Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f′f' fonksiyonu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her x∈(−∞,−3)∪(8,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (8, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0'dır.
* Her x∈(−3,8)∖{0}x \in (-3, 8) \setminus \{0\} için f′(x)<0f'(x) < 0'dır.
* f′(−3)=f′(0)=f′(8)=0f'(-3) = f'(0) = f'(8) = 0'dır.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) olmak üzere,

I. gg fonksiyonu [1,4][1, 4] aralığında azalandır.
II. g(0)>g(−1)g(0) > g(-1)'dir.
III. g(2)>g(1)g(2) > g(1)'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Doğru yanıt olan ifadeler I ve II'dir. Türev tablosu yapıldığında g′(x)g'(x)'in [−2,1][-2, 1] aralığında pozitif veya sıfır olduğu ve sadece izole noktalarda sıfırlandığı görülür. Bu yüzden g(x)g(x) bu aralıkta kesin artandır, dolayısıyla g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) eşitsizliği sağlanır. Benzer şekilde, g′(x)g'(x)'in [1,4][1, 4] aralığında negatif veya sıfır olması fonksiyonun bu aralıkta azalan olduğunu gösterir. Bu durumda birinci öncül doğru olurken, azalanlık tanımı gereği g(2)<g(1)g(2) < g(1) olması gerektiğinden üçüncü öncül yanlış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) yardımıyla g(x)g(x) fonksiyonunun türevi bulunur.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2-2x)
g(x)=f(h(x))g(x) = f(h(x)) ise g′(x)=h′(x)⋅f′(h(x))g'(x) = h'(x) \cdot f'(h(x)) kuralını uygulamak gerekir.
2
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin kökleri belirlenir.
2x−2=0  ⟹  x=12x-2 = 0 \implies x=1 (tek katlı kök) ve f′(x2−2x)=0  ⟹  x2−2x∈{−3,0,8}f'(x^2-2x) = 0 \implies x^2-2x \in \{-3, 0, 8\}. Bunlardan;
* x2−2x=−3  ⟹  x2−2x+3=0x^2-2x = -3 \implies x^2-2x+3=0 denkleminin diskriminantı Δ<0\Delta < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Her xx için x2−2x>−3x^2-2x > -3 sağlanır.
* x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0  ⟹  x=0x^2-2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x=0 ve x=2x=2 kökleri bulunur. Grafikte f′(u)f'(u) fonksiyonu u=0u=0'da işaret değiştirmediği (x-eksenine teğet olduğu) için bu kökler g′(x)g'(x) için işaret değiştirmeyen (çift katlı) köklerdir.
* x2−2x=8  ⟹  x2−2x−8=0  ⟹  x=−2x^2-2x = 8 \implies x^2-2x-8=0 \implies x=-2 ve x=4x=4 tek katlı kökleri bulunur.
İşaret tablosu yapmak için türevi sıfır yapan tüm kritik noktaların ve köklerin türünün (tek/çift katlı) bilinmesi gerekir.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturulur.
* x<−2x < -2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* −2<x<0-2 < x < 0 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 0<x<10 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 1<x<21 < x < 2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* 2<x<42 < x < 4 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* x>4x > 4 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin her bir çarpanının işaretleri çarpılarak toplam türevin işareti bulunur.
4
Monotonluk aralıkları birleştirilerek öncüller incelenir.
gg fonksiyonu sürekli olduğundan, artan olduğu aralıklar birleştirilerek [−2,1][-2, 1] aralığında artan, azalan olduğu aralıklar birleştirilerek [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğu görülür. Buradan;
* I. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalandır ifadesi doğrudur.
* II. öncül: [−2,1][-2, 1] aralığında artan olduğundan ve −1<0-1 < 0 olduğundan g(−1)<g(0)g(-1) < g(0), yani g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) ifadesi doğrudur.
* III. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğundan ve 1<21 < 2 olduğundan g(1)>g(2)g(1) > g(2), yani g(2)>g(1)g(2) > g(1) ifadesi yanlıştır.
Öncüllerdeki eşitsizliklerin doğruluğu tanımlı oldukları monotonluk aralıklarındaki davranışlara göre test edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve türev yardımıyla artan/azalan aralıkların bulunması
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru