Ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (a_n) aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı S_n… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Ortak farkı sıfırdan farklı olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_{27} = 3S_{18}

olduğuna göre, bu dizinin kaçıncı terimi sıfıra eşittir?

Dizinin 5. terimi sıfıra eşittir.

Verilen toplam eşitliği

S_{27} = 3S_{18}

formülize edilip sadeleştirildiğinde

a_1 = -4d

bağıntısına ulaşılır. Aritmetik dizinin genel terim formülü

a_m = a_1 + (m-1)d

olduğundan,

a_5 = a_1 + 4d = -4d + 4d = 0

bulunur. Dolayısıyla dizinin 5. terimi kesinlikle sıfırdır.

Aritmetik dizinin ilk

n

teriminin toplam formülünü yazalım.

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]

Verilen

S_{27}

S_{18}

ifadelerini bu formül cinsinden ifade etmek için.

S_{27}

S_{18}

terimlerini formülde yerine koyalım.

S_{27} = \frac{27}{2} [2a_1 + 26d] = 27(a_1 + 13d)

S_{18} = \frac{18}{2} [2a_1 + 17d] = 9(2a_1 + 17d)

Denklemi kurabilmek ve ifadeleri sadeleştirmek amacıyla.

Verilen

S_{27} = 3S_{18}

eşitliğini kullanalım ve denklemi çözelim.

27(a_1 + 13d) = 3 \cdot 9(2a_1 + 17d) \implies 27(a_1 + 13d) = 27(2a_1 + 17d) \implies a_1 + 13d = 2a_1 + 17d \implies a_1 = -4d

Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilişkiyi bulmak için.

Dizinin sıfıra eşit olan

m

. terimini bulalım.

a_m = a_1 + (m-1)d = 0 \implies -4d + (m-1)d = 0 \implies (m-5)d = 0

. Ortak fark sıfırdan farklı (

d \neq 0

) olduğundan,

m - 5 = 0 \implies m = 5

bulunur.

Sıfıra eşit olan terimin indisini belirlemek için.

Aritmetik dizide ilk

n

terim toplamı formülü olan

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]

ifadesinin uygulanması ve dizinin genel terimi

a_n = a_1 + (n-1)d

ile ilişkilendirilmesi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru