Examkin

Soru

Zorluk: KolayTrigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Analitik düzlemde, f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x) fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)Cevap
  2. B
    g(x)=−sin⁡(x)g(x) = -\sin(x)
  3. C
    g(x)=cos⁡(x)−π2g(x) = \cos(x) - \frac{\pi}{2}
  4. D
    g(x)=cos⁡(x)+π2g(x) = \cos(x) + \frac{\pi}{2}
  5. E
    g(x)=sin⁡(x)−π2g(x) = \sin(x) - \frac{\pi}{2}

Cevap

g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Bir fonksiyonun grafiği sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde tanım kümesindeki elemanlar x−π2x - \frac{\pi}{2} şeklinde değişir. Buradan g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) elde edilir. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı cos⁡(x−π2)=cos⁡(π2−x)\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) yazılabilir. Son olarak, tümler açıların trigonometrik oranları ilişkisinden cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) eşitliği bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay öteleme kuralını uygulayarak ötelenmiş fonksiyonun ifadesini yazma.
g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)
Bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği sağa doğru aa birim ötelendiğinde f(x−a)f(x-a) fonksiyonu elde edilir. Burada sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim öteleme yapıldığı için xx yerine x−π2x - \frac{\pi}{2} yazılır.
2
Elde edilen fonksiyonu kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini kullanarak düzenleme.
g(x)=cos⁡(π2−x)g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla cos⁡(x−π2)=cos⁡(−(π2−x))=cos⁡(π2−x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos\left(-(\frac{\pi}{2} - x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) olur.
3
Trigonometrik indirgeme (tümler açı) kuralını uygulayarak fonksiyonu sadeleştirme.
g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Birbirini 90∘90^\circ ye (yani π2\frac{\pi}{2} radyana) tamamlayan açılardan birinin kosinüsü, diğerinin sinüsüne eşittir. Bu nedenle cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların yatay ötelemesi ve indirgeme formülleri
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Bu konudan daha fazla soru