k pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = 3\sin… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

k

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1

g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4

fonksiyonlarının esas periyotları birbirine eşittir.

Buna göre, $k$ değeri kaçtır?

Cevap: 6

k'nin alabileceği pozitif gerçel sayı değeri 6'dır.

Çift dereceli olan birinci fonksiyonun periyodu

T_f = \frac{k\pi}{2}

, tek dereceli olan ikinci fonksiyonun periyodu ise

T_g = \frac{18\pi}{k}

olarak elde edilir. Periyotların eşitliği

\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} \implies k^2 = 36

bağıntısını verir. Pozitif

k

gerçel sayısı buradan

6

olarak saptanır.

f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1

fonksiyonunun esas periyodunu (

T_f

) hesaplama.

T_f = \frac{k\pi}{2}

Sinüs fonksiyonunun derecesi çift (

2

) olduğundan, periyot

T = \frac{\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır. Burada

b = \frac{2}{k}

k > 0

olduğu için

T_f = \frac{\pi}{\frac{2}{k}} = \frac{k\pi}{2}

olur.

g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4

fonksiyonunun esas periyodunu (

T_g

) hesaplama.

T_g = \frac{18\pi}{k}

Kosinüs fonksiyonunun derecesi tek (

1

) olduğundan, periyot

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır. Burada

b = \frac{k}{9}

k > 0

olduğu için

T_g = \frac{2\pi}{\frac{k}{9}} = \frac{18\pi}{k}

olur.

Esas periyotların eşitliği koşulundan

k

değerini bulma.

k = 6

T_f = T_g

eşitliğinden

\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k}

denklemi elde edilir. Her iki taraf sadeleştirildiğinde

\frac{k}{2} = \frac{18}{k} \implies k^2 = 36

olur.

k > 0

koşulunu sağlayan değer

k = 6

olarak bulunur.

Trigonometrik fonksiyonlarda

\sin^n(ax+b)

\cos^n(ax+b)

ifadelerinin esas periyotları belirlenirken, kuvvetin tek veya çift olmasına bakılır. Derece çift (

n

çift) ise periyot

T = \frac{\pi}{|a|}

, derece tek (

n

tek) ise periyot

T = \frac{2\pi}{|a|}

formülüyle hesaplanır.

Soru