Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3sin⁡(2x−π4)+1f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 fonksiyonunun grafiği x=3π8x = \frac{3\pi}{8} düşey doğrusuna göre simetriktir ve ff fonksiyonunun [3π8,7π8]\left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right] aralığındaki grafiği azalandır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen fonksiyonun maksimum noktasından geçen x=3π8x = \frac{3\pi}{8} doğrusu simetri eksenidir ve fonksiyonun girdisi tanımlanan aralıkta sinüsün azalan olduğu bölgede yer almaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri eksenini belirlemek için fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktayı bulun.
3sin⁡(2x−π4)+13\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 fonksiyonunun maksimum değeri alması için sin⁡(2x−π4)=1\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 olmalıdır. Buradan 2x−π4=π2  ⟹  2x=3π4  ⟹  x=3π82x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies 2x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{8} bulunur.
Sinüs fonksiyonunun grafiği, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarından geçen düşey doğrulara göre simetriktir.
2
Verilen x∈[3π8,7π8]x \in \left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right] aralığı için argümanın değer aralığını belirleyin.
x≥3π8  ⟹  2x−π4≥π2x \ge \frac{3\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \ge \frac{\pi}{2} ve x≤7π8  ⟹  2x−π4≤3π2x \le \frac{7\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} olur. Dolayısıyla argüman [π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındadır.
Bileşke fonksiyonun davranışını incelemek için içteki doğrusal ifadenin görüntü kümesi bulunur.
3
Elde edilen açı aralığında sinüs fonksiyonunun artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığı birim çemberde II. ve III. bölgelere karşılık gelir. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu 1'den -1'e sürekli azalır. Katsayı pozitif (3>03 > 0) olduğundan f(x)f(x) fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
Pozitif katsayı ile çarpma ve dikey öteleme işlemleri fonksiyonun artanlık/azalanlık yönünü değiştirmez.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde simetri eksenleri ve monotonluk (artanlık-azalanlık) analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Bu konudan daha fazla soru