Examkin

Soru

Zorluk: ZorRiemann Toplamı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, 3 eş alt aralığa bölünüyor.

Bu bölüntüye göre;
- AA: Riemann alt toplamı,
- U¨Ü: Riemann üst toplamı,
- DD: Sağ uç noktalara göre hesaplanan Riemann toplamı,
- I=∫03f(x) dxI = \int_0^3 f(x) \, dx

olarak belirleniyor.

Buna göre; AA, U¨Ü, DD ve II değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A<D<I<U¨A < D < I < ÜCevap
  2. B
    D<A<I<U¨D < A < I < Ü
  3. C
    A<I<D<U¨A < I < D < Ü
  4. D
    D<I<A<U¨D < I < A < Ü
  5. E
    A<D<U¨<IA < D < Ü < I

Cevap

A<D<I<U¨A < D < I < Ü sıralaması doğrudur.
Riemann alt toplamı hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerler (33, 22, 22) seçilerek A=7A = 7 bulunur. Sağ uç Riemann toplamı için alt aralıkların sağ uçlarındaki değerler (f(1)=3,f(2)=2,f(3)=3f(1)=3, f(2)=2, f(3)=3) kullanılarak D=8D = 8 elde edilir. Belirli integral hesaplandığında I=9I = 9 ve Riemann üst toplamı için her aralıktaki en büyük değerler (66, 33, 33) seçilerek U¨=12Ü = 12 elde edilir. Bu değerler sıralandığında doğru sıralama elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme.
Genişlik Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1 olup alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamlarını hesaplayabilmek için öncelikle aralığın kaç eş parçaya bölündü��ünü ve her bir parçanın sınırlarını bulmamız gerekir.
2
Fonksiyonun kritik noktalarını ve alt aralıklardaki davranışını inceleme.
f′(x)=2x−4=0  ⟹  x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \implies x = 2 parabolün tepe noktasıdır. Fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,3][2, 3] aralığında artandır. Değerler: f(0)=6f(0) = 6, f(1)=3f(1) = 3, f(2)=2f(2) = 2, f(3)=3f(3) = 3 olur.
Riemann alt ve üst toplamlarında her alt aralıktaki minimum ve maksimum değerleri doğru seçebilmek için fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu tepe noktasına göre incelemeliyiz.
3
AA (Riemann alt toplamı) ve U¨Ü (Riemann üst toplamı) değerlerini hesaplama.
[0,1][0, 1] aralığında en küçük değer f(1)=3f(1)=3, [1,2][1, 2] aralığında en küçük değer f(2)=2f(2)=2, [2,3][2, 3] aralığında en küçük değer f(2)=2f(2)=2 olduğundan A=1⋅(3+2+2)=7A = 1 \cdot (3 + 2 + 2) = 7 bulunur. [0,1][0, 1] aralığında en büyük değer f(0)=6f(0)=6, [1,2][1, 2] aralığında en büyük değer f(1)=3f(1)=3, [2,3][2, 3] aralığında en büyük değer f(3)=3f(3)=3 olduğundan U¨=1⋅(6+3+3)=12Ü = 1 \cdot (6 + 3 + 3) = 12 bulunur.
Riemann alt toplamı için her aralıktaki minimum değerleri, üst toplamı için ise maksimum değerleri aralık genişliğiyle çarparak toplarız.
4
DD (Sağ uç noktalara göre Riemann toplamı) ve II (Belirli integral) değerlerini hesaplama.
Sağ uç noktalar x1=1x_1=1, x2=2x_2=2, x3=3x_3=3 olduğundan D=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=3+2+3=8D = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 3 + 2 + 3 = 8 olur. İntegral ise I=∫03(x2−4x+6) dx=[x33−2x2+6x]03=(9−18+18)−0=9I = \int_0^3 (x^2 - 4x + 6) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 6x \right]_0^3 = (9 - 18 + 18) - 0 = 9 bulunur.
Sağ uç Riemann toplamı için her alt aralığın sağ sınırındaki fonksiyon değerlerini kullanırız. İntegral değeri ise eğrinin altındaki gerçek alanı verir.
5
Elde edilen tüm değerleri sıralama.
7<8<9<127 < 8 < 9 < 12 olduğundan A<D<I<U¨A < D < I < Ü sıralaması elde edilir.
Bulduğumuz değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırarak doğru sıralamayı buluruz.

Anahtar Kavram

Riemann toplamı, belirli bir aralıkta tanımlı fonksiyonun alt aralıklardaki minimum/maksimum değerleri veya belirli uç noktaları kullanılarak hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamıdır. Bu toplamlar, fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıklara göre integral değerinden büyük, küçük veya eşit olabilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru