Examkin

Soru

Zorluk: KolayRiemann Toplamı

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve sürekli artan bir f(x)f(x) fonksiyonunun bu aralıktaki herhangi bir bölüntüsüne ait Riemann alt toplamı, ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx belirli integralinin değerinden her zaman küçüktür.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Sürekli ve sürekli artan bir fonksiyonun Riemann alt toplamı, belirli integral değerinden her zaman küçüktür.
Sürekli ve artan fonksiyonlarda alt aralıklardaki en küçük değerler sol uç noktalarda alınır ve bu noktalarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı eğrinin altında kalarak integral değerinden küçük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann alt toplamının tanımını ve dikdörtgenlerin yüksekliklerini belirleyin.
Riemann alt toplamı oluşturulurken, her alt aralıktaki minimum fonksiyon değeri yükseklik olarak alınır.
Fonksiyon sürekli artan olduğundan, her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında fonksiyonun alabileceği en küçük değer sol uç nokta olan f(xi−1)f(x_{i-1}) değeridir.
2
Riemann alt toplamı ile belirli integralin geometrik anlamını karşılaştırın.
Riemann alt toplamını temsil eden dikdörtgenlerin tamamı, y=f(x)y = f(x) eğrisinin altında kalır.
Her alt aralıkta f(xi−1)<f(x)f(x_{i-1}) < f(x) (sol uç hariç) olduğundan, dikdörtgenlerin alanları toplamı, eğri altında kalan alandan (yani belirli integralden) kesinlikle küçük olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru