Examkin

Riemann Toplamı

38 soru

Tüm türler38Çoktan seçmeli20Doğru / Yanlış10Sayısal8
Soru 1Soru →

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve sürekli artan bir f(x)f(x) fonksiyonunun bu aralıktaki herhangi bir bölüntüsüne ait Riemann alt toplamı, ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx belirli integralinin değerinden her zaman küçüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Sürekli ve sürekli artan bir fonksiyonun Riemann alt toplamı, belirli integral değerinden her zaman küçüktür.
Sürekli ve artan fonksiyonlarda alt aralıklardaki en küçük değerler sol uç noktalarda alınır ve bu noktalarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı eğrinin altında kalarak integral değerinden küçük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann alt toplamının tanımını ve dikdörtgenlerin yüksekliklerini belirleyin.
Riemann alt toplamı oluşturulurken, her alt aralıktaki minimum fonksiyon değeri yükseklik olarak alınır.
Fonksiyon sürekli artan olduğundan, her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında fonksiyonun alabileceği en küçük değer sol uç nokta olan f(xi−1)f(x_{i-1}) değeridir.
2
Riemann alt toplamı ile belirli integralin geometrik anlamını karşılaştırın.
Riemann alt toplamını temsil eden dikdörtgenlerin tamamı, y=f(x)y = f(x) eğrisinin altında kalır.
Her alt aralıkta f(xi−1)<f(x)f(x_{i-1}) < f(x) (sol uç hariç) olduğundan, dikdörtgenlerin alanları toplamı, eğri altında kalan alandan (yani belirli integralden) kesinlikle küçük olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, 3 eş alt aralığa bölünüyor.

Bu bölüntüye göre;
- AA: Riemann alt toplamı,
- U¨Ü: Riemann üst toplamı,
- DD: Sağ uç noktalara göre hesaplanan Riemann toplamı,
- I=∫03f(x) dxI = \int_0^3 f(x) \, dx

olarak belirleniyor.

Buna göre; AA, U¨Ü, DD ve II değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A<D<I<U¨A < D < I < Ü

Cevap

A<D<I<U¨A < D < I < Ü sıralaması doğrudur.
Riemann alt toplamı hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerler (33, 22, 22) seçilerek A=7A = 7 bulunur. Sağ uç Riemann toplamı için alt aralıkların sağ uçlarındaki değerler (f(1)=3,f(2)=2,f(3)=3f(1)=3, f(2)=2, f(3)=3) kullanılarak D=8D = 8 elde edilir. Belirli integral hesaplandığında I=9I = 9 ve Riemann üst toplamı için her aralıktaki en büyük değerler (66, 33, 33) seçilerek U¨=12Ü = 12 elde edilir. Bu değerler sıralandığında doğru sıralama elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme.
Genişlik Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1 olup alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamlarını hesaplayabilmek için öncelikle aralığın kaç eş parçaya bölündü��ünü ve her bir parçanın sınırlarını bulmamız gerekir.
2
Fonksiyonun kritik noktalarını ve alt aralıklardaki davranışını inceleme.
f′(x)=2x−4=0  ⟹  x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \implies x = 2 parabolün tepe noktasıdır. Fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,3][2, 3] aralığında artandır. Değerler: f(0)=6f(0) = 6, f(1)=3f(1) = 3, f(2)=2f(2) = 2, f(3)=3f(3) = 3 olur.
Riemann alt ve üst toplamlarında her alt aralıktaki minimum ve maksimum değerleri doğru seçebilmek için fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu tepe noktasına göre incelemeliyiz.
3
AA (Riemann alt toplamı) ve U¨Ü (Riemann üst toplamı) değerlerini hesaplama.
[0,1][0, 1] aralığında en küçük değer f(1)=3f(1)=3, [1,2][1, 2] aralığında en küçük değer f(2)=2f(2)=2, [2,3][2, 3] aralığında en küçük değer f(2)=2f(2)=2 olduğundan A=1⋅(3+2+2)=7A = 1 \cdot (3 + 2 + 2) = 7 bulunur. [0,1][0, 1] aralığında en büyük değer f(0)=6f(0)=6, [1,2][1, 2] aralığında en büyük değer f(1)=3f(1)=3, [2,3][2, 3] aralığında en büyük değer f(3)=3f(3)=3 olduğundan U¨=1⋅(6+3+3)=12Ü = 1 \cdot (6 + 3 + 3) = 12 bulunur.
Riemann alt toplamı için her aralıktaki minimum değerleri, üst toplamı için ise maksimum değerleri aralık genişliğiyle çarparak toplarız.
4
DD (Sağ uç noktalara göre Riemann toplamı) ve II (Belirli integral) değerlerini hesaplama.
Sağ uç noktalar x1=1x_1=1, x2=2x_2=2, x3=3x_3=3 olduğundan D=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=3+2+3=8D = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 3 + 2 + 3 = 8 olur. İntegral ise I=∫03(x2−4x+6) dx=[x33−2x2+6x]03=(9−18+18)−0=9I = \int_0^3 (x^2 - 4x + 6) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 6x \right]_0^3 = (9 - 18 + 18) - 0 = 9 bulunur.
Sağ uç Riemann toplamı için her alt aralığın sağ sınırındaki fonksiyon değerlerini kullanırız. İntegral değeri ise eğrinin altındaki gerçek alanı verir.
5
Elde edilen tüm değerleri sıralama.
7<8<9<127 < 8 < 9 < 12 olduğundan A<D<I<U¨A < D < I < Ü sıralaması elde edilir.
Bulduğumuz değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırarak doğru sıralamayı buluruz.

Anahtar Kavram

Riemann toplamı, belirli bir aralıkta tanımlı fonksiyonun alt aralıklardaki minimum/maksimum değerleri veya belirli uç noktaları kullanılarak hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamıdır. Bu toplamlar, fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıklara göre integral değerinden büyük, küçük veya eşit olabilir.
Soru 3Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında [0,3][0, 3] aralığında kalan bölgenin alanı, [0,3][0, 3] aralığının 33 eş alt aralığa bölünmesiyle elde edilen Riemann üst toplamından kaç birimkare azdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Grafik ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı, Riemann üst toplamından 3 birimkare azdır.
Riemann üst toplamı, fonksiyonun monotonluğuna dikkat edilerek alt aralıklardaki maksimum değerler yardımıyla U=18U = 18 olarak bulunur. Eğrinin altındaki gerçek alan ise belirli integral ile A=15A = 15 olarak hesaplanır. Aralarındaki fark 18−15=318 - 15 = 3 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkların belirlenmesi ve genişliğinin bulunması.
[0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1 olur. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamı hesaplanırken alt aralıkların genişlikleri ve sınırları belirlenmelidir.
2
Her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değerlerin bulunması.
f(x)=(x−1)2+4f(x) = (x-1)^2 + 4 parabolünün tepe noktası x=1x=1'dir. [0,1][0, 1] aralığında f(x)f(x) azalan olduğundan maksimum değer sol uçta, yani f(0)=5f(0) = 5 olur. [1,2][1, 2] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(2)=5f(2) = 5 olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(3)=8f(3) = 8 olur.
Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük değer seçilmelidir.
3
Riemann üst toplamının (UU) hesaplanması.
U=Δx⋅(f(0)+f(2)+f(3))=1⋅(5+5+8)=18U = \Delta x \cdot (f(0) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (5 + 5 + 8) = 18 birimkaredir.
Riemann üst toplamı, alt aralık genişliği ile bu aralıklardaki maksimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
4
Grafiğin altında kalan gerçek alanın (AA) integral yardımıyla hesaplanması.
A=∫03(x2−2x+5)dx=[x33−x2+5x]03=(9−9+15)−0=15A = \int_0^3 (x^2 - 2x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 5x \right]_0^3 = (9 - 9 + 15) - 0 = 15 birimkaredir.
[0,3][0, 3] aralığında f(x)>0f(x) > 0 olduğundan, grafik ile xx ekseni arasındaki alan belirli integral ile tam olarak hesaplanabilir.
5
Riemann üst toplamı ile gerçek alan arasındaki farkın bulunması.
U−A=18−15=3U - A = 18 - 15 = 3 birimkaredir.
Soruda alanın Riemann üst toplamından kaç birimkare az olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Soru 4Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta sürekli olan f(x)=x+1f(x) = x + 1 fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki grafiği verilmiştir. Bu aralık, eşit uzunlukta iki alt aralığa bölünüyor. Buna göre, ff fonksiyonunun bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Riemann alt toplamının değeri 5'tir.
Doğru cevap 5'tir. Eşit uzunluktaki iki alt aralık [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olup genişlikleri 1'dir. f(x)=x+1f(x) = x + 1 fonksiyonu artan olduğundan Riemann alt toplamı için sol uç noktalar kullanılır: f(1)⋅1+f(2)⋅1=2⋅1+3⋅1=5f(1) \cdot 1 + f(2) \cdot 1 = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğinin hesaplanması
Δx=1\Delta x = 1
[1,3][1, 3] aralığı 2 eşit alt aralığa bölündüğünde alt aralıklar [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olur. Genişlik Δx=3−12=1\Delta x = \frac{3-1}{2} = 1 birimdir.
2
Fonksiyon değerlerinin belirlenmesi
f(1)=2f(1) = 2 ve f(2)=3f(2) = 3
Riemann alt toplamı için her bir alt aralıktaki en küçük fonksiyon değerleri (artan fonksiyon olduğu için sol uç noktalar) seçilir.
3
Riemann alt toplamının hesaplanması
2⋅1+3⋅1=52 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5
Belirlenen fonksiyon değerleri ile alt aralık genişliği çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun her bir alt aralıktaki en küçük değerleri ile alt aralık genişlikleri çarpılıp toplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

fonksiyonu veriliyor. [0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre Riemann alt toplamı AA ve Riemann üst toplamı U¨Ü hesaplanıyor.

Buna göre, U¨−AÜ - A farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 9'dur.
Doğru cevap 9'dur. [0,3][0, 3] aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonu bu aralıkta artan olduğundan, Riemann alt toplamı alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerlerle A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 8 olarak hesaplanır. Riemann üst toplamı ise sağ uç noktalardaki değerlerle U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 17 olarak elde edilir. Bu iki toplamın farkı U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini (Δx \Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 elde edilir. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamlarında her bir dikdörtgenin taban genişliğini belirlemek gerekir.
2
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonunun verilen aralıktaki artanlık durumunu inceleyerek alt ve üst toplam için fonksiyon değerlerini belirleyin.
f′(x)=2x>0f'(x) = 2x > 0 olduğundan fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artandır. Bu nedenle Riemann alt toplamı için aralıkların sol uç değerleri (x=0,1,2x = 0, 1, 2), Riemann üst toplamı için ise sağ uç değerleri (x=1,2,3x = 1, 2, 3) kullanılır.
Artan fonksiyonlarda alt toplam sol uç noktalarla, üst toplam ise sağ uç noktalarla hesaplanır.
3
Riemann alt toplamını (AA) ve Riemann üst toplamını (U¨Ü) hesaplayıp aralarındaki farkı bulun.
A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=1⋅(1+2+5)=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 1 \cdot (1 + 2 + 5) = 8 ve U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=1⋅(2+5+10)=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (2 + 5 + 10) = 17 bulunur. Buradan U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 elde edilir.
Soruda istenen üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulmak için elde edilen değerler birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması ve artan/azalan fonksiyonlarla ilişkisi.
Soru 6Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Riemann alt toplamı 15 olarak bulunur.
Verilen [1,4][1, 4] aralığı 33 eş parçaya bölündüğünde aralık genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. Fonksiyon artan olduğu için Riemann alt toplamında her alt aralığın sol ucundaki değerler (f(1)=3,f(2)=5,f(3)=7f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7) yükseklik olarak alınır. Dikdörtgenlerin alanları toplamından Riemann alt toplamı 3+5+7=153+5+7=15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme
Genişlik Δx=1\Delta x = 1 ve aralıklar [1,2][1, 2], [2,3][2, 3], [3,4][3, 4]
Riemann toplamı hesaplanırken aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.
2
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumuna göre alt toplam için temsilci noktaları seçme
Sol uç noktalar seçilir: x=1,2,3x = 1, 2, 3
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 artan olduğundan her alt aralıktaki en küçük değer sol uçta alınır.
3
Seçilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(1)=3f(1) = 3, f(2)=5f(2) = 5, f(3)=7f(3) = 7
Riemann dikdörtgenlerinin yüksekliklerini bulmak için.
4
Riemann alt toplamı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
1⋅3+1⋅5+1⋅7=151 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 = 15
Dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı, artan fonksiyonlarda alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerler kullanılarak hesaplanır.
Soru 7Soru →

f:[2,8]→Rf: [2, 8] \rightarrow \mathbb{R} sürekli ve artan bir fonksiyondur. [2,8][2, 8] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.

Bu bölüntüye göre; ff fonksiyonunun [2,8][2, 8] aralığındaki Riemann alt toplamı AA, Riemann üst toplamı UU ve belirli integral değeri I=∫28f(x) dxI = \int_{2}^{8} f(x) \, dx olarak tanımlanıyor.

Buna göre;

I. A<I<UA < I < U
II. U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big)
III. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için U−A=40U - A = 40 olur.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.
Sürekli ve artan bir fonksiyonda Riemann alt toplamı belirli integralden küçük, Riemann üst toplamı ise büyüktür. Bu nedenle A<I<UA < I < U ifadesi her zaman doğrudur. Riemann üst ve alt toplamlarının farkı ise U−A=(f(8)−f(2))⋅ΔxU - A = (f(8) - f(2)) \cdot \Delta x formülüyle bulunur. Eşit aralıklı bölüntüde Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olduğundan U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot (f(8) - f(2)) elde edilir ve bu ifade de her zaman doğrudur. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için fark (f(8)−f(2))⋅63=(64−4)⋅2=120(f(8) - f(2)) \cdot \frac{6}{3} = (64 - 4) \cdot 2 = 120 olur, dolayısıyla üçüncü öncül yanlıştır. Bu yüzden doğru cevap 'I ve II' öncüllerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık özelliğine göre Riemann toplamları ile integral değerinin büyüklük ilişkisini belirlemek.
A<I<UA < I < U eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu bulunur.
ff fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun minimum de��eri sol uçta, maksimum değeri ise sağ uçta alınır. Bu durum alt toplamın integralden küçük, üst toplamın ise integralden büyük olmasını gerektirir.
2
Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki farkın genel formülünü türetmek.
U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big) elde edilir.
Eş alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8 - 2}{n} = \frac{6}{n} dir. Alt toplam sol uç değerleriyle, üst toplam ise sağ uç değerleriyle hesaplanır. Fark alındığında aradaki tüm terimler sadeleşir ve geriye yalnızca sınır değerleri kalır: (f(8)−f(2))⋅Δx(f(8) - f(2)) \cdot \Delta x.
3
Üçüncü öncülde verilen özel durumu formül yardımıyla hesaplamak.
U−A=120U - A = 120 bulunur.
n=3n = 3 için Δx=2\Delta x = 2 olur. f(x)=x2f(x) = x^2 için f(8)=64f(8) = 64 ve f(2)=4f(2) = 4 olduğundan fark (64−4)⋅2=120(64 - 4) \cdot 2 = 120 olur. Öncüldeki 40 değeri yanlıştır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve aralarındaki farkın hesaplanması
Soru 8Soru →
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığı eş alt aralıklara bölünerek elde edilen her Riemann üst toplamı, ∫153x dx\int_1^5 3^x \, dx belirli integralinin değerinden büyüktür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru
Verilen fonksiyon sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun alacağı en büyük değer sağ uç noktada gerçekleşir. Bu sağ uç noktalarla oluşturulan Riemann üst toplamı, integralin temsil ettiği alanın her zaman üstünde kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun belirlenmesi.
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡(3)>0f'(x) = 3^x \ln(3) > 0 olduğundan, fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır.
Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi belirlemek için fonksiyonun yönü tespit edilmelidir.
2
Riemann üst toplamı tanımının artan fonksiyonlar için incelenmesi.
Artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değeri o aralığın sağ ucunda gerçekleşir. Riemann üst toplamı da sağ uç değerlerle hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamı olduğundan, bu toplam integral eğrisinin üzerinde kalan alanları da kapsar.
Üst toplamın integral ile olan geometrik ilişkisini kurmak için.
3
Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisinin yazılması.
Her PP bölüntüsü için Riemann üst toplamı U¨(f,P)>∫153x dxÜ(f, P) > \int_1^5 3^x \, dx eşitsizliğini sağlar. Bu durum ifadenin doğru olduğunu gösterir.
İfadenin doğruluk değerini kesin olarak tayin etmek için.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonların Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki ilişki
Soru 9Soru →

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere tanımlı f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığında 44 eşit alt aralığa göre hesaplanan Riemann orta toplamı, bu aralıktaki ∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx belirli integralinin değerinden daha büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Riemann orta toplamının değeri (2727), belirli integralin değerinden (803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67) daha büyüktür.
Verilen f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığındaki Riemann orta toplamı 2727 olarak hesaplanır. Bu aralıktaki belirli integral değeri ise 803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67 olduğundan, Riemann orta toplamı integral değerinden büyüktür. Bu durum geometrik olarak fonksiyonun konkav (aşağı doğru içbükey) olmasından kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini ve alt aralıkların orta noktalarını belirleme
Aralık genişliği Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1 ve orta noktalar: m1=05m_1 = 0{}5, m2=15m_2 = 1{}5, m3=25m_3 = 2{}5, m4=35m_4 = 3{}5
Riemann orta toplamını hesaplamak için alt aralıkların orta noktalarına ve ortak aralık genişliğine ihtiyaç duyulur.
2
Orta noktaların fonksiyon altındaki görüntülerini hesaplama
f(05)=1175f(0{}5) = 11{}75, f(15)=975f(1{}5) = 9{}75, f(25)=575f(2{}5) = 5{}75, f(35)=−025f(3{}5) = -0{}25
Riemann orta toplamı formülündeki yükseklik değerlerini bulmak için orta noktaların fonksiyon değerleri hesaplanır.
3
Riemann orta toplamını (SortaS_{orta}) hesaplama
Sorta=[f(05)+f(15)+f(25)+f(35)]⋅Δx=(1175+975+575−025)⋅1=27S_{orta} = [f(0{}5) + f(1{}5) + f(2{}5) + f(3{}5)] \cdot \Delta x = (11{}75 + 9{}75 + 5{}75 - 0{}25) \cdot 1 = 27
Her alt aralığın orta noktasındaki fonksiyon değeri ile aralık genişliği çarpılıp toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.
4
Belirli integrali hesaplama ve Riemann orta toplamı ile karşılaştırma
∫04(12−x2) dx=[12x−x33]04=48−643=803≈2667\int_{0}^{4} (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = 48 - \frac{64}{3} = \frac{80}{3} \approx 26{}67 ve 27>266727 > 26{}67 olduğu görülür.
İfadenin doğruluğunu teyit etmek için Riemann orta toplamı ile integral değeri karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Riemann Orta Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Soru 10Soru →
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
[0,3][0, 3] kapalı aralığı, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor.
- AA, bu bölüntüye ait sol uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- BB, bu bölüntüye ait sağ uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- I=∫03f(x) dxI = \int_0^3 f(x) \, dx belirli integralinin değeri
olduğuna göre; AA, BB ve II değerleri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: B<I<AB < I < A

Cevap

Sol uç noktalarla hesaplanan toplamın integralden büyük, sağ uç noktalarla hesaplanan toplamın ise integralden küçük olduğunu gösteren sıralama doğrudur.
Doğru sıralama olan B<I<AB < I < A ifadesi, f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında azalan olmasından kaynaklanır. Azalan fonksiyonlarda sol uç noktalar yardımıyla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (AA) eğrinin üzerinde kalarak üst toplamı oluştururken, sağ uç noktalarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (BB) eğrinin altında kalarak alt toplamı oluşturur. Belirli integralin değeri (II) ise bu iki toplam arasında yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun incelenmesi
f′(x)=−2xf'(x) = -2x olup, (0,3](0, 3] aralığında f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonu [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve azalandır.
Riemann toplamlarının integral değeriyle olan ilişkisini belirlemek amacıyla fonksiyonun karakteri tespit edilir.
2
Riemann toplamları ile belirli integral ilişkisinin teorik olarak kurulması
Azalan bir fonksiyonda, her alt aralıkta maksimum değer sol uç noktada, minimum değer ise sağ uç noktada alınır. Dolayısıyla sol uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (AA) Riemann üst toplamını (A=U¨st ToplamA = \text{Üst Toplam}); sağ uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (BB) ise Riemann alt toplamını (B=Alt ToplamB = \text{Alt Toplam}) oluşturur. Sürekli ve azalan fonksiyonlar için bu değerler arasında B<∫03f(x) dx<AB < \int_0^3 f(x) \, dx < A ilişkisi mevcuttur.
Azalan fonksiyonlarda sol uç değerlerin daima sağ uç değerlerden büyük olması eşitsizliğin yönünü belirler.
3
Sayısal hesaplama ile sonucun teyit edilmesi
Aralık genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1'dir. Alt aralıklar: [0,1][0,1], [1,2][1,2], [2,3][2,3]'tür.
- A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=12+11+8=31A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 12 + 11 + 8 = 31
- B=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=11+8+3=22B = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 11 + 8 + 3 = 22
- I=∫03(12−x2) dx=[12x−x33]03=36−9=27I = \int_0^3 (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 36 - 9 = 27
Sayısal değerler karşılaştırıldığında 22<27<3122 < 27 < 31 yani B<I<AB < I < A sıralaması doğrulanır.
Teorik analizin doğruluğu sayısal hesaplama adımlarıyla kesinleştirilir.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

Bir f(x)=x2+mxf(x) = x^2 + mx fonksiyonu [1,5][1, 5] kapalı aralığında tanımlı ve artandır. Bu aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor. ff fonksiyonunun bu b��lüntüye göre Riemann üst toplamı UU ve Riemann alt toplamı AA olarak hesaplanıyor.

n=8n = 8 için U−A=16U - A = 16 olduğuna göre, ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralinin değeri ile n=4n = 4 eş alt aralık için hesaplanan Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 463\frac{46}{3}

Cevap

Belirli integral değeri olan 1963\frac{196}{3} ile Riemann alt toplamı değeri olan 5050 arasındaki fark 463\frac{46}{3}'tür.
Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olup Riemann üst ve alt toplam farkından m=2m = 2 olarak bulunur. Elde edilen f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değeri 1963\frac{196}{3} ve n=4n=4 için Riemann alt toplamı sol uç noktalarla 5050 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark ise 463\frac{46}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliği formülün�� yazıp Riemann üst ve alt toplamlarının farkını veren bağıntıyı belirleyin.
Alt aralık genişliği Δx=5−1n=4n\Delta x = \frac{5-1}{n} = \frac{4}{n} olur. Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olduğundan, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark U−A=(f(5)−f(1))⋅Δx=((25+5m)−(1+m))⋅4n=(24+4m)⋅4nU - A = (f(5) - f(1)) \cdot \Delta x = ((25 + 5m) - (1 + m)) \cdot \frac{4}{n} = (24 + 4m) \cdot \frac{4}{n} ��eklinde ifade edilir.
Artan fonksiyonlarda Riemann üst ve alt toplamlarının farkı, uç noktalardaki fonksiyon değerlerinin farkı ile aralık genişliğinin çarpımına eşittir.
2
Verilen n=8n=8 ve U−A=16U-A=16 değerlerini denklemde yerine koyarak mm parametresini hesaplayın.
(24+4m)⋅48=16  ⟹  12+2m=16  ⟹  2m=4  ⟹  m=2(24 + 4m) \cdot \frac{4}{8} = 16 \implies 12 + 2m = 16 \implies 2m = 4 \implies m = 2 bulunur. Böylece fonksiyon f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x olarak elde edilir.
Riemann toplamı ve integral işlemlerini gerçekleştirebilmek için öncelikle fonksiyondaki bilinmeyen katsayının bulunması gerekir.
3
f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralini hesaplayın.
∫15(x2+2x) dx=[x33+x2]15=(1253+25)−(13+1)=1243+24=1963\int_1^5 (x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^5 = \left( \frac{125}{3} + 25 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{124}{3} + 24 = \frac{196}{3} elde edilir.
Riemann alt toplamı ile integral arasındaki farkı bulmak için öncelikle eğri altında kalan alanın kesin değerini temsil eden belirli integrali hesaplamamız gerekir.
4
n=4n=4 eş alt aralık için Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt aralık genişliği Δx=5−14=1\Delta x = \frac{5-1}{4} = 1 olur. Alt aralıklar [1,2],[2,3],[3,4],[4,5][1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5] şeklindedir. Fonksiyon artan olduğu için her aralığın sol uç noktasındaki değerler kullanılır: A4=(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))⋅1=(3+8+15+24)⋅1=50A_4 = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4)) \cdot 1 = (3 + 8 + 15 + 24) \cdot 1 = 50 bulunur.
Artan bir fonksiyonun Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıktaki minimum değer olan sol uç noktaların görüntülerinin toplamı alınır.
5
Hesaplanan belirli integral değeri ile Riemann alt toplamı arasındaki farkı bulun.
1963−50=463\frac{196}{3} - 50 = \frac{46}{3} olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai fark değerine ulaşmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile olan ilişkisi, artan fonksiyonlarda alt/üst toplam sınırlarının belirlenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 12Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20
fonksiyonunun [2,8][2, 8] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann üst toplamı UnU_n ve Riemann alt toplamı LnL_n hesaplanıyor.
Buna göre,
Un−Ln<3U_n - L_n < 3
eşitsizliğini sağlayan en küçük nn doğal sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 97

Cevap

97
Fonksiyonun tepe noktası apsisi 99 olduğundan, [2,8][2, 8] kapalı aralığında fonksiyon sürekli ve artandır. Artan bir fonksiyonun nn eş alt aralığa göre Riemann üst ve alt toplamlarının farkı Un−Ln=b−an(f(b)−f(a))U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(b) - f(a)) formülü ile hesaplanır. Buradan 6n(100−52)=288n<3\frac{6}{n}(100 - 52) = \frac{288}{n} < 3 eşitsizliği elde edilir ve n>96n > 96 koşulundan en küçük doğal sayı değeri 97 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parabolün tepe noktasını bulup [2,8][2, 8] aralığındaki artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20 fonksiyonunun tepe noktası apsisi r=−182(−1)=9r = -\frac{18}{2(-1)} = 9 olarak bulunur. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan, fonksiyon (−∞,9](-\infty, 9] aralığında artandır. Bu nedenle, [2,8][2, 8] aralığında da sürekli ve kesin artandır.
Riemann alt ve üst toplamlarının hangi uç değerlerde hesaplanacağını belirlemek için fonksiyonun bu aralıkta artan mı azalan mı olduğunu saptamak gerekir.
2
Riemann üst toplamı (UnU_n) ile Riemann alt toplamı (LnL_n) arasındaki farkı veren genel formülü oluşturun.
ff fonksiyonu [2,8][2, 8] aralığında artan olduğundan, her bir eş alt aralıkta Riemann üst toplamı için aralığın sağ ucu, alt toplam�� için ise sol ucu kullanılır. Alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olmak üzere, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark: Un−Ln=Δx⋅(f(8)−f(2))U_n - L_n = \Delta x \cdot (f(8) - f(2)) olarak elde edilir.
Ardışık alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerleri Riemann toplamlarının farkında birbirini sadeleştirir (teleskopik toplam) ve geriye sadece sınır değerleri kalır.
3
f(8)f(8) ve f(2)f(2) değerlerini hesaplayıp fark formülünde yerine koyun.
f(8)=−82+18(8)+20=−64+144+20=100f(8) = -8^2 + 18(8) + 20 = -64 + 144 + 20 = 100
f(2)=−22+18(2)+20=−4+36+20=52f(2) = -2^2 + 18(2) + 20 = -4 + 36 + 20 = 52
Fark: f(8)−f(2)=48f(8) - f(2) = 48
Buradan: Un−Ln=6n⋅48=288nU_n - L_n = \frac{6}{n} \cdot 48 = \frac{288}{n} bulunur.
Eşitsizliği çözebilmek için Riemann toplamların��n farkını nn cinsinden sayısal bir ifadeye dönüştürmek gerekir.
4
288n<3\frac{288}{n} < 3 eşitsizliğini çözerek en küçük nn doğal sayısını bulun.
288n<3  ⟹  288<3n  ⟹  n>96\frac{288}{n} < 3 \implies 288 < 3n \implies n > 96
nn bir doğal sayı olduğundan, bu eşitsizliği sağlayan en küçük değer n=97n = 97 olarak bulunur.
İstenen eşitsizlik koşulunu sağlayan en küçük tam sayı (doğal sayı) sınır değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

f:[1,4]→Rf: [1, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonu veriliyor. [1,4][1, 4] kapalı aralığı 33 eşit alt aralığa bölünerek elde edilen bölüntüye göre, ff fonksiyonunun bu aralıktaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Riemann alt toplamı 7'dir.
Verilen fonksiyon [1,2][1, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aralığında ise artandır. Bu nedenle [1,2][1, 2] alt aralığında minimum değer f(2)=2f(2) = 2, [2,3][2, 3] alt aralığında minimum değer f(2)=2f(2) = 2 ve [3,4][3, 4] alt aralığında minimum değer f(3)=3f(3) = 3 olur. Genişlik olan 1 ile bu değerler çarpılıp toplandığında Riemann alt toplamı 1⋅2+1⋅2+1⋅3=71 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini bulma
Δx=1\Delta x = 1
[1,4][1, 4] aralığının 3 eşit parçaya bölünmesi nedeniyle aralık uzunluğu olan 3 değeri 3'e bölünür.
2
Her alt aralıktaki minimum değerleri belirleme
[1,2][1, 2] aralığı için minimum değer 2, [2,3][2, 3] aralığı için minimum değer 2, [3,4][3, 4] aralığı için minimum değer 3'tür.
Fonksiyonun tepe noktası x=2x=2 olduğundan, bu noktada en küçük değerini alır. Parabolün tepe noktasının solunda azalan, sağında artan olması incelenir.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
7
Her bir alt aralık için elde edilen minimum değerler alt aralık genişliği olan 1 ile çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, tanım aralığının alt aralıklarında sürekli fonksiyonun aldığı mutlak minimum değerler ile alt aralık genişlikleri çarpılır ve bu değerler toplanır.
Soru 14Soru →

Grafikte [0,6][0, 6] kapalı aralığında tanımlı f(x)=x+2f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, [0,6][0, 6] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36
Doğru cevap 36'dır. f(x)=x+2f(x) = x + 2 artan bir fonksiyondur. [0,6][0, 6] aralığı 3 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 olur. Artan fonksiyonlar için Riemann üst toplamı hesaplanırken her aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değerleri yükseklik olarak alınır. Bu değerler f(2)=4f(2) = 4, f(4)=6f(4) = 6 ve f(6)=8f(6) = 8 olup Riemann üst toplamı 2⋅(4+6+8)=362 \cdot (4 + 6 + 8) = 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini bulunuz.
Δx=6−03=2\Delta x = \frac{6 - 0}{3} = 2
[0,6][0, 6] aralığı 3 eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülü ile hesaplanır.
2
Alt aralıkları ve bu aralıkların sağ uç noktalarını belirleyiniz.
Alt aralıklar [0,2][0, 2], [2,4][2, 4] ve [4,6][4, 6] olup, sağ uç noktalar sırasıyla 22, 44 ve 66 elemanlarıdır.
Artan bir fonksiyonda Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değeri kullanılır.
3
Riemann üst toplamını hesaplayınız.
Üst Toplam =Δx⋅[f(2)+f(4)+f(6)]=2⋅(4+6+8)=2⋅18=36= \Delta x \cdot [f(2) + f(4) + f(6)] = 2 \cdot (4 + 6 + 8) = 2 \cdot 18 = 36
Bölüntünün her bir alt aralık genişliği ile o aralıktaki sağ uç noktanın fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann üst toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann üst toplamı, tanımlı olduğu aralıkta sürekli ve artan bir fonksiyon için, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliklerinin çarpımlarının toplamıdır.
Soru 15Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun [0,1][0, 1] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir bölüntü oluşturulmaktadır. Bu bölüntüye bağlı Riemann alt toplamı AnA_n, Riemann üst toplamı U¨nÜ_n ve Riemann orta toplamı OnO_n olarak belirleniyor. Buna göre, her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu yönündeki iddia doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur.
Doğru olan seçenektir. f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonu dışbükey olduğu için, grafiğin teğetlerinin altında kalmasından ötürü Riemann orta toplamı integralden küçük, kirişlerinin üzerinde kalmasından ötürü ise alt-üst Riemann toplamlarının ortalaması integralden büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun türevlerini alarak bükülme yönünü (konvekslik durumunu) belirleyin.
f′(x)=exf'(x) = e^x ve f′′(x)=exf''(x) = e^x bulunur. Her x∈[0,1]x \in [0, 1] için f′′(x)>0f''(x) > 0 olduğundan, fonksiyon [0,1][0, 1] aralığında kesinlikle dışbükeydir.
Fonksiyonun grafik bükülme yönü, Riemann toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini geometrik olarak belirler.
2
Dışbükey bir fonksiyon için Riemann orta toplamı (OnO_n) ile integral alanı arasındaki ilişkiyi analiz edin.
Dışbükey bir fonksiyonda, herhangi bir noktadan çizilen teğet doğrusu daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Her alt aralığın orta noktası mim_i için f(x)>f(mi)+f′(mi)(x−mi)f(x) > f(m_i) + f'(m_i)(x - m_i) eşitsizliği (orta nokta hariç) ge��erlidir. Bu eşitsizlik aralık boyunca entegre edildiğinde, orta toplam dikdörtgeninin alanının integralden daha küçük olduğu görülür. Tüm aralıklar toplandığında On<∫01ex dxO_n < \int_0^1 e^x \, dx elde edilir.
Teğetlerin grafiğin altında kalması özelliğinin Riemann orta toplamı üzerindeki etkisini matematiksel olarak göstermek amacıyla yapılır.
3
Riemann alt (AnA_n) ve üst (U¨nÜ_n) toplamlarının aritmetik ortalamasının geometrik anlamını inceleyin ve integral ile karşılaştırın.
Eşit alt aralıklı bir bölüntüde, alt ve üst Riemann toplamlarının aritmetik ortalaması Yamuk Yöntemi alanına karşılık gelir: An+U¨n2=∑i=1nf(xi−1)+f(xi)2Δx\frac{A_n + Ü_n}{2} = \sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x. Dışbükey fonksiyonlarda grafik üzerindeki iki noktayı birleştiren kirişler daima grafiğin üstünde yer alır. Dolayısıyla bu yamukların alanları toplamı integralden büyüktür: ∫01ex dx<An+U¨n2\int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2}.
Kirişlerin grafik üstünde kalması prensibini yamukların alan toplamıyla ilişkilendirip integralden büyük olduğunu göstermek için yapılır.
4
Bulunan iki eşitsizlik sonucunu birleştirerek öncülü değerlendirin.
Analiz edilen iki parçadan On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için her zaman sağlandığı doğrulanmış olur.
Soruda sunulan genel iddianın kesin doğruluğunu kanıtlamak için adımlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Dışbükey (konveks) fonksiyonlarda Riemann toplamları, belirli integral ve yamuk alanı arasındaki geometrik ilişkiler.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 16Soru →
f:[1,3]→Rf: [1, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=3xf(x) = 3^x
fonksiyonu tanımlanıyor. [1,3][1, 3] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bu fonksiyonun Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı hesaplanıyor.
Hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 33 olduğuna göre, alt aralık sayısı olan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki farkın 3 olması için alt aralık sayısı (nn) 16 olmalıdır.
Tanımlanan f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonu artan olduğundan, her bir alt aralıktaki maksimum ve minimum değerler sırasıyla sağ ve sol uç noktalarda alınır. Riemann üst ve alt toplamları farkı, aralık uç değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımına eşittir: (2/n)∗(27−3)=48/n(2/n) * (27 - 3) = 48/n. Bu farkın 3 olması için n = 16 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık durumunu belirleme
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡3>0f'(x) = 3^x \ln 3 > 0 olduğundan fonksiyon [1,3][1, 3] aralüğında sürekli ve kesinlikle artandır.
Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamının sol uç noktalarla, üst toplamının ise sağ uç noktalarla oluşturulacağını saptamak için.
2
Üst ve alt toplam farkını formüle etme
Genel olarak, [a,b][a, b] aralığında tanımlı artan bir ff fonksiyonunun nn eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplamı (U¨nÜ_n) ve alt toplamı (AnA_n) arasındaki fark: U¨n−An=b−an(f(b)−f(a))Ü_n - A_n = \frac{b-a}{n} (f(b) - f(a)) şeklinde ifade edilir. Burada a=1a = 1, b=3b = 3 ve Δx=2n\Delta x = \frac{2}{n}'dir. f(1)=3f(1) = 3 ve f(3)=27f(3) = 27 değerleri yerine yazıldığında: U¨n−An=2n(27−3)=48nÜ_n - A_n = \frac{2}{n} (27 - 3) = \frac{48}{n} elde edilir.
Teleskobik toplam sadeleştirmesiyle fark ifadesini nn cinsinden yazmak için.
3
Bölüntü sayısı olan n değerini hesaplama
Verilen fark değeri 3 olduğundan: 48n=3  ⟹  3n=48  ⟹  n=16\frac{48}{n} = 3 \implies 3n = 48 \implies n = 16 bulunur.
Riemann toplamları arasındaki farkın 3'e eşit olması koşulunu sağlayan alt aralık sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Artan bir fonksiyonun Riemann üst ve alt toplamları arasındaki farkın hesaplanması
Soru 17Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann alt toplamı 55 olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında 33 eş alt aralığa göre Riemann alt toplamı 55'tir.
Verilen fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve artan olduğundan, sol uç noktalardaki değerler kullanılarak yapılan Riemann alt toplamı hesabı 1⋅(0+1+4)=51 \cdot (0 + 1 + 4) = 5 sonucunu verir. Bu nedenle ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1
Kapalı aralık [a,b]=[0,3][a, b] = [0, 3] ve alt aralık sayısı n=3n = 3 olduğundan aralık genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülüyle bulunur.
2
Alt aralıkları belirleyin ve her aralıktaki sol uç noktaları tespit edin.
Aral��klar: [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3]. Sol uç noktalar: x0=0x_0 = 0, x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2.
Fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artan olduğundan, her alt aralıktaki minimum değer sol uç noktada ger��ekleşir.
3
Sol uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0, f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1, f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4.
Alt toplam hesabında kullanılacak dikdörtgen yüksekliklerini bulmak için fonksiyon değerleri hesaplanır.
4
Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt Toplam=Δx⋅[f(0)+f(1)+f(2)]=1⋅(0+1+4)=5\text{Alt Toplam} = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot (0 + 1 + 4) = 5.
Alt aralık genişliği ile elde edilen yüksekliklerin çarpılarak toplanması Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı

Alternatif Yöntem

Grafik üzerinde [0,3][0, 3] aralığında xx-ekseni ile y=x2y = x^2 eğrisi arasında kalan bölge çizilebilir. Tabanı 1 birim olan ve yükseklikleri sırasıyla f(0)=0f(0)=0, f(1)=1f(1)=1 ve f(2)=4f(2)=4 olan üç adet dikdörtgenin alanları toplamı doğrudan 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı; [1,5][1, 5] kapalı aralığında sürekli, türevlenebilir ve azalan bir ff fonksiyonu için [1,5][1, 5] aralığı nn adet eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı LnL_n ve Riemann üst toplamı UnU_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
Un−Ln=12nU_n - L_n = \frac{12}{n}
eşitliği sağlanmaktadır.

[1,5][1, 5] aralığı 22 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı U2=24U_2 = 24 olduğuna göre,
I. ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18
II. f(3)<6f(3) < 6
III. f(5)>3f(5) > 3

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III
Sürekli ve azalan bir fonksiyonun belirli integral değeri, aynı aralıktaki Riemann alt toplamından daima büyüktür. Riemann üst toplamı U2=24U_2 = 24 ve iki toplam arasındaki fark U2−L2=6U_2 - L_2 = 6 olduğundan Riemann alt toplamı L2=18L_2 = 18 olarak elde edilir. Bu nedenle belirli integral değeri 18'den büyüktür. Ayrıca fonksiyonun azalanlık koşulu olan f(1)>f(3)>f(5)f(1) > f(3) > f(5) eşitsizliği ve verilen denklemler çözüldüğünde f(3)<6f(3) < 6 ve f(5)>3f(5) > 3 sınırları kesin olarak elde edilir. Bu sebeple her üç ifadenin de doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann üst ve alt toplamları arasındaki fark formülünü yazarak fonksiyon değerleri arasındaki ilişkiyi bulunuz.
f(1)−f(5)=3f(1) - f(5) = 3
Azalan bir fonksiyon için Un−Ln=b−an(f(a)−f(b))U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(a) - f(b)) eşitliği geçerlidir. Burada b−a=5−1=4b-a = 5-1=4 olduğundan, Un−Ln=4n(f(1)−f(5))=12n  ⟹  f(1)−f(5)=3U_n - L_n = \frac{4}{n}(f(1) - f(5)) = \frac{12}{n} \implies f(1) - f(5) = 3 elde edilir.
2
n=2n=2 için Riemann üst toplamı formülünü kullanarak f(1)+f(3)f(1) + f(3) değerini hesaplayınız.
f(1)+f(3)=12f(1) + f(3) = 12
[1,5][1, 5] aralığı 2 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralıklar [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olur. Aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 birimdir. Azalan bir fonksiyon için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır: U2=2⋅(f(1)+f(3))=24  ⟹  f(1)+f(3)=12U_2 = 2 \cdot (f(1) + f(3)) = 24 \implies f(1) + f(3) = 12 bulunur.
3
ff fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak fonksiyon değerleri için eşitsizlik sistemini kurup çözünüz.
6<f(1)<7.56 < f(1) < 7.5, 4.5<f(3)<64.5 < f(3) < 6 ve 3<f(5)<4.53 < f(5) < 4.5
Fonksiyon azalan olduğundan f(1)>f(3)>f(5)f(1) > f(3) > f(5) olmalıdır. f(3)=12−f(1)f(3) = 12 - f(1) ve f(5)=f(1)−3f(5) = f(1) - 3 ifadelerini bu eşitsizlikte yerine yazarsak:
1) f(1)>12−f(1)  ⟹  2f(1)>12  ⟹  f(1)>6f(1) > 12 - f(1) \implies 2f(1) > 12 \implies f(1) > 6 elde edilir.
2) 12−f(1)>f(1)−3  ⟹  15>2f(1)  ⟹  f(1)<7.512 - f(1) > f(1) - 3 \implies 15 > 2f(1) \implies f(1) < 7.5 elde edilir.
Buradan 6<f(1)<7.56 < f(1) < 7.5 aralığı bulunur. Bu aralık kullanılarak f(3)=12−f(1)  ⟹  4.5<f(3)<6f(3) = 12 - f(1) \implies 4.5 < f(3) < 6 ve f(5)=f(1)−3  ⟹  3<f(5)<4.5f(5) = f(1) - 3 \implies 3 < f(5) < 4.5 elde edilir. Dolayısıyla II. ve III. öncüller her zaman doğrudur.
4
Riemann alt toplamı L2L_2 değerini bulup integral değeri ile karşılaştırınız.
L2=18L_2 = 18 ve ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18
U2−L2=6U_2 - L_2 = 6 ve U2=24U_2 = 24 olduğundan L2=18L_2 = 18 olur. Sürekli ve azalan bir fonksiyon için belirli integral, Riemann alt toplamından daima büyüktür. Bu durumda ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18 ifadesi (I. öncül) her zaman doğrudur.

Anahtar Kavram

Riemann alt/üst toplamları ile belirli integral ve fonksiyonun monotonluğu (artanlık/azalanlık) arasındaki ilişkiler
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.
Buna göre,
I. ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı 22'dir.
II. ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann üst toplamı 1010'dur.
III. ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x) \, dx belirli integralinin değeri, PP bölüntüsüne göre Riemann orta toplamından büyüktür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III (yani tüm ifadeler doğrudur)
Verilen üç öncül de doğru hesaplanmıştır. Riemann alt toplamı 22, Riemann üst toplamı 1010 ve belirli integralin değeri (5255{}25), Riemann orta toplamından (48754{}875) büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyelim.
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) elde edilir. İşaret tablosuna göre, x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığında f′(x)≤0f'(x) \le 0 olduğundan fonksiyon azalandır. x∈[2,3]x \in [2, 3] aralığında ise f′(x)≥0f'(x) \ge 0 olduğundan fonksiyon artandır.
Riemann alt ve üst toplamlarında hangi noktada en küçük veya en büyük değerin alınacağın�� bulmak için fonksiyonun artan/azalanlık analizi gereklidir.
2
[0,3][0, 3] aralığını 33 eş alt aralığa bölerek her aralık için sınır değerlerini yazalım.
Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olup her birinin genişliği Δx=1\Delta x = 1'dir. [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarında fonksiyon azalan; [2,3][2, 3] aralığında ise artandır.
Bölüntünün alt aralıklarını belirlemek, Riemann toplamı hesaplamalarının temel adımıdır.
3
Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplayalım.
Riemann alt toplamı için aralıklardaki en küçük değerler: [0,1][0, 1] aralığında f(1)=2f(1) = 2, [1,2][1, 2] aralığında f(2)=0f(2) = 0, [2,3][2, 3] aralığında f(2)=0f(2) = 0'dır. Alt toplam: A=(2+0+0)⋅1=2A = (2 + 0 + 0) \cdot 1 = 2. Riemann üst toplamı için aralıklardaki en büyük değerler: [0,1][0, 1] aralığında f(0)=4f(0) = 4, [1,2][1, 2] aralığında f(1)=2f(1) = 2, [2,3][2, 3] aralığında f(3)=4f(3) = 4'tür. Üst toplam: U=(4+2+4)⋅1=10U = (4 + 2 + 4) \cdot 1 = 10. Bu durumda I ve II. öncüller doğrudur.
Riemann alt ve üst toplam tanımlarını kullanarak öncüllerin doğruluğunu test ederiz.
4
Belirli integral ile Riemann orta toplamını hesaplayıp karşılaştıralım.
Belirli integral değeri: ∫03(x3−3x2+4) dx=[x44−x3+4x]03=525\int_0^3 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 4x \right]_0^3 = 5{}25 bulunur. Riemann orta toplamı için orta noktalar 050{}5, 151{}5 ve 252{}5 alınır. Orta toplam: O=f(05)⋅1+f(15)⋅1+f(25)⋅1=3375+0625+0875=4875O = f(0{}5) \cdot 1 + f(1{}5) \cdot 1 + f(2{}5) \cdot 1 = 3{}375 + 0{}625 + 0{}875 = 4{}875 olur. 525>48755{}25 > 4{}875 olduğundan integral değeri orta toplamdan büyüktür. Dolayısıyla III. öncül de doğrudur.
Belirli integralin değeri ile Riemann orta toplamının sayısal değerlerini karşılaştırarak son öncülün doğruluğunu kontrol ederiz.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Alternatif Yöntem

Riemann orta toplamı hesaplanırken her aralıktaki orta noktaların görüntüleri tek tek hesaplanıp toplanır. Parabolik ve kübik fonksiyonların simetri özellikleri veya integral alan yaklaşımları kullanılarak da kabaca bir kıyaslama yapılabilir ancak kesin sonuç için sayısal hesaplama tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →

[0,4][0, 4] kapalı aralığında tanımlı f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun bu aralıkta 22 eş alt aralığa göre hesaplanan Riemann alt toplamı 88'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Riemann alt toplamı 88 olarak hesaplanır.
Fonksiyon [0,4][0, 4] aralığında sürekli azalan olduğundan, her alt aralıktaki en küçük değerler sağ uç noktalarda gerçekleşir. [0,2][0, 2] aralığı için en küçük değer f(2)=8f(2) = 8, [2,4][2, 4] aralığı için en küçük değer f(4)=−4f(4) = -4 olup Riemann alt toplamı 2⋅(8+(−4))=82 \cdot (8 + (-4)) = 8 bulunur. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini (Δx\Delta x) ve alt aralıkları belirleme
Δx=4−02=2\Delta x = \frac{4 - 0}{2} = 2 olup alt aralıklar [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] şeklinde elde edilir.
Riemann toplamı hesaplanırken aralığın kaç eş parçaya bölündüğü ve her bir parçanın genişliği temel alınır.
2
Fonksiyonun artan/azalan olma durumunu inceleme
f′(x)=−2xf'(x) = -2x olup, x∈[0,4]x \in [0, 4] için f′(x)≤0f'(x) \le 0 olduğundan fonksiyon azalandır. En küçük değerler alt aralıkların sağ uçlarında (x=2x = 2 ve x=4x = 4) oluşur.
Riemann alt toplamında, fonksiyonun her bir alt aralıktaki minimum değerleri yükseklik olarak seçilmelidir.
3
Belirlenen noktalardaki değerleri hesaplama ve alt toplamı bulma
f(2)=12−22=8f(2) = 12 - 2^2 = 8 ve f(4)=12−42=−4f(4) = 12 - 4^2 = -4 bulunur. Buradan Riemann alt toplamı L=2⋅(f(2)+f(4))=2⋅(8−4)=8L = 2 \cdot (f(2) + f(4)) = 2 \cdot (8 - 4) = 8 elde edilir.
Her bir alt aralığın genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili aralıktaki monotonluk (artan/azalan) durumuna göre alt aralıklardaki minimum değerlerin belirlenmesi gerekir.
Sayfa 1 / 2Sonraki
Riemann Toplamı Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin