Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3cos⁡(2x−π)+1f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1 fonksiyonunun grafiği, g(x)=3sin⁡(2x)+1g(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun grafi��inin yatay doğrultuda sola doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

İfade yanlıştır. Öteleme sonucunda elde edilen fonksiyon 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 iken, f(x)f(x) fonksiyonu −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 olarak sadeleşir; bu iki fonksiyonun grafikleri farklıdır.
Yapılan öteleme işlemi sonucunda oluşan fonksiyon 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 iken, f(x)f(x) fonksiyonunun sadeleşmiş biçimi −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 şeklindedir. Bu iki fonksiyon özdeş olmadığından grafikler çakışmaz ve ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=3sin⁡(2x)+1g(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun grafiğinin sola doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelenmesiyle oluşan yeni fonksiyon yazılır.
g(x+π4)=3sin⁡(2(x+π4))+1=3sin⁡(2x+π2)+1g\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 3\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1 = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1
Bir fonksiyonun grafiğini sola doğru aa birim ötelemek, fonksiyonda xx yerine x+ax+a yazmak demektir.
2
Elde edilen 3sin⁡(2x+π2)+13\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1 ifadesi indirgeme formülü kullanılarak sadeleştirilir.
3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1
sin⁡(θ+π2)=cos⁡(θ)\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\theta) özdeşliği uyarınca, birinci bölgede veya eksen geçişlerinde sinüs kosinüse dönüşür ve ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan işaret değişmez.
3
f(x)=3cos⁡(2x−π)+1f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1 fonksiyonunun ifadesi indirgeme formülü ile sadeleştirilir.
f(x)=−3cos⁡(2x)+1f(x) = -3\cos(2x) + 1
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(2x−π)=cos⁡(π−2x)\cos(2x - \pi) = \cos(\pi - 2x) olur. İndirgeme formüllerine göre cos⁡(π−θ)=−cos⁡(θ)\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta) olduğundan, ifade −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 biçimini alır.
4
Öteleme sonucu oluşan 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 fonksiyonu ile f(x)=−3cos⁡(2x)+1f(x) = -3\cos(2x) + 1 fonksiyonu karşılaştırılır.
3cos⁡(2x)+1≠−3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 \neq -3\cos(2x) + 1
Fonksiyonların katsayıları farklı olduğundan grafikler aynı değildir ve verilen ifade yanlıştır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonlarda Yatay Öteleme ve İndirgeme Formülleri

Alternatif Yöntem

Öteleme ve sadeleştirme işlemlerini cebirsel olarak yapmak yerine, her iki fonksiyonda da x=0x = 0 değeri yerine yazılarak grafiklerin y-eksenini kestiği noktalar karşılaştırılabilir. g(x)g(x) sola π4\frac{\pi}{4} ötelenirse x=0x=0 noktasındaki değeri g(π4)=3sin⁡(π2)+1=4g(\frac{\pi}{4}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 4 olur. Diğer yandan f(0)=3cos⁡(−π)+1=3(−1)+1=−2f(0) = 3\cos(-\pi) + 1 = 3(-1) + 1 = -2 olur. 4≠−24 \neq -2 olduğundan grafiklerin çakışması mümkün değildir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Bu konudan daha fazla soru