=∫02−(x3−4x) dx=[−x44+2x2]02=4A_2 = \int_{0}^{2} -(x^3 - 4x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{0}^{2} = 4 birimkaredir.
Her iki bölgenin alanını pozitif değerler olarak bulmak için integral işaretlerine dikkat edilmelidir.
4
Bulunan alan değerlerini toplayalım.
Atoplam=A1+A2=4+4=8A_{toplam} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 birimkare elde edilir.
Eğri ile xx-ekseni arasında kalan toplam sınırlı alanı bulmak için tüm alt alanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan hesabı yapılırken, xx-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değerinin negatif çıkacağı göz önünde bulundurulmalı ve bu alanlar pozitif olacak şekilde integralin önüne eksi işareti getirilmelidir.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun tek fonksiyon (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)) olduğu fark edilirse, [−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki bölgelerin alanlarının simetriden dolayı eşit olduğu görülür. Bu durumda sadece bir bölgenin alanını hesaplayıp 2 ile çarpmak süreyi kısaltır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →

Şekildeki dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikte; f(x)f(x) eğrisi, koordinat eksenleri ve x=3x = 3 doğrusu aras��nda kalan boyalı S1S_1 ve S2S_2 bölgelerinin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 83\frac{8}{3}

Cevap

Boyalı bölgelerin alanları toplamı 83\frac{8}{3} birimkaredir.
Doğru cevap olan 83\frac{8}{3} değeri, parabolün [0,1][0,1] aralığında x-ekseninin altında kalan bölgesinin alanını (S1=43S_1 = \frac{4}{3}) ve [1,3][1,3] aralığında x-ekseninin üstünde kalan bölgesinin alanını (S2=43S_2 = \frac{4}{3}) ayrı ayrı hesaplayıp toplayarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözeriz.
−x2+4x−3=0⇒−(x−1)(x−3)=0-x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow -(x-1)(x-3) = 0 denkleminden sınır noktaları x=1x = 1 ve x=3x = 3 bulunur.
İntegral sınırlarını belirlemek ve fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulmak gerekir.
2
[0,3][0, 3] aralığını fonksiyonun işaretine göre parçalarız.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan bu bölgenin alanı S1=∫01−f(x) dxS_1 = \int_0^1 -f(x) \, dx ve [1,3][1, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan bu bölgenin alanı S2=∫13f(x) dxS_2 = \int_1^3 f(x) \, dx olur.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmaması için fonksiyonun önüne eksi konulmalıdır.
3
S1S_1 bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.
S1=∫01(x2−4x+3) dx=[x33−2x2+3x]01=13−2+3=43S_1 = \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} birimkare.
[0,1][0, 1] aralığındaki alan değerini bulmak.
4
S2S_2 bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.
S2=∫13(−x2+4x−3) dx=[−x33+2x2−3x]13=(−9+18−9)−(−13+2−3)=0−(−43)=43S_2 = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_1^3 = ( -9 + 18 - 9 ) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} birimkare.
[1,3][1, 3] aralığındaki alan değerini bulmak.
5
S1S_1 ve S2S_2 alanlarını toplayarak toplam alanı elde ederiz.
S1+S2=43+43=83S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} birimkare.
Toplam boyalı alanı bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan alan hesaplanırken, eğrinin x-ekseninin altında kalan bölgedeki integralinin negatif değer alacağı unutulmamalı ve bu aralıkta alan bulmak için integralin önüne eksi (-) işareti getirilmelidir.

Alternatif Yöntem

Parabolün tepe noktası olan x=2x = 2 doğrusu simetri eksenidir. Bu eksene göre [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarındaki alanlar birbirine eşittir. Sadece [1,2][1, 2] aralığındaki integral hesaplanıp 2 ile çarpılarak S2S_2 alanı daha hızlı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü, y=x+2y = x + 2 doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan ve koordinat düzleminin ikinci bölgesinde yer alan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 103\frac{10}{3}

Cevap

İkinci bölgede sınırlandırılmış bölgenin alanı olan \frac{10}{3} birimkaredir.
İkinci bölgede sınırlanan bölgenin alanı, üstte yer alan parabolün denkleminden alttaki doğrunun denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin x=−2x = -2 ile x=0x = 0 sınırları arasındaki belirli integrali ile bulunur. Yapılan hesaplamalar sonucunda alan değeri 103\frac{10}{3} birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesim noktalarını belirlemek amacıyla denklemleri birbirine eşitleyin.
4−x2=x+2  ⟹  x2+x−2=0  ⟹  (x+2)(x−1)=04 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 elde edilir. Buradan kesim noktalarının apsisleri x=−2x = -2 ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını ve bölgenin başlangıç noktasını tespit etmek için kesim noktaları bulunmalıdır.
2
İkinci bölgedeki sınır değerlerini ve hangi fonksiyonun üstte yer aldığını tespit edin.
İkinci bölgede x≤0x \le 0 ve y≥0y \ge 0 olmalıdır. Dolayısıyla sol sınır kesim noktası olan x=−2x = -2, sağ sınır ise yy-ekseni yani x=0x = 0 olur. Bu aralıkta (örneğin x=−1x = -1 için) parabolün değeri 33, doğrunun değeri ise 11 olduğundan parabol (y=4−x2y = 4 - x^2) doğrunun (y=x+2y = x + 2) üstündedir.
İntegral sınırlarını belirlemek ve alan ifadesini üstteki fonksiyondan alttakini çıkaracak şekilde kurmak için bu analiz gereklidir.
3
Belirli integral yardımıyla alan bağıntısını kurun ve integrali alın.
Alan=∫−20((4−x2)−(x+2))dx=∫−20(2−x−x2)dxAlan = \int_{-2}^0 \left( (4 - x^2) - (x + 2) \right) dx = \int_{-2}^0 (2 - x - x^2) dx integral ifadesi elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali: [2x−x22−x33]−20\left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^0 olarak bulunur.
Sınırlandırılmış bölgenin alanı, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının belirli integrali ile hesaplanır.
4
Bulunan integral ifadesinde sınırları yerine yazarak alanı hesaplayın.
0−(2(−2)−(−2)22−(−2)33)=−(−4−2+83)=−(−6+83)=1030 - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) = - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) = \frac{10}{3} birimkare elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için üst sınırın fonksiyon değerinden alt sınırın fonksiyon değeri çıkarılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Alternatif Yöntem

İstenen alan, parabolün altında kalan alan ile doğrunun altında kalan alanların geometrik farkı olarak da hesaplanabilir. [−2,0][-2, 0] aralığında y=4−x2y = 4 - x^2 parabolünün altında kalan alan: ∫−20(4−x2)dx=163\int_{-2}^0 (4 - x^2) dx = \frac{16}{3} birimkaredir. Aynı aralıkta y=x+2y = x+2 doğrusu, koordinat eksenleriyle köşeleri (−2,0)(-2,0), (0,0)(0,0) ve (0,2)(0,2) olan bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin alanı 2×22=2\frac{2 \times 2}{2} = 2 birimkaredir. İstenen bölge bu iki alanın farkı olduğundan: 163−2=103\frac{16}{3} - 2 = \frac{10}{3} birimkare bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 18Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolü ile bu parabolün xx ekseni boyunca sağa 22 birim ötelenmesiyle elde edilen g(x)g(x) parabolü verilmiştir.

Buna göre; ff ve gg parabolleri ile yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.
Verilen f(x)=x2f(x) = x^2 parabolünün sağa 22 birim ötelenmesiyle g(x)=(x−2)2g(x) = (x-2)^2 parabolü elde edilir. Bu iki parabolün kesişim noktası x=1x=1 apsisli noktadır. İstenen bölge sol taraftan yy ekseni (x=0x=0) ve sağ taraftan kesişim noktası (x=1x=1) ile sınırlandırılmıştır. Bu aralıkta g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan alan integral yardımıyla ∫01(g(x)−f(x)) dx=2\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sa��a ötelenmiş parabol denklemini elde etme
g(x)=f(x−2)=(x−2)2=x2−4x+4g(x) = f(x - 2) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
Bir fonksiyonun grafiği xx ekseni boyunca sağa aa birim ötelendiğinde yeni fonksiyon f(x−a)f(x-a) olur.
2
Parabollerin kesişim noktasını bulma
x2=x2−4x+4⇒4x=4⇒x=1x^2 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1
İki eğrinin kesişim noktasının apsisi, denklemlerinin ortak çözümü ile belirlenir.
3
İntegral sınırlarını belirleme ve alanı hesaplama
Alan = ∫01(g(x)−f(x)) dx=∫01(4−4x) dx=[4x−2x2]01=4(1)−2(1)2−0=2\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (4 - 4x) \, dx = [4x - 2x^2]_0^1 = 4(1) - 2(1)^2 - 0 = 2
yy ekseni x=0x = 0 doğrusudur. [0,1][0, 1] aralığında g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak integral hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesabı ve fonksiyonların yatay ötelenmesi.
Soru 19Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x3y = \sqrt[3]{x} eğrisi, yy-ekseni, y=−1y = -1 ve y=2y = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 174\frac{17}{4}

Cevap

Sınırlıbo¨lgeninalanı174birimkaredir.Sınırlı bölgenin alanı \frac{17}{4} birimkaredir.
Verilen bölge y-ekseni ile sınırlandırıldığı için alan formülü ∫−12∣g(y)∣dy\int_{-1}^{2} |g(y)| dy şeklindedir. y=x3  ⟹  x=g(y)=y3y = \sqrt[3]{x} \implies x = g(y) = y^3 olduğundan, y∈[−1,0]y \in [-1, 0] aralığında g(y)≤0g(y) \le 0 ve y∈[0,2]y \in [0, 2] aralığında g(y)≥0g(y) \ge 0 olur. Bu durumda alan, ∫−10−y3dy+∫02y3dy=14+4=174\int_{-1}^{0} -y^3 dy + \int_{0}^{2} y^3 dy = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri denklemini y cinsinden ifade etme
y=x3  ⟹  x=y3y = \sqrt[3]{x} \implies x = y^3 elde edilir.
y-ekseni ve y=−1,y=2y = -1, y = 2 doğruları ile sınırlı alanı y değişkenine göre entegre etmek için fonksiyonu x=g(y)x = g(y) biçiminde yazmalıyız.
2
Bölgelerin y-eksenine göre konumunu belirleme ve integral sınırlarını ayırma
y∈[−1,0]y \in [-1, 0] için y3≤0y^3 \le 0 (y-ekseninin solunda) ve y∈[0,2]y \in [0, 2] için y3≥0y^3 \ge 0 (y-ekseninin sağında) olduğu belirlenir.
y-ekseninin solunda kalan bölgenin alanı için integralin önüne eksi işareti koyulmalıdır.
3
Alan formülünü yazma ve belirli integralleri hesaplama
Alan=∫−10−y3dy+∫02y3dy=[−y44]−10+[y44]02=(0−(−14))+(4−0)=14+4=174Alan = \int_{-1}^{0} -y^3 dy + \int_{0}^{2} y^3 dy = \left[ -\frac{y^4}{4} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) \right) + (4 - 0) = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} bulunur.
Belirli integrallerin ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla toplam alan elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir eğri ile y-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplamak için integral sınırları içerisinde fonksiyonun işaretine dikkat edilerek mutlak değer integrali alınır.
Soru 20Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 parabolü, x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 343\frac{34}{3}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 343\frac{34}{3} birimkaredir.
Toplam alan, fonksiyonun xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı (99) ile üstünde kalan kısmının alanının (73\frac{7}{3}) toplanmasıyla 343\frac{34}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Soruda verilen [0,4][0, 4] aralığ��nda parabolün xx-eksenini kestiği nokta x=3x = 3 noktasıdır.
Fonksiyonun bu aralıkta işaret değiştirdiği noktayı bulmak, integral sınırlarını doğru parçalara ayırmak için gereklidir.
2
[0,3][0, 3] aralığında xx-ekseninin altında kalan bölgenin alanı hesaplanır.
Bu aralıkta f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan: A1=∫03−f(x) dx=∫03(−x2+2x+3) dx=[−x33+x2+3x]03=(−9+9+9)−0=9A_1 = \int_{0}^{3} -f(x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{3} = (-9 + 9 + 9) - 0 = 9 birimkaredir.
Eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısımlarında integral değeri negatif çıkacağından, alanın pozitif değerini elde etmek için integral eksi ile çarpılır.
3
[3,4][3, 4] aralığında xx-ekseninin üstünde kalan bölgenin alanı hesaplanır.
Bu aralıkta f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan: A2=∫34f(x) dx=∫34(x2−2x−3) dx=[x33−x2−3x]34=(643−16−12)−(9−9−9)=(643−28)−(−9)=−203+9=73A_2 = \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{3}^{4} (x^2 - 2x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x \right]_{3}^{4} = \left( \frac{64}{3} - 16 - 12 \right) - (9 - 9 - 9) = \left( \frac{64}{3} - 28 \right) - (-9) = -\frac{20}{3} + 9 = \frac{7}{3} birimkaredir.
Eğrinin xx-ekseninin üstünde kalan kısımlarında integral değeri doğrudan alanı verir.
4
Elde edilen alan değerleri toplanarak toplam alan bulunur.
Toplam Alan =A1+A2=9+73=343= A_1 + A_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} birimkare bulunur.
Toplam sınırlı bölgenin alanını bulmak için her iki bölgenin alanları toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan hesabında, fonksiyonun xx-ekseninin altında kaldığı aralıklarda integral değerinin negatif olduğu dikkate alınarak alanın pozitif çıkması için integralin önüne eksi işareti konur veya mutlak değeri alınır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, parabolün grafiği çizilip tepe noktası (1,−4)(1, -4) ve kesim noktaları belirlenerek alanların koordinat düzlemindeki dağılımı görsel olarak incelenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Belirli İntegral ile Alan Hesabı Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin