Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den büyük xx, yy ve zz gerçel sayıları için
log⁡xy+log⁡zy=132\log_x y + \log_z y = \frac{13}{2}
log⁡yz+log⁡xz=12\log_y z + \log_x z = \frac{1}{2}
olduğuna göre,
log⁡zx+log⁡yx\log_z x + \log_y x
ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Verilen denklem sistemine göre, istenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde değişken değiştirme yöntemi uygulanmış, taban değiştirme kuralları yardımıyla tüm bilinmeyenler tek bir değişken cinsinden ifade edilerek çözülmüştür. Elde edilen değerlerin toplamı 4 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümünün tanımlanması
log⁡xy=a\log_x y = a, log⁡yz=b\log_y z = b ve log⁡zx=c\log_z x = c olsun. Buradan a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı gereğince farklı tabanlardaki logaritmaların çarpımı sadeleşerek 1 değerini verir.
2
İfadelerin çarpmaya göre terslerinin bulunması
log⁡zy=1b\log_z y = \frac{1}{b}, log⁡xz=1c\log_x z = \frac{1}{c} ve log⁡yx=1a\log_y x = \frac{1}{a} olarak yazılır.
Bir logaritmik ifadede taban ile argüman yer değiştirdiğinde ifadenin çarpmaya göre tersi alınır.
3
Denklem sisteminin değişkenler cinsinden ifade edilmesi
a+1b=132a + \frac{1}{b} = \frac{13}{2} ve b+1c=12b + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İstenen ifade ise c+1ac + \frac{1}{a} toplamıdır.
Verilen denklemlerdeki logaritmik ifadelerin yerine tanımladığımız değişkenler yazılmıştır.
4
Değişkenlerin birbirleri cinsinden yazılması
c=21−2bc = \frac{2}{1-2b} ve a=1−2b2ba = \frac{1-2b}{2b} bağıntıları elde edilir.
İkinci denklemden cc çekilerek a⋅b⋅c=1a \cdot b \cdot c = 1 eşitliğinde yerine yazılmış ve aa elde edilmiştir.
5
Bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması
b=15b = \frac{1}{5}, a=32a = \frac{3}{2} ve c=103c = \frac{10}{3} bulunur.
Bulunan aa bağıntısı birinci denklemde yerine yazılarak bb çözülmüş, ardından bu değerle aa ve cc hesaplanmıştır.
6
İtenen ifadenin hesaplanması
c+1a=103+23=4c + \frac{1}{a} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = 4 bulunur.
Hesaplanan aa ve cc değerleri istenen toplam formülünde yerine yerleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru