Examkin

Soru

Zorluk: KolayArtan ve Azalan Fonksiyonlar
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
  1. [−1,3][-1, 3]Cevap
  2. B
    (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty)
  3. C
    [−3,1][-3, 1]
  4. D
    (−∞,−3]∪[1,∞)(-\infty, -3] \cup [1, \infty)
  5. E
    [−1,∞)[-1, \infty)

Cevap

[−1,3][-1, 3] aralığıdır.
Verilen fonksiyonun birinci türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x - 3)(x + 1) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında, türevin [−1,3][-1, 3] aralığında negatif değerler aldığı görülür. Bu nedenle fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 Denklemden kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=3x_2 = 3 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirebileceği kritik noktaları belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
3
Birinci türev için işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Buna göre, fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] kapalı aralığıdır.
Türevin negatif (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri gösterir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru