Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Şekilde y=(x−2)2−1y = (x-2)^2 - 1 parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre, parabol ile xx-ekseni arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 43\frac{4}{3}Cevap
  2. B
    −43-\frac{4}{3}
  3. C
    203\frac{20}{3}
  4. D
    83\frac{8}{3}
  5. E
    23\frac{2}{3}

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 43\frac{4}{3} birimkaredir.
Parabolün xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı, parabolün [1,3][1, 3] aralığındaki integralinin eksi ile çarpılmasına eşittir. Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak hesaplanan integral sonucunda alan 43\frac{4}{3} birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Boyalı bölgenin s��nırlarını belirleme ve alanı integral cinsinden ifade etme.
Bölge x=1x = 1 ile x=3x = 3 arasında ve xx-ekseninin altında yer aldığından, alan A=−∫13((x−2)2−1) dxA = -\int_1^3 ((x-2)^2 - 1) \, dx olarak yazılır.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmasını önlemek için integralin önüne eksi işareti konur.
2
Belirli integrali hesaplamak için u=x−2u = x-2 değişken değiştirmesini yapma.
du=dxdu = dx olur. x=1x=1 için u=−1u=-1 ve x=3x=3 için u=1u=1 sınırları elde edilir. İntegral A=−∫−11(u2−1) duA = -\int_{-1}^1 (u^2 - 1) \, du şekline dönüşür.
Değişken değiştirme yöntemi integral hesabını kolaylaştırır.
3
İntegrali hesaplayıp alan değerini bulma.
A=∫−11(1−u2) du=[u−u33]−11=(1−13)−(−1+13)=23−(−23)=43A = \int_{-1}^1 (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} birimkaredir.
Sınırlar yerine yazılıp integral hesaplanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısmının sınırladığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin mutlak değerine (veya integralin eksi ile çarpımına) eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru