Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorRiemann Toplamı
Dik koordinat düzleminde, [0,4][0, 4] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=∣x2−4x+3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3|
fonksiyonu veriliyor. [0,4][0, 4] aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.

ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı UU, Riemann alt toplamı LL ve [0,4][0, 4] aralığındaki belirli integralinin değeri II olduğuna göre, U−L+IU - L + I ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

Riemann üst toplamı ile belirli integralin toplamından Riemann alt toplamı çıkarıldığında elde edilen sonuç 12'dir.
Fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann üst toplamı U=8U = 8, minimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann alt toplamı L=0L = 0 ve fonksiyonun sınırlandırdığı toplam alanı veren belirli integral değeri I=4I = 4 olduğundan, U−L+I=8−0+4=12U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini belirleme
Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1
Alt aralıkların uzunluklarını ve sınırlarını bulmak için bölüntü sayısı kullanılır.
2
Fonksiyonun her alt aralıktaki uç ve yerel ekstremum değerlerini analiz etme
[0,1][0, 1] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=3\max = 3; [1,2][1, 2] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=1\max = 1; [2,3][2, 3] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=1\max = 1; [3,4][3, 4] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=3\max = 3.
Riemann alt ve üst toplamlarını bulmak için her alt aralıktaki mutlak minimum ve mutlak maksimum değerleri belirlemek gerekir.
3
Riemann alt ve ��st toplamlarını hesaplama
L=0L = 0 ve U=8U = 8
Alt aralıkların genişlikleri ile elde edilen minimum ve maksimum değerler çarpılıp toplanır.
4
Mutlak değerli fonksiyonun belirli integralini parçalı olarak hesaplama
I=∫04∣x2−4x+3∣ dx=4I = \int_{0}^{4} |x^2 - 4x + 3| \, dx = 4
İntegral alanı, mutlak değerin işaret değiştirdiği x=1x=1 ve x=3x=3 noktalarında parçalanarak hesaplanır.
5
Sonucu bulma
U−L+I=8−0+4=12U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12
Bulunan tüm değerler sorudaki cebirsel ifadede yerine konur.

Anahtar Kavram

Monoton olmayan fonksiyonlarda alt aralıkların uç değerleri ve yerel ekstremum noktaları göz önüne alınarak Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması, belirli integral ile ilişkilendirilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru