Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

fonksiyonu veriliyor. [0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre Riemann alt toplamı AA ve Riemann üst toplamı U¨Ü hesaplanıyor.

Buna göre, U¨−AÜ - A farkı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    6
  3. 9Cevap
  4. D
    25
  5. E
    15

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 9'dur.
Doğru cevap 9'dur. [0,3][0, 3] aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonu bu aralıkta artan olduğundan, Riemann alt toplamı alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerlerle A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 8 olarak hesaplanır. Riemann üst toplamı ise sağ uç noktalardaki değerlerle U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 17 olarak elde edilir. Bu iki toplamın farkı U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini (Δx \Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 elde edilir. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamlarında her bir dikdörtgenin taban genişliğini belirlemek gerekir.
2
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonunun verilen aralıktaki artanlık durumunu inceleyerek alt ve üst toplam için fonksiyon değerlerini belirleyin.
f′(x)=2x>0f'(x) = 2x > 0 olduğundan fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artandır. Bu nedenle Riemann alt toplamı için aralıkların sol uç değerleri (x=0,1,2x = 0, 1, 2), Riemann üst toplamı için ise sağ uç değerleri (x=1,2,3x = 1, 2, 3) kullanılır.
Artan fonksiyonlarda alt toplam sol uç noktalarla, üst toplam ise sağ uç noktalarla hesaplanır.
3
Riemann alt toplamını (AA) ve Riemann üst toplamını (U¨Ü) hesaplayıp aralarındaki farkı bulun.
A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=1⋅(1+2+5)=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 1 \cdot (1 + 2 + 5) = 8 ve U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=1⋅(2+5+10)=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (2 + 5 + 10) = 17 bulunur. Buradan U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 elde edilir.
Soruda istenen üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulmak için elde edilen değerler birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması ve artan/azalan fonksiyonlarla ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru