Examkin

Soru

Zorluk: ZorRiemann Toplamı
f(x)=x3−6x2+9x+2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, her birinin uzunluğu 11 birim olan 44 eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 12'dir.
Fonksiyonun türevi incelendiğinde [0,1][0, 1] ve [3,4][3, 4] aralıklarında artan, [1,3][1, 3] aralığında ise azalan olduğu görülür. Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerler bulunarak hesaplanan Riemann üst toplamı 22 ve Riemann alt toplamı 10 olur. Bu iki değer arasındaki fark 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev analizi ile artan/azalan aralıkları belirleme
f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x-1)(x-3) elde edilir. [0,1][0, 1] aralığında f′>0f' > 0 (artan), [1,3][1, 3] aralığında f′<0f' < 0 (azalan), [3,4][3, 4] aralığında f′>0f' > 0 (artan) olur.
Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerin hangi uç noktalarda gerçekleştiğini doğru tespit etmek.
2
Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(0)=2f(0) = 2, f(1)=6f(1) = 6, f(2)=4f(2) = 4, f(3)=2f(3) = 2, f(4)=6f(4) = 6 olarak bulunur.
Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak yükseklikleri elde etmek.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
L=1⋅[min⁡(f([0,1]))+min⁡(f([1,2]))+min⁡(f([2,3]))+min⁡(f([3,4]))]=1⋅(2+4+2+2)=10L = 1 \cdot [\min(f([0,1])) + \min(f([1,2])) + \min(f([2,3])) + \min(f([3,4]))] = 1 \cdot (2 + 4 + 2 + 2) = 10
Alt toplam�� oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.
4
Riemann üst toplamını hesaplama
U=1⋅[max⁡(f([0,1]))+max⁡(f([1,2]))+max⁡(f([2,3]))+max⁡(f([3,4]))]=1⋅(6+6+4+6)=22U = 1 \cdot [\max(f([0,1])) + \max(f([1,2])) + \max(f([2,3])) + \max(f([3,4]))] = 1 \cdot (6 + 6 + 4 + 6) = 22
Üst toplamı oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.
5
İki toplam arasındaki farkı bulma
U−L=22−10=12U - L = 22 - 10 = 12
Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Monoton olmayan fonksiyonlarda Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru