Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=(x−1)2−4f(x) = (x-1)^2 - 4 parabolü ile koordinat eksenlerinin dördüncü bölgede sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 9Cevap
  2. B
    -9
  3. C
    53\frac{5}{3}
  4. D
    113\frac{11}{3}
  5. E
    3

Cevap

9
Dördüncü bölgede parabol x-ekseninin altında yer aldığından, alan değeri integralin negatif işaretlisine eşittir. Parabolün eksenleri kestiği noktalar (0,−3)(0, -3) ve (3,0)(3, 0) olduğundan sınırlar 00 ile 33 arasındadır. İntegral hesaplandığında alan 9 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta için x=0  ⟹  f(0)=(0−1)2−4=−3x = 0 \implies f(0) = (0-1)^2 - 4 = -3. x-eksenini kestiği pozitif nokta için f(x)=0  ⟹  (x−1)2=4  ⟹  x−1=2  ⟹  x=3f(x) = 0 \implies (x-1)^2 = 4 \implies x-1 = 2 \implies x = 3 bulunur.
Dördüncü bölgedeki bölgenin sınırlarını (integral sınırlarını) belirlemek için kesim noktaları gereklidir.
2
İntegral sınırlarını belirleyerek alan ifadesini yazalım.
Dördüncü bölgede xx değerleri 00 ile 33 arasındadır ve bu aralıkta parabol grafiği x-ekseninin altındadır (f(x)≤0f(x) \leq 0). Bu nedenle alan: A=∫03−f(x) dx=∫03(4−(x−1)2) dxA = \int_0^3 -f(x) \, dx = \int_0^3 (4 - (x-1)^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti konulur.
3
İntegral işlemini gerçekleştirelim.
A=[4x−(x−1)33]03A = \left[ 4x - \frac{(x-1)^3}{3} \right]_0^3 olur. Sınırları yerine yazarsak: A=(4(3)−(3−1)33)−(4(0)−(0−1)33)=(12−83)−(0−−13)=12−83−13=12−3=9A = \left( 4(3) - \frac{(3-1)^3}{3} \right) - \left( 4(0) - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \left( 12 - \frac{8}{3} \right) - \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = 12 - \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = 12 - 3 = 9 birimkare bulunur.
Belirli integralin hesaplanmasıyla aranan alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

x-ekseninin altında kalan bir eğrinin sınırlandırdığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin negatif işaretlisine eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru