Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında [0,3][0, 3] aralığında kalan bölgenin alanı, [0,3][0, 3] aralığının 33 eş alt aralığa bölünmesiyle elde edilen Riemann üst toplamından kaç birimkare azdır?

Cevap: 3

Cevap

Grafik ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı, Riemann üst toplamından 3 birimkare azdır.
Riemann üst toplamı, fonksiyonun monotonluğuna dikkat edilerek alt aralıklardaki maksimum değerler yardımıyla U=18U = 18 olarak bulunur. Eğrinin altındaki gerçek alan ise belirli integral ile A=15A = 15 olarak hesaplanır. Aralarındaki fark 18−15=318 - 15 = 3 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkların belirlenmesi ve genişliğinin bulunması.
[0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1 olur. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamı hesaplanırken alt aralıkların genişlikleri ve sınırları belirlenmelidir.
2
Her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değerlerin bulunması.
f(x)=(x−1)2+4f(x) = (x-1)^2 + 4 parabolünün tepe noktası x=1x=1'dir. [0,1][0, 1] aralığında f(x)f(x) azalan olduğundan maksimum değer sol uçta, yani f(0)=5f(0) = 5 olur. [1,2][1, 2] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(2)=5f(2) = 5 olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(3)=8f(3) = 8 olur.
Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük değer seçilmelidir.
3
Riemann üst toplamının (UU) hesaplanması.
U=Δx⋅(f(0)+f(2)+f(3))=1⋅(5+5+8)=18U = \Delta x \cdot (f(0) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (5 + 5 + 8) = 18 birimkaredir.
Riemann üst toplamı, alt aralık genişliği ile bu aralıklardaki maksimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
4
Grafiğin altında kalan gerçek alanın (AA) integral yardımıyla hesaplanması.
A=∫03(x2−2x+5)dx=[x33−x2+5x]03=(9−9+15)−0=15A = \int_0^3 (x^2 - 2x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 5x \right]_0^3 = (9 - 9 + 15) - 0 = 15 birimkaredir.
[0,3][0, 3] aralığında f(x)>0f(x) > 0 olduğundan, grafik ile xx ekseni arasındaki alan belirli integral ile tam olarak hesaplanabilir.
5
Riemann üst toplamı ile gerçek alan arasındaki farkın bulunması.
U−A=18−15=3U - A = 18 - 15 = 3 birimkaredir.
Soruda alanın Riemann üst toplamından kaç birimkare az olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru