Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡65=a\log_6 5 = a
log⁡52=b\log_5 2 = b
olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 2ab+1a−ab+1\frac{2ab + 1}{a - ab + 1}Cevap
  2. B
    2ab+1a+ab+1\frac{2ab + 1}{a + ab + 1}
  3. C
    2ab+1ab−a+1\frac{2ab + 1}{ab - a + 1}
  4. D
    2ab+11−ab\frac{2ab + 1}{1 - ab}
  5. E
    3ab+1a−ab+1\frac{3ab + 1}{a - ab + 1}

Cevap

2ab+1a−ab+1\frac{2ab + 1}{a - ab + 1} ifadesidir.
Doğru seçenekteki ifade, taban değiştirme kuralı uygulanıp tüm logaritma terimleri 5 tabanına çevrildiğinde elde edilen cebirsel sadeleştirme adımlarını eksiksiz ve doğru bir şekilde takip eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme kuralı kullanarak 5 tabanına dönüştürmek.
log⁡56=1a\log_5 6 = \frac{1}{a} ve log⁡52=b\log_5 2 = b elde edilir.
Tüm ifadeleri ortak bir tabanda yazarak işlemleri kolaylaştırmak.
2
log⁡56\log_5 6 ifadesini log⁡5(2⋅3)=log⁡52+log⁡53\log_5 (2 \cdot 3) = \log_5 2 + \log_5 3 şeklinde yazarak log⁡53\log_5 3 değerini yalnız bırakmak.
b+log⁡53=1a  ⟹  log⁡53=1a−b=1−abab + \log_5 3 = \frac{1}{a} \implies \log_5 3 = \frac{1}{a} - b = \frac{1 - ab}{a} bulunur.
Bulunan log⁡52\log_5 2 ve log⁡53\log_5 3 değerlerini aranan ifadede yerine koyabilmek.
3
Aranan log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı ile 5 tabanında yazmak.
log⁡1524=log⁡524log⁡515=log⁡5(23⋅3)log⁡5(3⋅5)=3log⁡52+log⁡53log⁡53+1\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15} = \frac{\log_5 (2^3 \cdot 3)}{\log_5 (3 \cdot 5)} = \frac{3\log_5 2 + \log_5 3}{\log_5 3 + 1} elde edilir.
Taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi bilinen terimler cinsinden ifade etmek.
4
Elde edilen log⁡52=b\log_5 2 = b ve log⁡53=1−aba\log_5 3 = \frac{1 - ab}{a} değerlerini yerine yazıp ifadeyi sadeleştirmek.
3b+1−aba1−aba+1=3ab+1−aba1−ab+aa=2ab+1a−ab+1\frac{3b + \frac{1-ab}{a}}{\frac{1-ab}{a} + 1} = \frac{\frac{3ab + 1 - ab}{a}}{\frac{1 - ab + a}{a}} = \frac{2ab + 1}{a - ab + 1} bulunur.
En sade aa ve bb cinsinden ifadeyi bulmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özelliği ve logaritma fonksiyonunun temel özellikleri kullanılarak cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru