Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
xx ve yy, 11'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡3(x⋅y)=5\log_3(x \cdot y) = 5
log⁡9(xy)=1\log_9\left(\frac{x}{y}\right) = 1
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, log⁡yx\log_y x ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    37\frac{3}{7}
  2. B
    119\frac{11}{9}
  3. 73\frac{7}{3}Cevap
  4. D
    32\frac{3}{2}
  5. E
    23\frac{2}{3}

Cevap

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özellikleri kullanılarak elde edilen oran yedi bölü üçtür.
Logaritmanın çarpım özelliğiyle birinci denklem log_3 x + log_3 y = 5 olarak yazılır. İkinci denklemde 9 tabanı 3^2 şeklinde yazılarak kuvvet başa 1/2 çarpanı olarak getirilir ve bölüm özelliğiyle 1/2(log_3 x - log_3 y) = 1, yani log_3 x - log_3 y = 2 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden log_3 x = 7/2 ve log_3 y = 3/2 bulunur. Taban değiştirme kuralına göre log_y x = (log_3 x) / (log_3 y) olduğundan, cevap yedi bölü üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın logaritması özelliğini kullanarak birinci denklemi düzenleme
log⁡3x+log⁡3y=5\log_3 x + \log_3 y = 5
log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c özelliği gereğidir.
2
Bölümün logaritması ve taban değiştirme özelliklerini kullanarak ikinci denklemi düzenleme
log⁡3x−log⁡3y=2\log_3 x - \log_3 y = 2
log⁡9(xy)=12log⁡3(xy)=12(log⁡3x−log⁡3y)=1\log_9\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}\log_3\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}(\log_3 x - \log_3 y) = 1 eşitliğinden elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme
log⁡3x=72\log_3 x = \frac{7}{2} ve log⁡3y=32\log_3 y = \frac{3}{2}
Denklemler taraf tarafa toplanarak 2log⁡3x=72\log_3 x = 7 elde edilir ve ardından yerine koyma yöntemi kullanılır.
4
Taban değiştirme kuralı yardımıyla istenen ifadeyi hesaplama
log⁡yx=73\log_y x = \frac{7}{3}
log⁡yx=log⁡3xlog⁡3y=7/23/2=73\log_y x = \frac{\log_3 x}{\log_3 y} = \frac{7/2}{3/2} = \frac{7}{3} taban değiştirme kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru