Tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4} biçiminde tanımlanan… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde

f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}

biçiminde tanımlanan

f

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?

Azalan olduğu en geniş küme

[-6, -2] \setminus \{-4\}

kümesidir.

Türevin işaret tablosu yapıldığında

[-6, -2]

aralığında türev işaretinin negatif olduğu görülür. Ancak fonksiyon

x = -4

noktasında tanımsız olduğu için bu nokta çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş küme

[-6, -2] \setminus \{-4\}

olur.

Fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = \frac{(2x+3)(x+4) - (x^2+3x)}{(x+4)^2} = \frac{x^2+8x+12}{(x+4)^2}

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.

Türevin kökleri ve tanımsızlık noktaları belirlenir.

Payın kökleri:

x^2 + 8x + 12 = 0 \implies (x+6)(x+2) = 0 \implies x = -6

x = -2

. Paydanın kökü (tanımsızlık noktası):

x = -4

İşaret tablosunda kullanılacak kritik noktaları bulmak için türevin pay ve paydasının kökleri tespit edilir.

İşaret tablosu oluşturulur ve yorumlanır.

x \in (-\infty, -6)

için

f'(x) > 0

(artan),

x \in (-6, -4)

için

f'(x) < 0

(azalan),

x \in (-4, -2)

için

f'(x) < 0

(azalan) ve

x \in (-2, \infty)

için

f'(x) > 0

(artan).

Türevin işaretine göre fonksiyonun artanlık ve azalanlık bölgeleri belirlenir.

Tanım kümesi dikkate alınarak en geniş azalanlık kümesi yazılır.

Fonksiyon

x = -4

noktasında tanımsız olduğundan bu değer kümeden çıkarılır. Sonuç:

[-6, -2] \setminus \{-4\}

Bir fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktada artan veya azalan olmasından bahsedilemez.

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir aralıkta azalan olması için o aralıktaki her nokta için türevinin sıfırdan küçük veya eşit (

f'(x) \le 0

) olması gerekir. Tanımsız noktalar bu kümeye dahil edilmez.

Soru