Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Soru 1Soru →

k

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1

g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4

fonksiyonlarının esas periyotları birbirine eşittir.

Buna göre, $k$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k'nin alabileceği pozitif gerçel sayı değeri 6'dır.

Çift dereceli olan birinci fonksiyonun periyodu

T_f = \frac{k\pi}{2}

, tek dereceli olan ikinci fonksiyonun periyodu ise

T_g = \frac{18\pi}{k}

olarak elde edilir. Periyotların eşitliği

\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k} \implies k^2 = 36

bağıntısını verir. Pozitif

k

gerçel sayısı buradan

6

olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = 3\sin^2\left(\frac{2}{k}x\right) - 1

fonksiyonunun esas periyodunu (

T_f

) hesaplama.

T_f = \frac{k\pi}{2}

Sinüs fonksiyonunun derecesi çift (

2

) olduğundan, periyot

T = \frac{\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır. Burada

b = \frac{2}{k}

ve

k > 0

olduğu için

T_f = \frac{\pi}{\frac{2}{k}} = \frac{k\pi}{2}

olur.

2

g(x) = 5\cos\left(\frac{k}{9}x\right) + 4

fonksiyonunun esas periyodunu (

T_g

) hesaplama.

T_g = \frac{18\pi}{k}

Kosinüs fonksiyonunun derecesi tek (

1

) olduğundan, periyot

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır. Burada

b = \frac{k}{9}

ve

k > 0

olduğu için

T_g = \frac{2\pi}{\frac{k}{9}} = \frac{18\pi}{k}

olur.

3

Esas periyotların eşitliği koşulundan

k

değerini bulma.

k = 6

T_f = T_g

eşitliğinden

\frac{k\pi}{2} = \frac{18\pi}{k}

denklemi elde edilir. Her iki taraf sadeleştirildiğinde

\frac{k}{2} = \frac{18}{k} \implies k^2 = 36

olur.

k > 0

koşulunu sağlayan değer

k = 6

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda

\sin^n(ax+b)

ve

\cos^n(ax+b)

ifadelerinin esas periyotları belirlenirken, kuvvetin tek veya çift olmasına bakılır. Derece çift (

n

çift) ise periyot

T = \frac{\pi}{|a|}

, derece tek (

n

tek) ise periyot

T = \frac{2\pi}{|a|}

formülüyle hesaplanır.

Soru 2Soru →

Analitik düzlemde, $f(x) = \cos(x)$ fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru $\frac{\pi}{2}$ birim ötelendiğinde $g(x)$ fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

g(x) = \sin(x)

g(x) = -\sin(x)

g(x) = \cos(x) - \frac{\pi}{2}

g(x) = \cos(x) + \frac{\pi}{2}

g(x) = \sin(x) - \frac{\pi}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(x) = \sin(x)$

Cevap

g(x) = \sin(x)

Bir fonksiyonun grafiği sağa doğru

\frac{\pi}{2}

birim ötelendiğinde tanım kümesindeki elemanlar

x - \frac{\pi}{2}

şeklinde değişir. Buradan

g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

elde edilir. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı

\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

yazılabilir. Son olarak, tümler açıların trigonometrik oranları ilişkisinden

\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

eşitliği bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay öteleme kuralını uygulayarak ötelenmiş fonksiyonun ifadesini yazma.

g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

Bir

f(x)

fonksiyonunun grafiği sağa doğru

a

birim ötelendiğinde

f(x-a)

fonksiyonu elde edilir. Burada sağa doğru

\frac{\pi}{2}

birim öteleme yapıldığı için

x

yerine

x - \frac{\pi}{2}

yazılır.

2

Elde edilen fonksiyonu kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini kullanarak düzenleme.

g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

Kosinüs çift fonksiyon olduğundan

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla

\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos\left(-(\frac{\pi}{2} - x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

olur.

3

Trigonometrik indirgeme (tümler açı) kuralını uygulayarak fonksiyonu sadeleştirme.

g(x) = \sin(x)

Birbirini

90^\circ

ye (yani

\frac{\pi}{2}

radyana) tamamlayan açılardan birinin kosinüsü, diğerinin sinüsüne eşittir. Bu nedenle

\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların yatay ötelemesi ve indirgeme formülleri

Soru 3Soru →

$f(x) = \tan\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ fonksiyonunun esas periyodu $\frac{\pi}{3}$ olup, bu fonksiyon $\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right)$ açık aralığında artandır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur. Fonksiyonun esas periyodu

\frac{\pi}{3}

'tür ve

\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right)

açık aralığında daima artandır.

Doğru seçenekte belirtildiği üzere, tanjant fonksiyonunun katsayısına bağlı olarak periyodu

\frac{\pi}{3}

bulunur ve ardışık asimptotları olan

-\frac{\pi}{12}

ile

\frac{\pi}{4}

arasında fonksiyon grafiği daima yukarı doğru yöneldiğinden artandır.

Adım Adım Çözüm

1

Tanjant fonksiyonunun periyodunu bulunuz.

Esas periyot

T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}

olarak hesaplanır.

y = \tan(ax+b)

fonksiyonunun esas periyot formülü

T = \frac{\pi}{|a|}

şeklindedir.

2

Fonksiyonun ardışık iki asimptotunu (tanımsızlık noktasını) tespit ediniz.

x = -\frac{\pi}{12}

ve

x = \frac{\pi}{4}

doğruları asimptotlardır.

Tanjant fonksiyonu, açısının

\frac{\pi}{2} + k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) olduğu durumlarda tanımsızdır. En yakın iki asimptot için

3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \implies x = -\frac{\pi}{12}

ve

3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}

eşitlikleri çözülür.

3

Asimptotlar arasında kalan bölgede artanlık/azalanlık durumunu değerlendiriniz.

\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı iki ardışık asimptot arası olduğundan fonksiyon bu aralıkta daima artandır.

Tanjant fonksiyonu tanımlı olduğu her bir açık periyot aralığında sürekli olarak artış gösterir.

Anahtar Kavram

Tanjant fonksiyonunun esas periyodu, asimptotları ve monotonluk aralığı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 3\sin(2x) + 1$ fonksiyonunun esas periyodu $\pi$ radyandır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin esas periyodu

\pi

radyan olduğundan ifade doğrudur.

Verilen

f(x) = 3\sin(2x) + 1

fonksiyonunun periyodu hesaplanırken tek dereceli sinüs fonksiyonunun periyot formülü olan

T = \frac{2\pi}{|b|}

kullanılır.

x

değişkeninin katsayısı

b=2

olduğundan periyot

\pi

olur ve ifade doğru kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun periyodunu belirleyen katsayıları tespit edin.

f(x) = 3\sin(2x) + 1

fonksiyonunda esas periyodu etkileyen tek parametre

x

'in katsayısı olan

b = 2

değeridir.

Trigonometrik fonksiyonlarda dikey yönlü esnetmeler, daraltmalar ve dikey ötelemeler periyodu etkilemez; periyot sadece yatay yöndeki değişimlere bağlıdır.

2

Sinüs fonksiyonunun derece özelliğine göre periyot formülünü uygulayın.

Sinüsün kuvveti tek (

1

) olduğundan esas periyot formülü

T = \frac{2\pi}{|b|}

olur. Buradan

T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi

elde edilir.

Esas periyot, fonksiyonun kendini en küçük hangi aralıkta tekrar ettiğini bulmak amacıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonlarda Esas Periyot Bulma

Soru 5Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$ fonksiyonunun grafiği $x = \frac{3\pi}{8}$ düşey doğrusuna göre simetriktir ve $f$ fonksiyonunun $\left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right]$ aralığındaki grafiği azalandır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Verilen fonksiyonun maksimum noktasından geçen

x = \frac{3\pi}{8}

doğrusu simetri eksenidir ve fonksiyonun girdisi tanımlanan aralıkta sinüsün azalan olduğu bölgede yer almaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Simetri eksenini belirlemek için fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktayı bulun.

3\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1

fonksiyonunun maksimum değeri alması için

\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1

olmalıdır. Buradan

2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies 2x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{8}

bulunur.

Sinüs fonksiyonunun grafiği, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarından geçen düşey doğrulara göre simetriktir.

2

Verilen

x \in \left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right]

aralığı için argümanın değer aralığını belirleyin.

x \ge \frac{3\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \ge \frac{\pi}{2}

ve

x \le \frac{7\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}

olur. Dolayısıyla argüman

\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]

aralığındadır.

Bileşke fonksiyonun davranışını incelemek için içteki doğrusal ifadenin görüntü kümesi bulunur.

3

Elde edilen açı aralığında sinüs fonksiyonunun artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.

\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]

aralığı birim çemberde II. ve III. bölgelere karşılık gelir. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu 1'den -1'e sürekli azalır. Katsayı pozitif (

3 > 0

) olduğundan

f(x)

fonksiyonu bu aralıkta azalandır.

Pozitif katsayı ile çarpma ve dikey öteleme işlemleri fonksiyonun artanlık/azalanlık yönünü değiştirmez.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde simetri eksenleri ve monotonluk (artanlık-azalanlık) analizi.

Soru 6Soru →

Analitik düzlemde, $f(x) = \cos(2x)$ fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru $\frac{\pi}{4}$ birim ötelendiğinde $g(x)$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

-\sin(2x)

\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)

\sin(2x)

\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)

-\cos(2x)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sin(2x)$

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni fonksiyon

\sin(2x)

şeklindedir.

Verilen fonksiyon grafiğini yatay doğrultuda sağa doğru

\frac{\pi}{4}

birim ötelemek için

x

yerine

x - \frac{\pi}{4}

yazılır. Buradan

g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)

elde edilir. Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliği (

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

) kullanılarak ifade

\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)

şeklinde yazılabilir.

\frac{\pi}{2}

cinsinden yapılan indirgemelerde isim değişerek sinüse döner ve birinci bölgede işaret pozitif olduğundan sonuç

\sin(2x)

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay doğrultuda sağa öteleme için bağımsız değişkene uygulanacak dönüşümü belirleme.

Sağa doğru

\frac{\pi}{4}

birimlik öteleme için fonksiyondaki

x

değişkeni yerine

x - \frac{\pi}{4}

yazılmalıdır.

Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde, girdilerin aynı çıktıları daha geç vermesi için bağımsız değişkenden öteleme miktarı çıkarılır.

2

f(x) = \cos(2x)

kuralında dönüşümü yerine yazarak yeni fonksiyon kuralını elde etme.

g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)

Öteleme dönüşümü doğrudan bağımsız değişkene uygulanmalı ve parantez içi katsayı ile çarpılarak dağıtılmalıdır.

3

Elde edilen ifadeyi kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirme.

g(x) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)

Her

\theta

için

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

ve birbirini

90^\circ

ye tamamlayan (tümler) açıların kosinüsü sinüsüne eşittir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yatay öteleme dönüşümü ve indirgeme formülleri.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1$ fonksiyonunun grafiği, $g(x) = 3\sin(2x) + 1$ fonksiyonunun grafi��inin yatay doğrultuda sola doğru $\frac{\pi}{4}$ birim ötelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Öteleme sonucunda elde edilen fonksiyon

3\cos(2x) + 1

iken,

f(x)

fonksiyonu

-3\cos(2x) + 1

olarak sadeleşir; bu iki fonksiyonun grafikleri farklıdır.

Yapılan öteleme işlemi sonucunda oluşan fonksiyon

3\cos(2x) + 1

iken,

f(x)

fonksiyonunun sadeleşmiş biçimi

-3\cos(2x) + 1

şeklindedir. Bu iki fonksiyon özdeş olmadığından grafikler çakışmaz ve ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = 3\sin(2x) + 1

fonksiyonunun grafiğinin sola doğru

\frac{\pi}{4}

birim ötelenmesiyle oluşan yeni fonksiyon yazılır.

g\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 3\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1 = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1

Bir fonksiyonun grafiğini sola doğru

a

birim ötelemek, fonksiyonda

x

yerine

x+a

yazmak demektir.

2

Elde edilen

3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1

ifadesi indirgeme formülü kullanılarak sadeleştirilir.

3\cos(2x) + 1

\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\theta)

özdeşliği uyarınca, birinci bölgede veya eksen geçişlerinde sinüs kosinüse dönüşür ve ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan işaret değişmez.

3

f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1

fonksiyonunun ifadesi indirgeme formülü ile sadeleştirilir.

f(x) = -3\cos(2x) + 1

Kosinüs çift fonksiyon olduğundan

\cos(2x - \pi) = \cos(\pi - 2x)

olur. İndirgeme formüllerine göre

\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)

olduğundan, ifade

-3\cos(2x) + 1

biçimini alır.

4

Öteleme sonucu oluşan

3\cos(2x) + 1

fonksiyonu ile

f(x) = -3\cos(2x) + 1

fonksiyonu karşılaştırılır.

3\cos(2x) + 1 \neq -3\cos(2x) + 1

Fonksiyonların katsayıları farklı olduğundan grafikler aynı değildir ve verilen ifade yanlıştır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonlarda Yatay Öteleme ve İndirgeme Formülleri

Alternatif Yöntem

Öteleme ve sadeleştirme işlemlerini cebirsel olarak yapmak yerine, her iki fonksiyonda da

x = 0

değeri yerine yazılarak grafiklerin y-eksenini kestiği noktalar karşılaştırılabilir.

g(x)

sola

\frac{\pi}{4}

ötelenirse

x=0

noktasındaki değeri

g(\frac{\pi}{4}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 4

olur. Diğer yandan

f(0) = 3\cos(-\pi) + 1 = 3(-1) + 1 = -2

olur.

4 \neq -2

olduğundan grafiklerin çakışması mümkün değildir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Pozitif bir

k

gerçel sayısı için

f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right)

fonksiyonunun esas periyodu

\frac{\pi}{4}

radyandır.

Buna göre, $k$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen fonksiyonun esas periyodu 4'tür.

Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu

T = \frac{\pi}{|a|}

formülüyle bulunur. Burada

x

'in katsayısı

a=k

olup,

k > 0

olduğu için periyot

\frac{\pi}{k}

olur. Soruda periyot

\frac{\pi}{4}

olarak verildiğinden

\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4}

eşitliğinden

k = 4

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kotanjant fonksiyonunun esas periyot formülünü yazma

g(x) = c \cdot \cot(ax + b)

biçimindeki fonksiyonların esas periyodu

T = \frac{\pi}{|a|}

formülüyle hesaplanır.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği her

\pi

radyanda bir kendini tekrar ettiği için esas periyodu bulurken tanım kümesindeki yatay daralma/genişleme katsayısı olan

a

değerine bölme yapılır.

2

Periyot denklemini kurarak k değerini hesaplama

f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right)

fonksiyonunda

x

'in katsayısı

k

olduğundan periyot

T = \frac{\pi}{|k|}

olur.

k > 0

olarak verildiğinden

|k| = k

alınır. Buradan

\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} \implies k = 4

elde edilir.

Fonksiyonun esas periyodunun

\frac{\pi}{4}

olduğu soruda verildiği için bu iki değer birbirine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarında

x

'in katsayısı olan

a

değeri için esas periyot

T = \frac{\pi}{|a|}

formülüyle elde edilir.

Soru 9Soru →

Dik koordinat düzleminde,

a > 0

,

b > 0

ve

c \in [0, \pi)

olmak üzere,

f(x) = a \cos(bx + c) + d

fonksiyonunun grafiğiyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Grafiğin

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

3

'tür.
- Fonksiyonun alabileceği en büyük değer

5

, en küçük değer ise

-1

'dir.
- Fonksiyonun esas periyodu

\pi

radyandır.

Buna göre, $f\left(\frac{\pi}{12}\right)$ değeri kaçtır?

\frac{4 + \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 - \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 - \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

\frac{4 + 2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}$

Cevap

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

Fonksiyonun en büyük değeri

a + d = 5

ve en küçük değeri

-a + d = -1

denklemlerinden

a = 3

ve

d = 2

bulunur. Periyodun

\pi

olmasından

b = 2

elde edilir. Grafiğin

y

eksenini kestiği nokta olan

(0, 3)

değeri fonksiyonda yerine yazıldığında

3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = 1/3

bulunur.

c \in [0, \pi)

olduğundan

\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

olur.

f(\pi/12) = 3\cos(\pi/6 + c) + 2

ifadesi kosinüs toplam formülü yardımıyla açıldığında

\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Genlik ve düşey öteleme katsayılarını (

a

ve

d

) belirleme

a + d = 5

ve

-a + d = -1

denklem sisteminden

d = 2

ve

a = 3

bulunur.

a > 0

olduğu için

\cos(bx+c)

ifadesinin maksimum değeri

1

, minimum değeri

-1

olur. Bu değerler fonksiyonu sırasıyla en büyük ve en küçük değerlerine ulaştırır.

2

Periyot katsayısını (

b

) belirleme

\frac{2\pi}{|b|} = \pi \Rightarrow b = 2

bulunur.

Kosinüs fonksiyonunun esas periyodu

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır ve soruda periyot

\pi

olarak verilmiştir (

b > 0

).

3

Yatay öteleme açısını (

c

) belirleme

f(0) = 3 \Rightarrow 3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = \frac{1}{3}

bulunur. Buradan

\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

elde edilir.

Grafik

y

eksenini

(0, 3)

noktasında kesmektedir.

c \in [0, \pi)

aralığında kosinüsü pozitif olan açının sinüsü de pozitif olmalıdır.

4

f(\pi/12)

değerini hesaplama

f(\pi/12) = 3\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12} + c\right) + 2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + c\right) + 2 = \frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

bulunur.

Kosinüs toplam formülü

\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

kullanılarak

\cos(\frac{\pi}{6} + c) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri üzerindeki tepe noktaları, periyot ve öteleme parametreleri ile fonksiyonun katsayıları arasındaki ilişki.

Soru 10Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$ fonksiyonunun esas periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olup, bu fonksiyonun grafiği $y$ -eksenini $(0, 1)$ noktasında keser.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Verilen ifade doğrudur çünkü

f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1

fonksiyonunun esas periyodu formül gereği

\frac{2\pi}{3}

olup,

x=0

yazıldığında elde edilen

y

-kesim noktası

(0, 1)

koordinatlarını tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun esas periyodunun hesaplanması

Esas periyot

T = \frac{2\pi}{3}

olarak bulunur.

f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1

fonksiyonunda sinüsün kuvveti

1

(tek) ve

x

'in katsayısı

b=3

'tür. Tek kuvvetli sinüs fonksiyonlarında periyot

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle hesaplanır. Buradan

T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}

elde edilir.

2

Fonksiyonun

y

-eksenini kestiği noktanın hesaplanması

Grafiğin

y

-eksenini kestiği nokta

(0, 1)

olarak bulunur.

Bir fonksiyonun grafiğinin

y

-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda

x = 0

yazılır.

f(0) = 4\sin\left(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1

olur.

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

değeri yerine yazıldığında

f(0) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1

elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyodu ve grafiğin eksenleri kestiği noktalar.

Soru 11Soru →

Dik koordinat düzleminde,

a

ve

b

pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

f(x) = a\cos(bx) + c

fonksiyonunun grafiğinin ardışık bir maksimum noktası ile bir minimum noktasının

y

koordinatları sırasıyla

5

ve

-1

'dir.

Bu iki noktanın apsisleri arasındaki fark $\frac{\pi}{4}$ birim olduğuna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğru cevap 9'dur.

Verilen maksimum ve minimum ordinat değerlerinden

a + c = 5

ve

-a + c = -1

denklemleri kurulur; buradan

a = 3

ve

c = 2

bulunur. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay uzaklık periyodun yarısı olan

\frac{\pi}{b}

birimdir.

\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4}

eşitliğinden

b = 4

elde edilir. Sonuç olarak

a + b + c = 3 + 4 + 2 = 9

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Maksimum ve minimum noktalarının y koordinatlarını kullanarak

a

ve

c

değerlerini bulunuz.

c = 2

ve

a = 3

bulunur.

a > 0

olduğundan,

\cos(bx)

fonksiyonunun maksimum değeri olan

1

için

f(x)

en büyük değerini (

a + c

), minimum değeri olan

-1

için ise en küçük değerini (

-a + c

) alır.

a + c = 5

ve

-a + c = -1

denklem sistemi çözüldüğünde bu değerler elde edilir.

2

Ardışık maksimum ve minimum noktaları arasındaki mesafenin periyodun yarısı olduğunu kullanarak

b

değerini bulunuz.

b = 4

elde edilir.

\cos(bx)

fonksiyonunun periyodu

T = \frac{2\pi}{b}

'dir. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay mesafe periyodun yarısı olan

\frac{\pi}{b}

'ye eşittir.

\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4}

olduğundan

b = 4

bulunur.

3

a + b + c

toplamını hesaplayınız.

3 + 4 + 2 = 9

bulunur.

Bulunan

a = 3

,

b = 4

ve

c = 2

değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyotları ve grafiklerindeki maksimum/minimum noktalarının apsis ve ordinat değerleriyle olan ilişkisi.

Soru 12Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = \sin^2(3x) - \cos(6x)$ fonksiyonunun esas periyodu $\frac{\pi}{3}$ 'tür.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, çünkü fonksiyon düzenlendiğinde esas periyodunun

\frac{\pi}{3}

olduğu görülür.

Verilen ifade doğrudur, çünkü

\sin^2(3x) - \cos(6x)

ifadesi kosinüsün yarım açı formülüyle sadeleştirildiğinde

\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x)

biçimine dönüşür ve bu fonksiyonun periyodu

T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk olarak

\sin^2(3x)

terimini yarım açı formülü (kosinüs çift kat açı formülü) yardımıyla dönüştürün.

\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2}

eşitliği elde edilir.

Fonksiyonun periyodunu belirlemek için farklı açılara sahip trigonometrik ifadeleri ortak bir açı değerinde birleştirmek gerekir.

2

Elde edilen bu ifadeyi fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirin.

f(x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \cos(6x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(6x)

elde edilir.

Fonksiyonun tek bir kosinüs terimine indirgenmesi, esas periyot hesaplama kuralının doğrudan uygulanmasını sağlar.

3

g(x) = k \cdot \cos^n(ax + b) + c

formundaki fonksiyonlarda

n

tek sayı iken periyodun

T = \frac{2\pi}{|a|}

olduğunu hatırlayarak periyodu hesaplayın.

a = 6

ve

n = 1

(tek) olduğundan,

T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}

bulunur.

Buradaki kosinüs teriminin üssü

1

(tek) ve

x

değişkeninin katsayısı

6

olduğundan standart periyot formülü uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun esas periyodunu bulmak için trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeyi sadeleştirip standart periyot formüllerini uygulamak gerekir.

Soru 13Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = a \cos(b x) + c

fonksiyonunun esas periyodu

\frac{\pi}{3}

ve görüntü kümesi

[-1, 5]

'tir.

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Katsayıların toplamı 11'dir.

Fonksiyonun periyodundan

b = 6

, görüntü kümesi sınırlarından ise

a = 3

ve

c = 2

elde edilir. Bu değerlerin toplamı

11

yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Esas periyot formülü yardımıyla b katsayısını bulma.

b = 6

f(x) = a \cos(bx) + c

biçimindeki kosinüs fonksiyonunun esas periyodu

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle bulunur.

b > 0

olduğu ve esas periyot

\frac{\pi}{3}

olarak verildiği için,

\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{3}

eşitliğinden

b = 6

elde edilir.

2

Görüntü kümesi yardımıyla a ve c katsayılarını bulma.

a = 3, c = 2

Her

x

gerçel sayısı için

-1 \leq \cos(6x) \leq 1

aralığı geçerlidir.

a > 0

olduğu için fonksiyonun alabileceği en küçük değer

-a + c

, en büyük değer ise

a + c

olur. Buradan

-a + c = -1

ve

a + c = 5

denklem sistemi kurulur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında

2c = 4 \implies c = 2

bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında

a = 3

elde edilir.

3

a, b ve c katsayılarını toplama.

a + b + c = 11

Hesaplanan

a = 3

,

b = 6

ve

c = 2

değerleri toplanarak

3 + 6 + 2 = 11

sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda periyot ve katsayıların görüntü kümesine etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 14Soru →

Gerçel say��lar kümesinin, her $k \in \mathbb{Z}$ için $x \neq \pi + 2k\pi$ ve $x \neq 3k\pi$ koşullarını sağlayan en geniş alt kümesinde tanımlı $f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right)$ fonksiyonunun esas periyodu $6\pi$ radyandır.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Verilen ifade, tanım kümesini ve fonksiyonun esas periyodunu doğru bir şekilde belirtmektedir. Tanjant ve kotanjant terimlerinin ayrı ayrı periyotları

2\pi

ve

3\pi

olup, bu periyotların en küçük ortak katı olan

6\pi

fonksiyonun esas periyodudur. Ayrıca asimptotlar (tanımsızlık noktaları) da doğru belirlenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesini belirlemek için

f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right)

fonksiyonunu olu��turan terimlerin tanımsız olduğu noktaları bulun.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

terimi

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) noktalarında;

\cot\left(\frac{x}{3}\right)

terimi ise

\frac{x}{3} = k\pi \implies x = 3k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) noktalarında tanımsızdır.

Tanjant fonksiyonu, açının kosinüsünü sıfır yapan noktalarda; kotanjant fonksiyonu ise açının sinüsünü sıfır yapan noktalarda tanımsızdır.

2

Her iki terimin esas periyodunu ayrı ayrı hesaplayın.

\tan\left(\frac{x}{2}\right)

fonksiyonunun periyodu

T_1 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi

ve

\cot\left(\frac{x}{3}\right)

fonksiyonunun periyodu

T_2 = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi

olarak bulunur.

a \neq 0

olmak üzere,

y = \tan(ax+b)

ve

y = \cot(ax+b)

fonksiyonlarının esas periyodu

\frac{\pi}{|a|}

formülü ile hesaplanır.

3

İki fonksiyonun farkı ile tanımlanan

f(x)

fonksiyonunun esas periyodunu belirlemek için bireysel periyotların en küçük ortak katını (EKOK) alın.

T = \text{EKOK}(T_1, T_2) = \text{EKOK}(2\pi, 3\pi) = 6\pi

radyandır.

Tanımlı iki periyodik fonksiyonun toplamı veya farkı şeklinde yazılan fonksiyonların periyodu, ayrı ayrı periyotlarının en küçük ortak katıdır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanım kümeleri (düşey asimptotları) ile periyotlarının hesaplanması ve birleştirilmesi.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar