Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir ff fonksiyonunun, bu aralığın eş alt aralıklara bölünmesiyle elde edilen herhangi bir düzgün bölüntüsüne göre hesaplanan sol Riemann toplamı, ff fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann alt toplamına her zaman eşittir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Sürekli ve artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki en küçük değeri aralığın sol sınırında oluşur. Riemann alt toplamı bu minimum değerleri kullandığından, sol uç noktaları kullanan sol Riemann toplamı ile birebir aynı değeri verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıklardaki uç noktaların fonksiyon değerlerini analiz etme
ff fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her bir [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında fonksiyonun minimum değeri sol uç noktada gerçekleşir, yani mi=f(xi−1)m_i = f(x_{i-1}) olur.
Artan fonksiyonlar��n tanımı gereği, aralıktaki daha küçük girdiler daha küçük çıktılar üretir.
2
Riemann alt toplamının formülünü yazma
nn alt aralıktan oluşan bir düzgün bölüntü için Riemann alt toplamı A=∑i=1nmiΔx=∑i=1nf(xi−1)ΔxA = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x şeklindedir.
Riemann alt toplamı, alt aralıkların genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
3
Sol Riemann toplamının formülünü yazıp karşılaştırma
Sol Riemann toplamı, her bir alt aralığın sol uç noktasındaki değer olan f(xi−1)f(x_{i-1}) ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır: S=∑i=1nf(xi−1)ΔxS = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x. Buradan A=SA = S olduğu görülür.
Her iki toplam da aynı terimlerin toplamından oluştuğu için birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı ile sol Riemann toplamının özdeşliği
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru