Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBelirli İntegral ile Alan Hesabı

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} tanımlı ve sürekli bir fonksiyondur. y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında;
- [0,2][0, 2] aralığında kalan bölgenin alanı 6 birimkare,
- [2,4][2, 4] aralığında kalan bölgenin alanı 8 birimkare
olarak verilmiştir.

∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2

olduğuna göre,

∫12f(4−2x) dx+∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx + \int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    9
  3. -5Cevap
  4. D
    5
  5. E
    -11

Cevap

-5
Verilen alan değerlerinden integral değerlerinin mutlak değerleri elde edilir: [0,2][0, 2] aralığındaki integralin mutlak değeri 6, [2,4][2, 4] aralığındaki integralin mutlak değeri ise 8'dir. Bu iki integralin toplamı -2 olduğundan, birinci integral 6 ve ikinci integral -8 olmalıdır. Birinci integralde u=4−2xu = 4-2x ve ikinci integralde x≤0x \le 0 için ∣x∣=−x|x| = -x yazılarak v=2−xv = 2-x değişken değiştirmeleri yapıldığında, ifadelerin değerleri sırasıyla 3 ve -8 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı -5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alan ve integral arasındaki ilişkiyi kurarak alt aralıklardaki integral değerlerini belirlemek.
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 ve ∫24f(x) dx=−8\int_{2}^{4} f(x) \, dx = -8
[0,2][0, 2] aralığındaki alan 66 ve [2,4][2, 4] aralığındaki alan 88 birimkaredir. Belirli integrallerin mutlak değerleri bu alanlara eşittir. Toplam integral ∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2 olduğuna göre, ∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=−2\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = -2 eşitliğini sağlayan tek durum birinci integralin pozitif (6), ikincisinin ise negatif (-8) olmasıdır.
2
Birinci integralde ∫12f(4−2x) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx için değişken değiştirme uygulamak.
∫12f(4−2x) dx=3\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx = 3
u=4−2xu = 4 - 2x dönüşümü yapılırsa du=−2 dxdu = -2 \, dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=0u=0 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫02f(u) du=12(6)=3\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \, du = \frac{1}{2} (6) = 3 haline gelir.
3
İkinci integralde ∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx ifadesinde mutlak değeri aralığa göre açıp değişken değiştirme uygulamak.
∫−20f(∣x∣+2) dx=−8\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx = -8
x∈[−2,0]x \in [-2, 0] aralığında olduğundan x≤0x \le 0 ve dolayısıyla ∣x∣=−x|x| = -x olur. İntegral ∫−20f(2−x) dx\int_{-2}^{0} f(2 - x) \, dx halini alır. v=2−xv = 2 - x dönüşümü yapılırsa dv=−dxdv = -dx olur. Sınırlar x=−2x=-2 için v=4v=4 ve x=0x=0 için v=2v=2 olur. İntegral ∫24f(v) dv=−8\int_{2}^{4} f(v) \, dv = -8 olarak hesaplanır.
4
Bulunan integral değerlerini toplamak.
3+(−8)=−53 + (-8) = -5
İstenen ifade iki integralin toplamı olduğundan elde edilen sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan arasındaki işaret ilişkisi ve belirli integralde değişken değiştirme yöntemi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru